2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-113导数与极限解答题a

2021届全国百套高考数学模拟试题分类汇编11导数与极限三、解答题(第一局部)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设函数〔Ⅰ〕求函数的极值点；〔Ⅱ〕当p＞0时，假设对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；〔Ⅲ〕证明：解：〔1〕，当上无极值点当p>0时，令的变化情况如下表：x(0，)+0－↗极大值↘从上表可以看出：当p>0时，有唯一的极大值点〔Ⅱ〕当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，∴∴p的取值范围为[1，+∞〔Ⅲ〕令p=1，由〔Ⅱ〕知，∴，∴∴∴结论成立2、(江苏省启东中学2021年高三综合测试一)上是减函数，且。〔1〕求的值，并求出和的取值范围。〔2〕求证。〔3〕求的取值范围，并写出当取最小值时的的解析式。解：〔1〕〔2〕〔3〕3、(江苏省启东中学高三综合测试三)函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行，(1)求常数a、b的值；(2)求函数f(x)在区间[0,t]上的最小值和最大值。〔t>0〕

解：〔1〕a=－3，b=2；〔2〕当2<t≤3时，f(x)的最大值为f(0)=2；当t>3时，f(x)的最大值为f(t)=t3－3t2+2；当x=2时，f(x)的最小值为f(2)=－2。5、(江苏省启东中学高三综合测试四)〔m为常数，且m>0〕有极大值，〔Ⅰ〕求m的值；〔Ⅱ〕求曲线的斜率为2的切线方程．解：〔Ⅰ〕那么，由列表得：x-m+0-0+极大值极小值，∴．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，那么∴或由，．所以切线方程为：即；或即4、(安徽省皖南八校2021届高三第一次联考)函数且是的两个极值点，，〔１〕求的取值范围；〔２〕假设，对恒成立。求实数的取值范围；解：〔1〕，由题知：；〔2〕由〔1〕知：，∴对恒成立，所以：5、(江西省五校2021届高三开学联考)函数〔I〕求f(x)在[0，1]上的极值；〔II〕假设对任意成立，求实数a的取值范围；〔III〕假设关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：〔I〕，令〔舍去〕单调递增；当单调递减.上的极大值〔II〕由得，…………①设，，依题意知上恒成立，，，上单增，要使不等式①成立，当且仅当〔III〕由令，当上递增；当上递减而，恰有两个不同实根等价于6、(安徽省蚌埠二中2021届高三8月月考)求以下各式的的极限值①②〕答：①②EQ\f(3,2)7、(四川省巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)设f〔x〕=〔a>0〕为奇函数，且|f〔x〕|min=，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，，．〔1〕求f〔x〕的解析表达式；〔2〕证明：当n∈N*时，有bn≤．解：〔1〕由f〔x〕是奇函数，得b=c=0，由|f〔x〕min|=，得a=2，故f〔x〕=〔2〕∴===…=，而b1=，∴=当n=1时，b1=，命题成立，当n≥2时，∵2ｎ－1＝〔1＋1〕ｎ－1＝1＋≥1+=n∴＜，即bn≤．8、(四川省成都市新都一中高2021级一诊适应性测试)设f(x)=px－EQ\F(q,x)－2lnx，且f(e)=qe－EQ\F(p,e)－2〔e为自然对数的底数〕〔1〕求p与q的关系；〔2〕假设f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；解：(I)由题意得f(e)=pe－EQ\F(q,e)－2lne=qe－EQ\F(p,e)－2(p－q)(e+EQ\F(1,e))=0而e+EQ\F(1,e)≠0∴ p=q …………4分(II) 由(I)知f(x)=px－EQ\F(p,x)－2lnxf’(x)=p+EQ\F(p,x2)－EQ\F(2,x)=EQ\F(px2－2x+p,x2)令h(x)=px2－2x+p，要使f(x)在其定义域(0,+)内为单调函数，只需h(x)在(0,+)内满足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立．①当p=0时，h(x)=－2x，∵x>0，∴h(x)<0，∴f’(x)=－EQ\F(2x,x2)<0，∴ f(x)在(0,+)内为单调递减，故p=0适合题意．②当p>0时，h(x)=px2－2x+p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=EQ\F(1,p)∈(0,+)，∴ h(x)min=p－EQ\F(1,p)只需p－EQ\F(1,p)≥1，即p≥1时h(x)≥0，f’(x)≥0∴ f(x)在(0,+)内为单调递增，故p≥1适合题意．