一元二次方程章末测试卷（培优卷）（解析版）

第21章一元二次方程章末测试卷（培优卷）选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）（3分）（2021春•九龙坡区期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ）A. B.f+|=-1C.x2-4=2y D.-2^+3=0【解题思路】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.【解答过程】解：A.当a=l时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意：C.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D.是一元二次方程，故本选项符合题意：故选：D.（3分）（2021春•亳州期末）把方程/+2（x-1）=3x化成一般形式，正确的是（ ）A.x1-x-2=0B./+5x-2=0C.x1-x-1=0D.x2-2x-1=0【解题思路】根据一元二次方程的一般形式是：a^+hx+c^（a,h,c是常数且aWO）,可得出答案.【解答过程】解：将一元二次方程）+2（x-1）=3x化成一般形式有：?-x-2=0,故选：A.（3分）（2021春•丽水期末）用配方法将方程/-6x=l转化为（x+a）2=/,的形式，则°,6的值分别为（ ）A.〃=3，b=lB.a=-3,b=1C.。=3，b=10D.a=-3,b=10【解题思路】已知方程利用完全平方公式配方后，确定出。与人的值即可.【解答过程】解：方程/-6x=l,配方得：x2-6;r+9=10,即（x-3）2=10,则a,6的值分别为-3,10.故选：D.（3分）（2021春•岳西县期末）已知关于x的方程/-3x+m=0的一个根是2.则此方程的另一个根为（）A.0 B.1 C.2 D.3【解题思路】设方程另一个根为刘，根据根与系数的关系得到2+川=3,从而得到方程的另•个根.

【解答过程】解：设方程另一个根为XI,根据题意得2+xi=3,解得XI=1,即此方程的另一个根为1.故选：B.（3分）（2021春•潜山市期末）若关于x的方程h2+（k+2）x+4=0有实数根，则实数&的取值范围是（ ）A.左2-1 B.左2-1且上云0C.左>-1且左#0D.左W-1【解题思路】讨论：当女=0时，方程化为2x=0,方程有一个实数解；当时，A=（*+2）2-4jI«->0,4然后求出两种情况下的k的公共部分即可.【解答过程】解：当&=0时，方程化为2x=0,解得x=0；k当Jl#o时，A=a+2）2-4k->0,解得出2-1,4所以实数A的取值范围是无力-1.故选：A.（3分）（2021春•怀宁县期末）关于x的一元二次方程/-（2/n-1）x-m-2=0实数根的情况最确切的是（ ）A.有实数根 B.无实根C.有两个相等实根 D.有两个不相等的实根【解题思路】根据A=[-（2/n-1）]2-4X1X（-m-2）=4"尸-4/w+l+4/"+8=4，”2+9>0可得答案.【解答过程】解：VA=[-（.2m-1）]2-4X|X（-/n-2）=4/n2-4m+1+4m+8=4m2+9>0>方程有两个不相等的实根，故选：D.（3分）（2021春•靖江市期末）某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为X,根据题意列出的方程是（ ）20（1+x）2=9020(1-x)2=90C.20(1+x)+20(1+x)2=90D.20+20(1+x)+20(1+x)2=90【解题思路】设二、三月份每月的平均增长率为x,则二月份生产某大型机器20(1+x)台，三月份生产某大型机器20(1+x)2台，根据二、三月份共生产90台，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【解答过程】解：设二、三月份每月的平均增长率为X,则二月份生产某大型机器2(1+x)台，三月份生产某大型机器2(1+x)2台，依题意，得：20(1+x)+20(1+x)2=90.故选：C.(3分)(2021•毕节市)某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为( )A.5 B.6 C.7 D.8【解题思路】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【解答过程】解：设八年级有x个班，1依题意得：-x(x-1)=15,2整理得：?-x-30=0,解得：xi=6,X2=-5(不合题意，舍去).故选：B.(3分)(2021•遵义)在解一元二次方程7+px+g=0时，小红看错了常数项g,得到方程的两个根是-1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是( )A.^+2x-3=0B.x2+2x-20=0C.x2-2x-20=0D.x2-2x-3=0【解题思路】先设这个方程的两根是a、p,根据两个根是-3,1和两个根是5,-4,得出a+B=-p=-2,ap=9=-20,从而得出符合题意的方程.【解答过程】解：设此方程的两个根是a、p.根据题意得：a+P=-p=-2,a°=g=-20,则以a、0为根的一元二次方程是20=0.故选：B.(3分)(2021春•太湖县期末)定义：如果一元二次方程0^+云+。=0(aWO)“满足a+b+c=O",那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程a?+法+c=0(aKO)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是( )

