人教版九年级数学上册第21章一元二次方程课件212前三课时

第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程第1课时用直接开平方法解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第1课11课堂讲解形如x2=p(p≥0)型方程的解法形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解形如x2=p(p≥0)型方程的解法2课时流程逐点课2你会解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程组一元一次方程一元二次方程消元降次思考：如何解一元二次方程．你会解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程组一元一次方程一31知识点形如x²=p(p≥0)型方程的解法问

题（一）一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？知1－导1知识点形如x²=p(p≥0)型方程的解法问题（一）一桶某4设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6x2=1500.①整理，得x2=25.根据平方根的意义，得x=±5，即

x1=5,x2=－5.可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.知1－导设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x25知1－导（来自《点拨》）当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根x1＝－

，x2＝

；当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根x1＝x2＝0；当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根．010203归

纳知1－导（来自《点拨》）当p>0时，根据平方根的意义，方程(6知1－讲（来自《点拨》）解：

例1

用直接开平方法解方程x2－81＝0.

移项得x2＝81.根据平方的意义，得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9.移项，要变号开平方降次方程有两个不相等的实数根知1－讲（来自《点拨》）解：例1用7总

结用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．知1－讲（来自《点拨》）总结用直接开平方法解一元二次方程时，81方程x2－3＝0的根是________.对于方程x2＝m－1.(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；(2)若方程有两个相等的实数根，则m________；(3)若方程无实数根，则m________．知1－练（来自《典中点》）＞1＝1＜11方程x2－3＝0的根是________.对于方程x29下列方程中，没有实数根的是(

)A．2x＋3＝0B．x2－1＝0C.＝1D．x2＋x＋1＝0知1－练（来自《典中点》）D下列方程中，没有实数根的是()知1－练（来自《典中点》）10知1－练解下列方程：

（1）2x²-8=0

（2）9x²-5=3

（3）9x²+5=1（来自教材）知1－练解下列方程：（来自教材）11知1－练

知1－练

122知识点形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法探究知2－导

对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5?

在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5.

由此想到：由方程(x＋3)2＝5，②

得

x＋3＝±，

即

x＋3＝

，或x＋3＝－

，③

于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为

x1＝－3＋

，x2＝－3－.2知识点形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法探究知213知2－导（来自教材）归

纳

上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了．知2－导（来自教材）归纳上面的解法中14

例2

用直接开平方法解下列方程．(1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16.

解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.(2)2y－3＝±4，于是y1＝，y2＝－.知2－讲（来自《点拨》）例2用直接开平方法解下列方程．知2－讲（来自《15知2－讲（来自《点拨》）总结解形如(mx+n)²=p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解.知2－讲（来自《点拨》）总结解形如(161已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根知2－练（来自《典中点》）C1已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况172一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(

)A．x－6＝4B．x－6＝－4C．x＋6＝4D．x＋6＝－4一元二次方程(x－2)2＝1的根是(

)A．x＝3B．x1＝3，x2＝－3C．x1＝3，x2＝1D．x1＝1，x2＝－3知2－练（来自《典中点》）3DC2一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中18知2－练解下列方程：

（1）(x＋6)²－9=0

（2）3(x－1)²－6=0

（3）x²－4x＋4=5（来自教材）知2－练解下列方程：（来自教材）19知2－练解：(1)(x＋6)2－9＝0，整理，得(x＋6)2＝9，x＋6＝3或x＋6＝－3，所以方程的两个根为x1＝－3，x2＝－9.(2)3(x－1)2－6＝0，整理，得(x－1)2＝2，即x－1＝

或x－1＝－

，所以方程的两个根为x1＝

＋1，x2＝－

＋1.(3)x2－4x＋4＝5，整理，得(x－2)2＝5，即x－2＝或x－2＝－

，所以方程的两个根为x1＝

＋2，x2＝－

＋2.知2－练解：(1)(x＋6)2－9＝0，整理，得(x＋6)220直接开平方法解一元二次方程的“三步法”开方求解变形将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常

数的形式；利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；解一元一次方程，得出方程的根．直接开平方法解一元二次方程的“三步法”开方求解变形将方程化为2121.2解一元二次方程第1课时用直接开平方法解一元二次方程第21章