③当p<0时，h(x)=px2－2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=EQ\F(1,p)(0,+)只需h(0)≤0，即p≤0时h(x)≤0在(0,+)恒成立．故p<0适合题意． …………11分综上可得，p≥1或p≤0 …………12分另解：(II) 由(I)知f(x)=px－EQ\F(p,x)－2lnxf’(x)=p+EQ\F(p,x2)－EQ\F(2,x)=p(1+EQ\F(1,x2))－EQ\F(2,x)要使f(x)在其定义域(0,+)内为单调函数，只需f’(x)在(0,+)内满足：f’(x)≥0或f’(x)≤0恒成立． …………6分由f’(x)≥0p(1+EQ\F(1,x2))－EQ\F(2,x)≥0p≥EQ\F(2,x+\F(1,x))p≥(EQ\F(2,x+\F(1,x)))max，x>0∵ EQ\F(2,x+\F(1,x))≤EQ\F(2,2\R(x·\F(1,x)))=1，且x=1时等号成立，故(EQ\F(2,x+\F(1,x)))max=1∴ p≥1 …………9分由f’(x)≤0p(1+EQ\F(1,x2))－EQ\F(2,x)≤0p≤EQ\F(2x,x2+1)p≤(EQ\F(2x,x2+1))min，x>0而EQ\F(2x,x2+1)>0且x→0时，EQ\F(2x,x2+1)→0，故p≤0 …………11分综上可得，p≥1或p≤0 9、(四川省成都市一诊)函数,,设．〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；〔Ⅲ〕是否存在实数m,使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点？假设存在，求出实数m的取值范围；假设不存在，说明理由。解：〔I〕，∵，由，∴在上单调递增。 由，∴在上单调递减。∴的单调递减区间为，单调递增区间为。〔II〕，恒成立当时，取得最大值。∴，∴〔III〕假设的图象与的图象恰有四个不同得交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。令，那么当x变化时，、的变化情况如下表：x的符号＋－＋－的单调性由表格知：，画出草图和验证可知，当时，与恰有四个不同的交点。∴当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点。10、(四川省乐山市2021届第一次调研考试)函数①假设函数在处取得极值－2，试求的值；②假设时，函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；③设的图象与的图象交于P，Q两点，过线段PQ的中点作平行于y轴的直线，分别与交于M、N两点，试判断在M的切线与在N的切线是否平行？答：①；②；③略，在M的切线与在N的切线不可能平行。11、(四川省成都市新都一中高2021级12月月考)设函数，，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．(1)求g(t)的表达式；(2)对于区间[－1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g(t)≤EQ\f(4a,1＋a2)成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．解析：(1) ．由(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)有最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3．(2)我们有．列表如下：t(－1，－EQ\f(1,2))－EQ\f(1,2)(－EQ\f(1,2)，EQ\f(1,2))EQ\f(1,2)(EQ\f(1,2)，1)g'(t)＋0－0＋G(t)↗极大值g(－EQ\f(1,2))↘极小值g(EQ\f(1,2))↗由此可见，g(t)在区间(－1，－EQ\f(1,2))和(EQ\f(1,2)，1)单调增加，在区间(－EQ\f(1,2)，EQ\f(1,2))单调减小，极小值为g(EQ\f(1,2))＝2，又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2故g(t)在[－1，1]上的最小值为2注意到：对任意的实数a，EQ\f(4a,1＋a2)＝EQ\f(4,a＋\f(1,a))∈[－2，2]当且仅当a＝1时，EQ\f(4a,1＋a2)＝2，对应的t＝－1或EQ\f(1,2)，故当t＝－1或EQ\f(1,2)时，这样的a存在，且a＝1，使得g(t)≥EQ\f(4a,1＋a2)成立.而当t∈(－1，1]且t≠EQ\f(1,2)时，这样的a不存在.12、(安徽省淮南市2021届高三第一次模拟考试)函数f(x)=ln(2+3x)－x2..