A.a=cWbB.a=b^cA.a=cWbB.a=b^cC.b=c#aD.a=b=c【解题思路】根据已知得出方程苏+加叶。=。（4*0）有X=-1,再判断即可.【解答过程】解：把x=l代入方程o^+fer+cnO得出a+b+c=O,:'b=-a-c,・・•方程有两个相等的实数根，•・△=//-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2=0,»U=C9•a=cW。，故选：A.二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）（3分）（2021春•龙口市期中）若关于x的一元二次方程（山+2）9阑+2r-1=0是一元二次方程，则m=2•【解题思路】一元二次方程的一般形式是：ar2+bx+c=O（a,b,c是常数且aH0）特别要注意aHO的条件.【解答过程】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）一定是此二次项.所以得到忙解得，"=2.（3分）（2021春•岳西县期末）已知某个一元二次方程的两根分别是1和-2,则这个方程可以是（填一般形式）/+x-2=0（答案不唯一）.【解题思路】根据一元二次方程的根与系数的关系，观察各式即可得出结论.【解答过程】解：•••一元二次方程的两根分别是1和-2,.".;n+x2=-1X\X2=-2..••这个方程为：/+x-2=0（答案不唯一）.故答案为：?+x-2=0（答案不唯一）.（3分）（2021春•高邮市期末）若a是方程/+x-1=0的根，则代数式2022-3/-3a的值是2019.【解题思路】把x=a代入已知方程，并求得J+4=i,然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可.【解答过程】解：把x=a代入1=0,得cr+a-1=0,解得c^+a=1,所以2022-3a2-3a=2022-3（a2+a）=2022-3=2019.故答案是：2019.（3分）（2021•南岗区模拟）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程/-5x+6=0的两根，则该等腰三角形的周长为7或8.【解题思路】先利用因式分解法解方程得到x\=2,X2=3,利用等腰三角形的性质讨论：等腰三角形的腰为2,底边为3；等腰三角形的腰为3,底边为2,然后分别计算对应的三角形的周长.【解答过程】解：•••/-5x+6=0,（x-2）（x-3）=0,BPx-2=0或x-3=0,Xi=2>X2=3,当等腰三角形的腰为2,底边为3时，2+2>3,该等腰三角形的周长为2+2+3=7；当等腰三角形的腰为3,底边为2时，3+2>3,该等腰三角形的周长为2+3+3=8：综上所述，该等腰三角形的周长为7或8.故答案为7或8.（3分）（2021春•蚌埠月考）关于x的一元二次方程（a+l）/-2%+3=0有实数根，则整数a的最大值是-2.【解题思路】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0,求出a的范围，确定出所求即可.【解答过程】解：••・关于x的一元二次方程（a+1）/-2r+3=0有实数根，.•.△=4-12（a+1）>0,且a+IWO,解得：a<一可且・1，则整数a的最大值为-2.故答案为：_2.（3分）（2020秋•万荣县期末）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即为剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.若长方形纸板边长分别为40cm和30cm,且折成的长方体盒子表面积是888c〃P,则剪掉的小正方形的边长为6cm.

30cm40cm2X20x=888,故答案为（用因式分解法）【解题思路】根据一元二次方程的解法即可求出答案（了+弓X）(3x+x若方程有一个根为1的值（2021秋•灌南县期中）用指定方法解下列方程解答题（共30cm40cm2X20x=888,故答案为（用因式分解法）【解题思路】根据一元二次方程的解法即可求出答案（了+弓X）(3x+x若方程有一个根为1的值（2021秋•灌南县期中）用指定方法解下列方程解答题（共7小题，满分52分）求证：方程总有两个实数根（不合题意，舍去）2=0（用配方法）成的长方体盒子表面积是888。混，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论依题意得：40X30【解答过程】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm,则剪掉的小长方形的长为二~=20,小,（6分）（2021春•金安区校级期末）关于x的一元二次方程％2-mx+2/n-4=0.【解题思路】设剪掉的小正方形的边长为xo",则剪掉的小长方形的长为二*=20cv„,宽为xcm,根据折【解题思路】(1)求出A=(/n-3)220,再根据根的判别式得出答案即可；(2)把x=l代入方程得出1-m+2m-4=0,再求出方程的解即可.【解答过程】(1)证明：?-mx+2m-4=0,A=(-m)2-4XlX(2/n-4)=m2-8»i+16=(/n-4)2,:不论m为何值，(〃?-4)2/0,A20,...方程总有两个实数根；(2)把x=1代入关于x的一元二次方程/-znr+2"i-4=0,得1-m+2,”-4=0.解得m=3.(8分)(2021春•高邮市期末)已知关于x的一元二次方程(2a-1)x+/+l=0两根为xi,(1)已知xi-M=0,求a的值；(2)化简：J(a-1)2一|2-小【解题思路】(1)根据根与系数的关系，列出关于"的方程，解方程即可求解；(2)根据判别式可求a的取值范围，再化简即可求解.【解答过程】解：A=(2a-1)2-4(a2+l)=-4a-420,解得aW-1>(1)关于x的一元二次方程/-(2a-1)x+J+l=0两根为xi,X2).»x\+x2=2a-1»x\xi=a+1>Vxi-X2=0f:.