一元二次方程21.2解一元二次方程第21章一元二次方程2212345678910111213123456789101112131．方程x2＝p能直接开平方的条件是_________，结果为x＝_____，即x1＝_____，x2＝_______.p≥0返回1知识点形如x2＝p(p≥0)的方程的解法1．方程x2＝p能直接开平方的条件是_________，结果2．对于方程x2＝m－1，(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；(2)若方程有两个相等的实数根，则m________；(3)若方程无实数根，则m________．>1＝1<1返回2．对于方程x2＝m－1，>1＝1<1返回3．解方程16x2－49＝0，移项，得___________；二次项系数化为1，得______；直接开平方，得____．16x2＝49返回3．解方程16x2－49＝0，移项，得___________4．如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程的另一个根是(

) A．3 B．－3 C．0 D．1A返回4．如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程5．若2x2＋3与2x2－4互为相反数，则x的值为(

)A． B．2C．±2 D．D返回5．若2x2＋3与2x2－4互为相反数，则x的值为()D6．(中考·深圳)给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1，例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是(

)A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝0 D．x1＝23，x2＝－23B返回6．(中考·深圳)给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝7．形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程，直接开平方得：mx＋n＝_____，把原一元二次方程转化为两个一元一次方程：__________或____________，于是x1＝__________，x2＝__________．返回2知识点形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的解法7．形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程，直接开平8．(中考·丽水)一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(

)A．x－6＝4 B．x－6＝－4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4D返回8．(中考·丽水)一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个9．若关于x的方程(ax－1)2－16＝0的一个根为2，则a的值为(

)A． B．C．或 D．或D返回9．若关于x的方程(ax－1)2－16＝0的一个根为2，则a10．已知方程(x－2)2＝0的解也是方程x2－2mx＋1＝0的一个解，则m的值是(

)A．2 B．－2C． D．D返回10．已知方程(x－2)2＝0的解也是方程x2－2mx＋1＝11．已知a2－2a＋1＝0，则a2020等于(

)A．1 B．－1C． D．

D返回11．已知a2－2a＋1＝0，则a2020等于()D返12．用直接开平方法解下列方程：(1) ；(2)(2x－1)2＝(3x＋2)2.由

x2－2＝0得x2＝4，解得x1＝2，x2＝－2.由(2x－1)2＝(3x＋2)2得2x－1＝±(3x＋2)，解得x1＝－3，x2＝－.返回1题型直接开平方法在解方程中的应用12．用直接开平方法解下列方程：由x2－2＝0得x2＝13．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程(x－5)2－4＝0的一个根，试求三角形的周长．解：由方程(x－5)2－4＝0，得x＝3或7.根据三角形的三边关系，得3，6，3不能构成三角形；3，6，7能构成三角形．故三角形的周长为3＋6＋7＝16.返回2题型直接开平方法在三角形中的应用13．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程第2课时

用配方法解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第2课时371课堂讲解一元二次方程配方的方法用配方法解一元二次方程2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解一元二次方程配方的方法2课时流程逐点课堂小结作业提38完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2回顾旧知完全平方公式：回顾旧知391知识点一元二次方程配方的方法（来自《点拨》）知1－讲

例1

用利用完全平方式的特征配方，并完成填空．(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(2)x2＋(________)x＋36＝[x＋(________)]2;(3)x2－4x－5＝(x－________)2－______．255±12±629导引：配方就是要配成完全平方，根据完全平方式的结构特征，当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方．1知识点一元二次方程配方的方法（来自《点拨》）知1－讲40知1－讲（来自《点拨》）归

纳当二次项系数为1时，已知一次项的系数，

则常数项为一次项系数一半的平方；已知常

数项，则一次项系数为常数项的平方根的两

倍．注意有两个．当二次项系数不为1时，则先化二次项系数

为1，然后再配方．知1－讲（来自《点拨》）归纳当二次项系数为1时，已知一411填空：(1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2；(2)x2－12x＋____＝(x－____)2；(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；(4)x2－x＋____＝(x－____)2.将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是(

)A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－9知1－练（来自教材）2（来自《典中点》）255366