〔1〕求f(x)在[0,1]上的极值；〔2〕假设对任意x∈[，]，不等式|a－lnx|－ln[f’(x)+3x]>0成立，求实数a的取值范围；〔3〕假设关于x的方程f(x)=－2x+b在[0,1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：〔1〕，令〔舍去〕单调递增；当单调递减.∴函数在上有极大值……………6分〔2〕由得，…………①设，，依题意知上恒成立，，，上单增，要使不等式①成立，当且仅当……………10分〔3〕由令，当上递增；当上递减而，恰有两个不同实根等价于所以,.13、(安徽省巢湖市2021届高三第二次教学质量检测)设函数.〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕假设当时，设函数图象上任意一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围；(Ⅲ)假设关于的方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。解：(Ⅰ)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,＋∞)…2分由得，由得.所以函数的递增区间是(-2,-1),(0,+∞),递减区间是(－∞,-2)，(-1,0)…4分〔Ⅱ〕令，那么，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知，故……9分(Ⅲ)方程,即记，那么.由得，由得∴在[0,1]上递减，在[1,2]递增.…………11分为使在[0,2]上恰好有两个相异的实根，只须在[0,1)和(1,2]上各有一个实根，于是有解得.14、(北京市朝阳区2021年高三数学一模)设函数.〔Ⅰ〕假设x＝EQ\f(1,2)时，取得极值，求的值；〔Ⅱ〕假设在其定义域内为增函数，求的取值范围；〔Ⅲ〕设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明〔〕.解：，〔Ⅰ〕因为时，取得极值，所以，即故．………………3分〔Ⅱ〕的定义域为.方程的判别式,(1)当,即时，,在内恒成立,此时为增函数.(2)当,即或时，要使在定义域内为增函数,只需在内有即可,设，由得,所以.由(1)(2)可知,假设在其定义域内为增函数，的取值范围是.………………9分〔Ⅲ〕证明：，当=－1时，，其定义域是，令，得.那么在处取得极大值，也是最大值.而.所以在.因为，所以.那么.所以=<==.所以结论成立.15、(北京市崇文区2021年高三统一练习一)定义在R上的函数，其中a为常数.〔I〕假设x=1是函数的一个极值点，求a的值；〔II〕假设函数在区间〔－1，0〕上是增函数，求a的取值范围；〔III〕假设函数，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围.解：〔I〕 的一个极值点，；………………3分〔II〕①当a=0时，在区间〔－1，0〕上是增函数，符合题意； ②当； 当a>0时，对任意符合题意； 当a<0时，当符合题意； 综上所述，………………8分〔III〕 ………………10分 令 设方程〔*〕的两个根为式得，不妨设. 当时，为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或； 当时，由于在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为，所以在[0，2]上的最大值只能为或， 又在x=0处取得最大值，所以……12分 即16、(北京市东城区2021年高三综合练习一〕函数，在x=1处连续.〔I〕求a的值；〔II〕求函数的单调减区间；〔III〕假设不等式恒成立，求c的取值范围.解：〔I〕由处连续，可得，故 …………2分〔II〕由〔I〕得所以函数 …………7分〔III〕设故c的取值范围为17、(北京市东城区2021年高三综合练习二)a为实数，函数〔1〕求的值；〔II〕假设a>2，求函数的单调区间.〔1〕解：由 可得， 所以………………7分〔2〕解：当a>2时， 令 可知函数的单调增区间为〔－∞，0〕，〔a－2，+∞〕，单调减区间为〔0，a－2〕.18、(北京市丰台区2021年4月高三统一练习一)设函数.〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间；〔Ⅱ〕假设当时，不等式f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围；〔Ⅲ〕假设关于x的方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.解：〔Ⅰ〕函数的定义域为〔-1,+∞〕.……………1分∵,由，得x>0；由，得.…3分∴f(x)的递增区间是，递减区间是〔-1,0〕.