复变函数优秀教案第五章

PAGEPAGE36/8章节名称：第五章留数学时安排：6学时教学要求分。教学内容：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；2．了解解3．的方法；5．理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学重点：留数的定义，留数的计算教学难点：用留数理论计算积分教学手段：课堂讲授教学过程：第五章留数§1、孤立奇点相关定义定义1设点a为函数f(z)的奇点，若f(z)在点a的某个去心邻域0zaR内解析，则称点a为函数f(z)的孤立奇点．定义2 设点a为函数f(z)的孤立奇点：⑴若f(z)在点a的罗朗级数的主要部分为零，则称点a为f(z)的可去奇点；⑵若f(z)在点a的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为c c c m (m1) , c 0(za)m (za)m1则称点af(z的m级（阶）极点；

za mf(z在点aaf(z的本性奇点．z0为sinzz0为ezz z

的二级极点，点z1为

z 的本性奇点．1z函数在孤立奇点的去心邻域内的性质⑴函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理1 若点a为f(z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：①点a为f(z)的可去奇点；②limf(z)c()；za③函数f(z)在点a的某个去心邻域内有界．⑵函数在极点的去心邻域内的性质定理2 若点a为f(z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的．①点af(z的m级极点；②f(z)在点a的某个去心邻域0zaR内可表示为h(z)f(z) (za)m其中的h(z)在点a的邻域zaR 内解析，且h(a)0；③点a为1 的m级零点（可去奇点视作解析点时．f(z)定理3 点a为函数f(z)的极点的充分必要条件是limf(z)za⑶函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理4点a为函数f(z)的本性奇点的充分必要条件是limf(z)不存在，即当zaza时，f(z)既不趋于有限值，也不趋于．定理5 若点a为f(z)的本性奇点且f(z)在点a的充分小的邻域内不为零，则点a必为1 的本性奇点．f(z)例 设f(z)ez)1，试求f(z)在复平面上的奇点，并判定其类别．解 首先，求f(z)的奇点．f(z)的奇点出自方程的解．解方程得

1ez0zLn(1)(2k, k0,1,2,若设z (2ki(k0,1,2, )，则易知z 为f(z)的孤立奇点．另外，k k因ez)

zzk

0, ez

0zzk所以，由零点的定义知z 为1ez的一级零点．从而知z (k0,1,2, )均为k kf(z)的一级极点．§2、留数1，定义3 设a()为函数f(z)的孤立奇点，c为圆周：za，若f(z)在0za上解析，则称

1 ic

f(z)dzf(z)在点a的留数（或残数，记作Res(f,a)或Res(a)，即2，留数计算规则：

Res(f,a)

1 ic

f(z)dz1z0

为f(z)的一级极点，那么Res(f,z0

)lim(zzzz0

)f(z).2zf(z的m级极点，那么01 dm1Res(f,z0

) lim(mzz0zm1

{(zz0

)mf(z)}.规则3设f(z)P(z),P(z)及Q(z)zQ(z)

解析，如果P(z0

)0，Q(z0

)0，Q'(z)0zf(z的一级极点，而0 0P(z)Res(f,z) 0 0 Q'(z)05z2例1 设f(z) ，求Res(f,0)．z(z解法1 由定义Res(f,0) 1i

5z2dz(z1z145z2 1 1i1z4

z1dzz(5z2)z1

z021注意：这里的积分路径的半径并非只能取 ，只须使半径小于1即可满足定4义的条件．解法2 因点z0为f(z)的孤立奇点，所以，在5z2 f(z) z 1z

(010z1内有 (2)znz2z

n0znn0由此得c 2，依（7.2）式得Res(f,0)2．1解法3 因点z0为f(z)的一级极点，则按规则1Res(f,0)limzz02

5z2z(z解法4 因点z0为f(z)5z2的一级极点，则按规则3z(zRes(f,0){

5z2 }[z(z1)]2

z03，定义4设z为函数f(z)的孤立奇点，c为圆周：z，若f(z)在Rz内解析(R，则称1 ic

f(z)dzf(z)z的留数（或残数，记作Res(f,)或Res()，即Res(f,) 1 ic

f(z)dz规则4 f(z),]Res[f 1 1,0]() z z2例2 设f(z)z2)ez，求Res(f,)．解 取圆周c:z2，由（7.6）式得Res(f,)

1

1z2dzezc 10

1z2dzezc4，定理6 设区域G是由围线c的内部构成（如图，若函数f(z)在G内除含有限个奇点a,a1 2

, ,an

外解析，且在GGc上除点a,a1 2

, ,an

外连续，则f(z)dzπinc j

Res(f,a)j5，定理7f(z在扩充复平面内只a2f(z在所有aa各奇点（包括点）的留数的总和a

•2等于零。c23 c 2i 1 Gc例3 计算积c

zz1

c

dz,a 1．an cn解 首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点．由z22az1求出被积函数的奇点有za1

与z aa2a21a21a1z2

1zz1 2

1z1

1，即在积分路径内部只有被积函数的一个奇点z．1其次，经检验，得z2

2i2az

dziRes(z2

2i ,z)2az1 1z1

ilim[(z

) 2i ]zz1a21a21

1 (zz1

)(zz)2§3、留数在定积分计算上的应用形如2πR(cos,sin)的积分0通过一定的转化，可得 2πR(cos,sin)d0

z1

f(z)dz例 计算I

2π d(0p0 1-2pcosp2形如R(x)dx的积分通过一定的转化，可得R(x)dxP(z)dx2πin

Res(P(z),z) Q(z) Q(z) j例4 计算积分 x2 dx．x4x21解 经验证，此积分可用公式一计算．首先，求出

P(z) z

在上半平面的全部奇点．令Q(z) z4z21z4z210即z4z21(z42z2z2(z21)2z2(z2z1)(z2z0于是，P(z)在上半平面的全部奇点只有两个：Q(z)331 i 与1 i33且知道，与P(z)Q(z)其次，算留数，有

2 2 2 2的一级极点．Res(P(z),)lim(z) z2Q(z)

z

(z)(z)(z)(z)4 3i1 34 3iRes(P(z),)lim(z) z2Q(z)

z

(z)(z)(z)(z)4 3i1 34 3i最后，将所得留数代入公式得 x

dxi[Res(P(z),)Res(P(z),)]x4x2

Q(z)3π3

Q(z)R(x)eaixdx(aR(x)P(x)的积分 Q(x)P(x)eikxdx2inQ(x)j1

P(z)Res( eikz,z)Q(z) j例5 计算积分 eix dx,a0．x2a2解经验证，该积分可用公式二计算．eiz首先，求出辅助函数f(z) 在上半平面的全部奇点．z2a2由z2a20解得zai与zai为f(z)的奇点，而a0，所以，上半平面只有一个奇点ai， 且ai为f(z)的一级极点．其次，计算留数．有

f(z)在 ei Res( ,ai) lim(z a

eizz2a2 zai (zai)(zai)最后，由公式得

ea2ai eix dxiRes(x2a2

eizz2