D1填空：知1－练（来自教材）2（来自《典中点》）2553642对于任意实数x，多项式x2－2x＋3的值一定是(

)A．非负数B．正数

C．负数D．无法确定若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是(

)A．3B．－3C．±3D．以上都不对知1－练34（来自《典中点》）CC对于任意实数x，多项式x2－2x＋3的值一定是()知1－432知识点用配方法解一元二次方程知2－导x2＋6x＋4＝0(x＋3)2＝5这种方程怎样解？变形为的形式．(a为非负常数)变形为2知识点用配方法解一元二次方程知2－导x2＋6x＋4＝0(x44知2－导知2－导45知2－讲解：

常数项移到“＝”右边例2

解方程：3x2－6x＋4＝0.移项，得

3x2－6x＝－4二次项系数化为1，得配方，得因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．

x2－2x＝.x2－2x＋12＝＋12.

(x－1)2＝

.两边同时除以3两边同时加上二次项系数一半的平方知2－讲解：常数项移到46例3解下列方程．(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法．

(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.知2－讲分析：

例3解下列方程．知2－讲分析：47解：

(1)移项，得

x2－8x＝－1.配方，得

x2－8x＋42＝－1＋42，

(x－4)2＝15.由此可得

知2－讲解：(1)移项，得知2－讲48

(2)移项，得2x2－3x＝－1.二次项系数化为1，得

配方，得由此可得

知2－讲(2)移项，得2x2－3x＝－1.知2－讲49知2－讲（来自教材）总结—般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p(Ⅱ)

的形式，那么就有：(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根

(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根x1＝x2＝－n；(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，

所以方程(Ⅱ)无实数根．x1＝－n－，x2＝－n＋；知2－讲（来自教材）总结—般地，如果一个5021用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时

加上4的是(

)A．x2＋4x＝5B．2x2－4x＝5C．x2－2x＝5D．x2＋2x＝5一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为(

)A．(x－3)2＝14B．(x－3)2＝4C．(x＋3)2＝14D．(x＋3)2＝4知2－练（来自《典中点》）AA21用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上51知2－练（来自《典中点》）下列用配方法解方程2x2－x－6＝0，开始出现错误的步骤是(

)2x2－x＝6，①

，②

，③

④A．①

B．②

C．③

D．④3C知2－练（来自《典中点》）下列用配方法解方程2x2－x－6＝52知2－练4解下列方程：

(1)x2－x－＝0(2)x(x＋4)＝8x＋12.（来自教材）知2－练4解下列方程：（来自教材）53知2－练

知2－练

54直开平方法降次配方法转化直开平方法降次配方法转化5521.2解一元二次方程第2课时用配方法解一元二次方程第21章

一元二次方程21.2解一元二次方程第21章一元二次方程123456789101112131415161712345678910111213141516171．配方的关键：(1)当二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数________的平方；(2)当二次项系数不为1时，需将方程两边同______二次项系数，化二次项系数为1后再配方．一半除以返回1知识点一元二次方程配方的方法1．配方的关键：(1)当二次项系数为1时，方程两边同时加上一2．填空：(1)x2－20x＋________＝(x－___)2；(2)关于x的一元二次方程x2－6x＋a＝0，配方后为(x－3)2＝1，则a＝____．100108返回2．填空：100108返回3．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是(

)A．x2－2x＝5 B．x2＋2x＝5C．x2－8x＝5 D．x2＋4x＝5D返回3．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是(4．对于任意的实数x，多项式x2－3x＋3的值是一个(

)A．整数 B．负数C．正数 D．无法确定C返回4．对于任意的实数x，多项式x2－3x＋3的值是一个()5．若关于x的方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m等于(

)A．－2 B．－2或6C．－2或－6 D．2或－6B返回5．若关于x的方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是一个完6．把方程左边配成__________形式来解一元二次方程的方法叫做配方法；配方的目的是使方程能用______________来解．完全平方直接开平方法返回2知识点用配方法解一元二次方程6．把方程左边配成__________形式来解一元二次方程的7．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x－m)2＝p的形式，那么就有：(1)当p>0时，方程有两个不等的实数根，即x1＝________，x2＝________；(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝____；(3)当p<0时，方程________实数根．m无返回7．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x－m)2＝8．解方程：2x2－3x－2＝0.为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x2－3x＝________；再把二次项系数化为1，得x2－_____x＝____；然后配方，得x2－______x＋______＝1＋______；进一步得