…4分〔Ⅱ〕∵由，得x=0,x=-2〔舍去〕由〔Ⅰ〕知f(x)在上递减，在上递增.高三数学〔理科〕答案第3页〔共6页〕又，,且.∴当时，f(x)的最大值为.故当时，不等式f(x)<m恒成立.………………9分〔Ⅲ〕方程,.记,∵,由,得x>1或x<-1〔舍去〕.由,得.∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.为使方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有∵,∴实数a的取值范围是.19、(北京市西城区2021年4月高三抽样测试)函数.〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕假设对所有都有，求实数的取值范围.〔Ⅰ〕解：的定义域为，…..1分的导数.…………..3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.…………..5分所以，当时，取得最小值.…………..6分〔Ⅱ〕解：解法一：令，那么，…………..8分=1\*GB3①假设，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即.…………..10分=2\*GB3②假设，方程的根为，此时，假设，那么，故在该区间为减函数.所以，时，，即，与题设相矛盾.…………..12分综上，满足条件的的取值范围是.…………..13分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.…………..8分令，那么.…………..10分当时，因为，故是上的增函数，所以的最小值是，…………..12分从而的取值范围是.20、(北京市西城区2021年5月高三抽样测试)函数〔e为自然对数的底数〕〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕设不等式的解集为P，且，求实数a的取值范围；〔Ⅲ〕设，证明：。21、(北京市宣武区2021年高三综合练习一)函数(1)假设在上是减函数，求的最大值；(2)假设的单调递减区间是，求函数y=图像过点的切线与两坐标轴围成图形的面积。解：〔1〕=，由题意可知，在〔0，1〕上恒有那么且，得，所以a的最大值为-1〔2〕的单调递减区间是，==0的两个根为和1，可求得a=-1，①假设〔1，1〕不是切点，那么设切线的切点为，，那么有，解得〔舍〕，，，k=-1②假设〔1，1〕是切点，那么k=综上，切线方程为y=1,x+y-2=0这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形它的面积S=EQ\f(1,2)(1＋2)＝EQ\f(3,2)22、(北京市宣武区2021年高三综合练习二)函数的图像过点P〔-1，2〕，且在点P处的切线恰好与直线垂直。(1)求函数的解析式；(2)假设函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围。解：〔1〕,由题意有，……………..………………..6分(2)令，得或，在区间和上均是增函数，由题意，有或，或，23、(山东省博兴二中高三第三次月考)函数f(x)=x3－3ax2＋2bx在点x=1处有极小值－1，试确定a,b的值，并求出f(x)的单调递增区间.解：由，可得f(1)=1－3a＋2b=－1. 又f′(x)=3x2－6a＋2b∴f′(1)=3－6a＋2b=0. ② 由①②可得故函数的解析式为f(x)=x3－x2－x. ----------------8分 由此得f′(x)=3x2－2x－1. 当f′(x)＞0时，x＜－或x＞1。因此在f(x)的单调递增区间为区间(－∞，－)和(1，＋∞).24、(东北区三省四市2021年第一次联合考试)函数〔为常数〕，直线l与函数的图象都相切，且l与函数的图象的切点的横坐标为l。〔1〕求直线l的方程及a的值；〔2〕当k＞0时，试讨论方程的解的个数。本小题得用导数研究函数图象的切线研究函数的单调性及讨论议程根的情况解：〔1〕②③②①③②②③②①③②比拟①和②的系数得。〔2〕－1(－1,0)0(0，1)1+0－0+0－↗极大值ln2↘极小值↗极大值ln2↘由函数在R上各区间上的增减及极值情况，可得〔1〕当时有两个解；〔2〕当时有3个解；〔3〕当时有4个解〔4〕当k=ln2时有2个解；〔5〕当时无解。25、(东北三校2021年高三第一次联考)函数上是增函数.〔I〕求实数a的取值范围；〔II〕设，求函数的最小值.解：〔I〕……2分所以…………………5分〔II〕设〔>0〕…………7分〔1〕当时，最小值为；…………10分〔2〕当时，最小值为。26、(东北师大附中高2021届第四次摸底考试)函数．〔Ⅰ〕假设在上是减函数，求的取值范围；〔Ⅱ〕函数是否既有极大值又有极小值？假设存在，求的取值范围；假设不存在，请说明理由．解：〔Ⅰ〕=…………1分∵在上为减函数，∴时恒成立．……3分即恒成立．