(XI+X2)2-4xiX2=0,即(2〃-1)2-4(J+i)=-公-4=0,解得a=-V(a-l)2-|2-^|=I-a-(2-a)=-1.(8分)(2020秋•洪洞县期中)阅读材料：为解方程(7-1)2-3(/-1)=0,我们可以将1视为一个整体，然后设将原方程化为y2-3y=0,①解得yi=0,”=3.当y=0时，x2-1=0,x2=l,/.x=±1当y=3时，x2-1=3,x2=4,.\x=±2，原方程的解为用=1,X2=-1，X3=2,X4=-2解答问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的,体现了化归的数学思想:(2)利用上述材料中的方法解方程：(/+x)2-(/+x)-2=0.【解题思路】(1)根据换元法及其体现的数学思想解答即可.(2)设/+x=/n,用/n代替方程中的f+x,然后解关于，”的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程.【解答过程】解：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；故答案为：换元，化归；(2)令x^+x=m,则m2-w-2=0,(m-2)(w+1)=0,.,.m-2—0或m+1=0,解得m=2或m=-1,当zn=2时，x2+x=2,即/+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,则x+2=0或x-1=0,解得xi=-2,X2=l;当m=-1时，，+x=-1.即/+x+l=0,VA=12-4X1X1=-3<0.此方程无解；综上，原方程的解为Xl=-2,X2=l.(8分)(2020秋•金台区校级月考)设△ABC的三边长为a,b,c,其中a,6是方程(c+2)x+2(ch-1)=0的两个实数根.(1)判断△ABC是否为直角三角形？是说明理由.(2)若△4BC是等腰三角形，求a,b,c的值.【解题思路】(1)根据根与系数的关系得到a+b=c+2,ab=2(c+1)=2c+2,把第一个等式两边平方，整理可得到/+〃=/,根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以c为斜边的直角三角形；(2)由于△ABC是等腰直角三角形，则且。=或小利用a+b=c+2可计算出a,于是可得到6、c的值.【解答过程】解：(I)/XABC是直角三角形.理由如下：根据题意得〃+b=c+2,ab=2(c+1)=2c+2,(a+b)2=(c+2)2,即。2+2"+庐=(2+4。+4,/.〃2+4c+4+/>2=c2+4c-i-4,.\a2+/?2=c2,•・.△ABC是以c为斜边的直角三角形；(2):△ABC是等腰三角形，・•〃=b,_H.c—\[*2.g»a+a=V2a+2,/•4Z=2+V2».*./>=2+V2,c=2+2V2.(8分)(2020•玉田县二模)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9X11-3X17=48,13X15-7X21=48.不难发现，结果都是48.2019年1月星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12-456一♦-S10it--'12•>.<1314瓦”16---17---1819--21--232425262728293031(1)请证明发现的规律;(2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435,求出这5个数的最大数；(3)小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120,直接判断他的说法是否正确(不必叙述理由).【解题思路】(I)设中间的数为。，则另外4个数分别为(。-7),(a-1),(a+D,(a+7),利用(a-1)(a+1)-(a-7)(a+7)=48可证出结论：(2)设这5个数中最大数为x,则最小数为(x-14),根据两数之积为435,可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(3)设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-14),根据两数之积为120,可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确.【解答过程】(1)证明：设中间的数为。，则另外4个数分别为(a-7),(a-1),(a+1),(a+7),(a-1)(a+1)-(a-7)(a+7),=a2-1-(a2-49),=48.(2)解：设这5个数中最大数为x,则最小数为(x-14),依题意，得：x(x-14)=435,解得：XI=29.xi=-15(不合题意，舍去).答：设这5个数中最大数为29.(3)解：设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-14),依题意，得：y(y-14)=120,解得：yi=20,yn=-6(不合题意，舍去).；20在第一列，二不符合题意，.••小明的说法不正确.(8分)(2021春•南沼区期末)科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器.开工第一天生产200万个，第三天生产288万个.试回答下列问题：(1)求前三天生产量的日平均增长率；(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天.①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)