，解得方程的两个根为____________________．21x1＝2，x2＝－12返回8．解方程：2x2－3x－2＝0.21x1＝2，x2＝－129．下面是用配方法解方程2x2－x－6＝0的过程，开始出现错误的步骤是(

)解：2x2－x＝6，①

x2－

x＝3，②x2－

x＋

＝3＋

，③

④A．① B．②C．③ D．④C返回9．下面是用配方法解方程2x2－x－6＝0的过程，开始出现错10．(中考·泰安)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(

)A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3A返回10．(中考·泰安)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为11．把方程x2＋4x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值分别是(

)A．2，9 B．－2，9C．2，1 D．－2，1A返回11．把方程x2＋4x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则12．(中考·东营)若|x2－4x＋4|与

互为相反数，则x＋y的值为(

)A．3 B．4C．6 D．9A返回12．(中考·东营)若|x2－4x＋4|与 互为相反13．用配方法解下列方程：(1)(中考·安徽)x2－2x＝4；(2)3x2－2＝5x.配方得(x－1)2＝5，解得x1＝1＋

，x2＝1－.移项得3x2－5x＝2，配方得即解得x1＝2，x2＝.返回13．用配方法解下列方程：配方得(x－1)2＝5，移项得3x14．先阅读，后解题．若m2＋2m＋n2－6n＋10＝0，求m和n的值．解：由已知得m2＋2m＋1＋n2－6n＋9＝0，即(m＋1)2＋(n－3)2＝0.∵(m＋1)2≥0，(n－3)2≥0，∴(m＋1)2＝0，(n－3)2＝0.∴m＋1＝0，n－3＝0.∴m＝－1，n＝3.1题型配方法在求字母值中的应用14．先阅读，后解题．1题型配方法在求字母值中的应用利用以上解法，解答下面的问题：已知x2＋5y2－4xy＋2y＋1＝0，求x和y的值．解：∵x2＋5y2－4xy＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2＋y2＋2y＋1＝0，∴(x－2y)2＋(y＋1)2＝0.∴x－2y＝0，y＋1＝0.解得x＝－2，y＝－1.返回利用以上解法，解答下面的问题：解：∵x2＋5y2－4xy＋215．已知实数x满足

，求

的值．解：将原方程两边同时加上2，得即设

则方程

可化为y2＋2y＝8.2题型配方法在求代数式值中的应用15．已知实数x满足 ，求 的值．解：将原方程两边同时加上15．已知实数x满足

，求

的值．配方，得y2＋2y＋1＝8＋1，所以(y＋1)2＝9.直接开平方，得y＋1＝±3.解得y1＝2，y2＝－4.即

或返回15．已知实数x满足 ，求 的值．配方，得y2＋2y＋1＝16．先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题．例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.∵(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4.∴y2＋4y＋8的最小值是4.3题型配方法在求多项式最值中的应用16．先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题．3题型配方法(1)求代数式m2＋m＋4的最小值．m2＋m＋4＝

∵∴则m2＋m＋4的最小值是.(1)求代数式m2＋m＋4的最小值．m2＋m＋4＝ (2)求代数式4－x2＋2x的最大值．4－x2＋2x＝－(x－1)2＋5.∵－(x－1)2≤0，∴－(x－1)2＋5≤5.则4－x2＋2x的最大值是5.(2)求代数式4－x2＋2x的最大值．4－x2＋2x＝－(x(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成，如图所示．设AB＝xm，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一(3)由题意，得花园的面积是x(20－2x)＝－2x2+20x(m2)．∵－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，且－2(x－5)2≤0，∴－2(x－5)2＋50≤50.∴－2x2＋20x的最大值是50，此时x＝5，20－2x＝10<15，符合题意．则当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2.返回(3)由题意，得花园的面积是x(20－2x)＝－2x2+2017．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b＋| －2|＝10a＋2－22，试判断△ABC的形状．解：由a2＋b＋|－2|＝10a＋－22，得c－1≥0，b－4≥0.∴原方程可变形为:(a2－10a＋25)＋(b－4－

＋1)＋|－2|＝0.17．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b＋| ∴(a－5)2＋(

－1)2＋|－2|＝0.∴a－5＝0，

－1＝0，

－2＝0.∴a＝5，b＝5，c＝5，∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形.返回∴(a－5)2＋(－1)2＋|第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程第3课时