设，那么=．∵时＞4，∴，∴在上递减，………5分∴g()＞g()=3，∴≤3．………6分〔Ⅱ〕假设既有极大值又有极小值，那么首先必须=0有两个不同正根，即有两个不同正根。…………7分令∴当＞2时，=0有两个不等的正根…………10分不妨设，由=－〔〕=－知：时＜0，时＞0，时＜0，∴当a＞2时既有极大值又有极小值．27、设函数，其中。〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕当时，证明不等式：；〔Ⅲ〕设的最小值为，证明不等式：；解：〔Ⅰ〕由得函数的定义域为，且，，解得……2分当变化时，的变化情况如下表：－0+↘极小值↗由上表可知,当时，，函数在内单调递减，…3分当时，，函数在内单调递增，……4分所以,函数的单调减区间是,函数的单调增区间是。…5分〔Ⅱ〕设。对求导，得：。……7分当时，，所以在内是增函数。所以在上是增函数。当时，，即。……8分同理可证＜x。……9分〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，，……11分将代入，得:即:1＜(a+1)，……13分，即。28、(福建省莆田一中2007～2021学年上学期期末考试卷)函数．〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．解：〔1〕求函数的导数；．曲线在点处的切线方程为：， 即 ．〔2〕如果有一条切线过点，那么存在，使．于是，假设过点可作曲线的三条切线，那么方程有三个相异的实数根．记 ，那么 ．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，那么即 ．29、(福建省泉州一中高2021届第一次模拟检测)设函数〔1〕求函数的极值点〔2〕当时，假设对任意的，恒有，求的取值范围〔3〕证明：解：在上无极值点当时，令,随x的变化情况如下表：x＋0－递增极大值递减从上表可以看出，当时，有唯一的极大值点〔2〕解：当时，在处取得极大值此极大值也是最大值。要使恒成立，只需的取值范围是〔3〕证明：令p=1，由〔2〕知:30、(福建省仙游一中2021届高三第二次高考模拟测试)二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为=1\*GB2⑴假设方程有两个相等的实数根，求的解析式；=2\*GB2⑵假设函数无极值，求实数的取值范围解：=1\*GB2⑴设，∵不等式的解集为∴………①………②又∵有两等根，∴………③由①②③解得…………〔5分〕又∵，∴，故.∴……………〔7分〕=2\*GB2⑵由①②得，∴，…………〔9分〕∵无极值，∴方程，解得31、(福建省漳州一中2021年上期期末考试)函数.〔Ⅰ〕假设、，求证：①；②.〔Ⅱ〕假设，，其中，求证：；〔Ⅲ〕对于任意的、、，问：以的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由.解：〔Ⅰ〕①要证：，只需证：，∵，那么，∴只需证：，即，∵成立，∴成立.……………〔4分〕②又∵,由①得：，且，上述两式相加得：.………………〔6分〕〔Ⅱ〕时显然成立，时，由〔Ⅰ〕得：，，，……，.各式相加得：………………〔10分〕说明：直接用比拟法证明的同样给分.〔Ⅲ〕………〔11分〕由得或，∵，∴在上为增函数，∴，，∴恒成立，∴以的值为长的三条线段一定能构成三角形32、(甘肃省河西五市2021年高三第一次联考)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线平行，导函数的最小值为〔Ⅰ〕求，，的值；〔Ⅱ〕求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值解：〔Ⅰ〕∵为奇函数，∴即 ∴…2分∵的最小值为 ∴又直线的斜率为 因此，∴，，………5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知∴，列表如下：极大极小所以函数的单调增区间是和…………8分∵，，∴在上的最大值是，最小值是33、(甘肃省兰州一中2021届高三上期期末考试)设曲线处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S〔t〕.〔Ⅰ〕求切线l的方程；〔Ⅱ〕求S〔t〕的最大值.解：〔Ⅰ〕因为，所以切线l的斜率为…………2分故切线l的方程为……5分〔Ⅱ〕令y=0得…………7分所以…………9分从而…………10分∵当…………11分所以的最大值为34、(广东省2021届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数〔如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4〕．