一元二次方程根的判别式第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第3课821课堂讲解一元二次方程根的判别式一元二次方程根的情况的判别一元二次方程根的判别式的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解一元二次方程根的判别式2课时流程逐点课堂小结作业提83

同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，那么老师这里有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，同学们想知道老师是如何做到的吗？这就是我们这节课要学习的内容.同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，那841知识点一元二次方程根的判别式我们可以用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．移项，得二次项系数化为1，得

知1－讲1知识点一元二次方程根的判别式我们可以用配方法解一元二次方85识点配方，得即

因为a≠0，所以4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况:

(1)

(2)(3)

知1－讲识点配方，得知1－讲86知1－讲（来自教材）归纳一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.

知1－讲（来自教材）归纳一般地，式子b2－4ac871已知方程2x2＋mx＋1＝0的判别式的值为16，则m的值为(

)A.

B.

C.

D.

知1－练（来自《典中点》）C1已知方程2x2＋mx＋1＝0的判别式的值为16，则知1－练882知识点一元二次方程根的情况的判别知2－讲一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况：

当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；

当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ<0时，方程无实数裉．（来自教材）2知识点一元二次方程根的情况的判别知2－讲一元二次方程ax289例1

不解方程，判断下列方程根的情况．

(1)

(2)根的判别式是在一般形式下确定的，因此应

先将方程化成一般形式，然后算出判别式的

值．(1)原方程化为:

知2－讲∴方程有两个相等的实数根导引：解：例1不解方程，判断下列方程根的情况．知2－讲∴方程有90知2－讲∴方程有两个不相等的实数根(2)原方程化为:（来自《点拨》）知2－讲∴方程有两个不相等的实数根(2)原方程化为:（来自91知2－讲（来自《点拨》）总结判断方程根的情况的方法：①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左边

是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实

数根；②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方

程有两

个不相等的实数根；③当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判

断根的情况．知2－讲（来自《点拨》）总结判断方程根的情况的方法：92一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定知2－练1一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是()知2－练193一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是(

)A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个实数根知2－练2A一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是()知2－练294知2－练3

利用判别式判断下列方程的根的情况：

(1)(2)（来自教材）知2－练3利用判别式判断下列方程的根的情况：（来自教材95知3－讲

知3－讲

963知识点一元二次方程根的判别式的应用知3－讲例2

k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x

＋9＝0有两个不相等的实数根？导引：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程

的Δ>0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出

以k为未知数的不等式，求出k的取值范围．3知识点一元二次方程根的判别式的应用知3－讲例2k取97知3－讲解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，

∴k≠0.方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.

由144－36k>0，求得k<4，又k≠0，∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．（来自《点拨》）知3－讲解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方98知2－讲（来自《点拨》）归纳方程有两个不相等的实数根，说明两点：一是该方程是一元二次方程，即二次项系数不为零；二是该方程的Δ>0.知2－讲（来自《点拨》）归纳方程有两个不相等的实数根，说991若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实数根，则a的取值范围是(

)A．a≥1B．a＞1C．a≤1

D．a＜1知3－练（来自《典中点》）A1若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实知3－练（1002a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(

)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0知3－练（来自《典中点》）B2a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方1013若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(

)知3－练（来自《典中点》）B3若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等102(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习

了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有

重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须

牢固掌握好它.(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般

当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根

的情况时，使用逆定理.(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习103(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)判别式的情况根的情况定理与逆定理

△＞0两个不相等的实根△＞0两个不相等的实根△＝0两个相等的实根△＝0

两个相等的实根

△＜0无实根△＜0

无实根(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b210421.2解一元二次方程第3课时一元二次方程根的判别式第21章

一元二次方程21.2解一元二次方程第21章一元二次方程123456789101112131415161712345678910111213141516171．式子________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，用希腊字母“Δ”表示．计算根的判别式时，先将方程化成____________，确定a，b，c的值，然后再计算．b2－4ac一般形式返回1知识点一元二次方程根的判别式1．式子________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝02．方程4x2＋x＝5化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a，b，c的值分别为(