假设测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58〔1〕求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；〔2〕该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？解：(1)因为,………2分而,故,………3分.…6分∴.…………………7分(2),由……9分当在上变化时，的变化情况如下表:-2〔-2，-1〕-1〔-1，1〕1〔1，2〕2+0－0+58增函数极大值62减函数极小值58增函数62…………………12分由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃.35、〔广东省佛山市2021年高三教学质量检测一〕设直线.假设直线l与曲线S同时满足以下两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有.那么称直线l为曲线S的“上夹线〞．〔Ⅰ〕函数．求证：为曲线的“上夹线〞．〔Ⅱ〕观察以下图： 根据上图，试推测曲线的“上夹线〞的方程，并给出证明．解〔Ⅰ〕由得，-----------1分当时，，此时，，-----------2分，所以是直线与曲线的一个切点；-----------3分当时，，此时，，-----------4分，所以是直线与曲线的一个切点；-----------5分所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；对任意x∈R，，所以---------------------------------------------------------------------6分因此直线是曲线的“上夹线〞．----------7分〔Ⅱ〕推测：的“上夹线〞的方程为------9分①先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：设：，令，得：〔kZ〕------10分当时,故：过曲线上的点(，)的切线方程为：y－[]=[－()]，化简得：．即直线与曲线相切且有无数个切点．-----12分不妨设②下面检验g(x)F(x)g(x)－F(x)=直线是曲线的“上夹线〞．36、(广东省惠州市2021届高三第三次调研考试)函数的两条切线PM、PN，切点分别为M、N.〔I〕当时，求函数的单调递增区间；〔II〕设|MN|=，试求函数的表达式；〔III〕在〔II〕的条件下，假设对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值.解：〔I〕当…1分 .那么函数有单调递增区间为………2分〔II〕设M、N两点的横坐标分别为、，…4分 …4分 同理，由切线PN也过点〔1，0〕，得〔2〕 由〔1〕、〔2〕，可得的两根， …………6分 把〔*〕式代入，得 因此，函数…8分〔III〕易知上为增函数， ……………10分 由于m为正整数，.……………………13分 又当 因此，m的最大值为6.37、(广东省汕头市潮阳一中2021年高三模拟)函数〔Ⅰ〕求的极值；〔Ⅱ〕假设函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围。解：〔Ⅰ〕令……2分当是增函数当是减函数……4分∴……6分〔Ⅲ〕〔i〕当时，，由〔Ⅰ〕知上是增函数，在上是减函数……7分又当时，所以的图象在上有公共点，等价于…………8分解得…9分〔ii〕当时，上是增函数，∴所以原问题等价于又∴无解………………11分38、(广东省汕头市澄海区2021年第一学期期末考试)函数f(x)=(1)假设h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；(2)是否存在实数a>0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？假设存在，求出a的取值范围？假设不存在，请说明理由。解：〔1〕由，得h(x)=且x>0,那么hˊ(x)=ax+2-=,〔2分〕∵函数h(x)存在单调递增区间,∴hˊ(x)≥0有解,即不等式ax2+2x-1≥0有x>0的解.〔3分〕当a<0时,y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-1≥0总有x>0的解,那么方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根,而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时,那么必定是两个不相等的正根.故只需Δ=4+4a>0,即a>-1.即-1<a<0〔5分〕当a>0时,y=ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,ax2+2x-1≥0一定有x>0的解.〔6分〕综上,a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)〔7分〕〔2〕方程即为等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0.〔8分〕设H(x)=ax2+(1-2a)x-lnx,于是原方程在区间()内根的问题,转化为函数H(x)在区间()内的零点问题.〔9分〕Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=〔10分〕当x∈(0,1)时,Hˊ(x)<0,H(x)是减函数；当x∈(1,+∞)时,Hˊ(x)>0,H(x)是增函数；假设H(x)在()内有且只有两个不相等的零点,只须〔13分〕解得,所以a的取值范围是(1,)〔14分〕39、(广东省韶关市2021届高三第一次调研考试)函数(其中),点从左到右依次是函数图象上三点,且.(Ⅰ)证明:函数在上是减函数；(Ⅱ)求证：⊿是钝角三角形;(Ⅲ)试问,⊿能否是等腰三角形?假设能,求⊿面积的最大值;假设不能,请说明理由．解：(Ⅰ)…………所以函数在上是单调减函数.…………4分(Ⅱ)证明:据题意且x1<x2<x3,由(Ⅰ)知f(x1)>f(x2)>f(x3),x2=…………6分…8分即⊿是钝角三角形……..9分(Ⅲ)假设⊿为等腰三角形，那么只能是即①…………..12分而事实上,②由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾.所以⊿不可能为等腰三角形..14分40、(广东省深圳市2021年高三年级第一次调研考试)，〔〕，直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1． 〔Ⅰ〕求直线的方程及的值；〔Ⅱ〕假设〔其中是的导函数〕，求函数的最大值；〔Ⅲ〕当时，求证：．解：〔Ⅰ〕依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为． 又因为直线与的图像相切，所以由，得〔不合题意，舍去〕； 〔Ⅱ〕因为〔〕，所以．当时，；当时，．因此，在上单调递增，在上单调递减．因此，当时，取得最大值；〔Ⅲ〕当时，．由〔Ⅱ〕知：当时，，即．因此，有．41、(广东省深圳外国语学校2021届第三次质检)设是函数的两个极值点，且〔Ⅰ〕求的取值范围；〔Ⅱ〕求证：.解证：〔I〕易得…………1分的两个极值点，的两个实根，又＞0……………………3分∴∵，……………7分〔Ⅱ〕设那么由………………10分∴在上单调递增；在上单调递减………………12分∴时，取得极大值也是最大值，………14分42、(广东实验中学2021届高三第三次段考)函数f(x)=ax3+x2-x(a∈R且a≠0)〔1〕假设函数f(x)在〔2，+∞〕上存在单调递增区间，求a的取值范围.〔2〕证明：当a>0时，函数在f(x)在区间〔〕上不存在零点略解、〔1〕因为f′(x)=3ax2+2x-1，依题意存在〔2，+∞〕的非空子区间使3ax2+2x-1>0成立，即在x∈〔2，+∞〕某子区间上恒成立，令h(x)=,求得h(x)的最小值为，故〔2〕由a>0令f′(x)=3ax2+2x-1>0得故f(x)在区间〔〕上是减函数，即f(x)在区间〔〕上恒大于零。故当a>0时，函数在f(x)在区间〔〕上不存在零点43、(广东省四校联合体第一次联考)设关于的方程的两根分别为、，函数〔1〕证明在区间上是增函数；〔2〕当为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小(1)证明：，由方程的两根分别为、知时，，所以此时，所以在区间上是增函数(2)解：由〔１〕知在上，最小值为，最大值为，，，可求得，，所以当时，在区间上的最大值与最小值之差最小，最小值为444、(广东省五校2021年高三上期末联考)函数〔I〕假设在其定义域是增函数，求b的取值范围；〔II〕在〔I〕的结论下，设函数的最小值；〔III〕设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？假设存在，求出R的横坐标；假设不存在，请说明理由.解：〔I〕依题意：在〔0,+〕上是增函数，对x∈〔0,+〕恒成立， …………2分 …………4分〔II〕设当t=1时，ymIn=b+1； …………6分当t=2时，ymIn=4+2b …………8分当的最小值为 …………9分〔III〕设点P、Q的坐标是那么点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为 …………10分假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，那么……………11分设………………①…………12分这与①矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. …………14分45、(贵州省贵阳六中、遵义四中2021年高三联考)函数，常数．〔1〕当时，解不等式；〔2〕讨论函数的奇偶性，并说明理由．〔3〕〔理做文不做〕假设在是增函数，求实数的范围解：〔1〕，，原不等