)A．a＝4，b＝1，c＝5B．a＝1，b＝4，c＝5C．a＝4，b＝1，c＝－5D．a＝4，b＝－5，c＝1C返回2．方程4x2＋x＝5化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a3．方程x2－4x＝0中，b2－4ac的值为(

)A．－16 B．16C．4 D．－4B返回3．方程x2－4x＝0中，b2－4ac的值为()B返回4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac的符号来判定：(1)当b2－4ac____0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2－4ac____0时，方程有两个相等的实数根；(3)当b2－4ac____0时，方程没有实数根．>＝<返回2知识点一元二次方程根的情况的判别4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由5．(中考·扬州)一元二次方程x2－7x－2＝0的实数根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定A返回5．(中考·扬州)一元二次方程x2－7x－2＝0的实数根的情6．(中考·河南)一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况是(

)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根B返回6．(中考·河南)一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况7．(中考·上海)下列方程中，没有实数根的是(

)A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0D返回7．(中考·上海)下列方程中，没有实数根的是()D返回8．(中考·葫芦岛)下列一元二次方程中有两个相等实数根的是(

)A．2x2－6x＋1＝0 B．3x2－x－5＝0C．x2＋x＝0 D．x2－4x＋4＝0D返回8．(中考·葫芦岛)下列一元二次方程中有两个相等实数根的是(9．若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实数根，则k的非负整数值是________．1返回3知识点一元二次方程根的判别式的应用9．若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实数根，则k10．(中考·广州)关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(

)

A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4A返回10．(中考·广州)关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有11．(中考·兰州)如果一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为(

)A．m＞ B．m＞

C．m＝ D．m＝C返回11．(中考·兰州)如果一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两12．(中考·宁夏)关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0有实数根，则a的取值范围是(

)A．a＞－ B．a≥－

C．a＞－

且a≠1 D．a≥－

且a≠1D返回12．(中考·宁夏)关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x13．(中考·咸宁)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(

)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断B返回13．(中考·咸宁)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第14．不解方程，判断下列方程根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41>0，∴原方程有两个不相等的实数根．1题型根的判别式在判别方程根的情况中的应用14．不解方程，判断下列方程根的情况：解：(1)∵Δ＝b2－(2)16y2＋9＝24y；原方程可变形为16y2－24y＋9＝0.∵Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(2)16y2＋9＝24y；原方程可变形为16y2－24y＋(3)5(x2＋1)－7x＝0.原方程可变形为5x2－7x＋5＝0.∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝－51<0，∴原方程没有实数根．返回(3)5(x2＋1)－7x＝0.原方程可变形为5x2－7x＋15．(中考·北京)关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；2题型根的判别式在求字母取值范围中的应用15．(中考·北京)关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x解：∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m2－1)＝4m＋5>0，解得m>解：∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．(答案不唯一)m＝1，此时原方程为x2＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝－3.返回(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．(答案不唯16．(2016·巴中)定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：(－3)☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断关于x的方程2x2－bx＋a＝0的根的情况．3题型根的判别式在新定义中的应用16．(2016·巴中)定义新运算：对于任意实数m，n都有m解：∵2☆a的值小于0，∴4a＋a＝5a<0，解得a<0.在方程2x2－bx＋a＝0中，Δ＝(－b)2－8a≥－8a>0，∴方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根．返回解：∵2☆a的值小于0，返回17．已知关于x的方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝0.求证：(1)此方程必有实数根；(2)若a，b，c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，则△ABC为等边三角形．17．已知关于x的方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝证明：(1)整理方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝0，得3x2－(4b＋4c－2a)x＋4bc－a2＝0.Δ＝(4b＋4c－2a)2－12(4bc－a2)＝16b2＋16c2＋16a2－16ab－16bc－16ac＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴Δ≥0.∴原方程必有实数根．证明：(1)整理方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝0(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0.∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0.∵a，b，c为三角形的三边长，∴a＝b≠0，b＝c≠0，a＝c≠0，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．返回(2)∵方程有两个相等的实数根，返回第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程第1课时用直接开平方法解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第1课1311课堂讲解形如x2=p(p≥0)型方程的解法形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解形如x2=p(p≥0)型方程的解法2课时流程逐点课132你会解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程组一元一次方程一元二次方程消元降次思考：如何解一元二次方程．你会解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程组一元一次方程一1331知识点形如x²=p(p≥0)型方程的解法问

题（一）一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？知1－导1知识点形如x²=p(p≥0)型方程的解法问题（一）一桶某134设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6x2=1500.①整理，得x2=25.根据平方根的意义，得x=±5，即

x1=5,x2=－5.可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.知1－导设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x2135知1－导（来自《点拨》）当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根x1＝－

，x2＝

；当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根x1＝x2＝0；当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根．010203归

纳知1－导（来自《点拨》）当p>0时，根据平方根的意义，方程(136知1－讲（来自《点拨》）解：

例1

用直接开平方法解方程x2－81＝0.

移项得x2＝81.根据平方的意义，得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9.移项，要变号开平方降次方程有两个不相等的实数根知1－讲（来自《点拨》）解：例1用137总

结用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．知1－讲（来自《点拨》）总结用直接开平方法解一元二次方程时，1381方程x2－3＝0的根是________.对于方程x2＝m－1.(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；(2)若方程有两个相等的实数根，则m________；(3)若方程无实数根，则m________．知1－练（来自《典中点》）＞1＝1＜11方程x2－3＝0的根是________.对于方程x2139下列方程中，没有实数根的是(

)A．2x＋3＝0B．x2－1＝0C.＝1D．x2＋x＋1＝0知1－练（来自《典中点》）D下列方程中，没有实数根的是()知1－练（来自《典中点》）140知1－练解下列方程：

（1）2x²-8=0

（2）9x²-5=3

（3）9x²+5=1（来自教材）知1－练解下列方程：（来自教材）141知1－练

知1－练

1422知识点形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法探究知2－导

对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5?

在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5.

由此想到：由方程(x＋3)2＝5，②

得

x＋3＝±，

即

x＋3＝

，或x＋3＝－

，③

于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为

x1＝－3＋

，x2＝－3－.2知识点形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法探究知2143知2－导（来自教材）归

纳

上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了．知2－导（来自教材）归纳上面的解法中144

例2

用直接开平方法解下列方程．(1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16.

解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.(2)2y－3＝±4，于是y1＝，y2＝－.知2－讲（来自《点拨》）例2用直接开平方法解下列方程．知2－讲（来自《145知2－讲（来自《点拨》）总结解形如(mx+n)²=p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解.知2－讲（来自《点拨》）总结解形如(1461已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根知2－练（来自《典中点》）C1已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况1472一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(

)A．x－6＝4B．x－6＝－4C．x＋6＝4D．x＋6＝－4一元二次方程(x－2)2＝1的根是(

)A．x＝3B．x1＝3，x2＝－3C．x1＝3，x2＝1D．x1＝1，x2＝－3知2－练（来自《典中点》）3DC2一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中148知2－练解下列方程：

（1）(x＋6)²－9=0

（2）3(x－1)²－6=0

（3）x²－4x＋4=5（来自教材）知2－练解下列方程：（来自教材）149知2－练解：(1)(x＋6)2－9＝0，整理，得(x＋6)2＝9，x＋6＝3或x＋6＝－3，所以方程的两个根为x1＝－3，x2＝－9.(2)3(x－1)2－6＝0，整理，得(x－1)2＝2，即x－1＝

或x－1＝－

，所以方程的两个根为x1＝

＋1，x2＝－

＋1.(3)x2－4x＋4＝5，整理，得(x－2)2＝5，即x－2＝或x－2＝－

，所以方程的两个根为x1＝

＋2，x2＝－

＋2.知2－练解：(1)(x＋6)2－9＝0，整理，得(x＋6)2150直接开平方法解一元二次方程的“三步法”开方求解变形将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常

数的形式；利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；解一元一次方程，得出方程的根．直接开平方法解一元二次方程的“三步法”开方求解变形将方程化为15121.2解一元二次方程第1课时用直接开平方法解一元二次方程第21章

一元二次方程21.2解一元二次方程第21章一元二次方程15212345678910111213123456789101112131．方程x2＝p能直接开平方的条件是_________，结果为x＝_____，即x1＝_____，x2＝_______.p≥0返回1知识点形如x2＝p(p≥0)的方程的解法1．方程x2＝p能直接开平方的条件是_________，结果2．对于方程x2＝m－1，(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；(2)若方程有两个相等的实数根，则m____