2023年高三复习专项练习：第39练　解三角形及其应用举例

第39练解三角形及其应用举例基础对点练考点一三角形的解及形状的判定1.在△ABC中，若a=18,方=24,A=45°,则此三角形有（ ）A.无解 B.两解C.一解 D.解的个数不确定答案B解析在△4BC中，若a=18,b=24,A=45°,则由正弦定理云=磊得尚=3^，即sinB=\^=芈*,的度数有两解，从而该三角形有两解.2.已知在△ABC中，震/=，则△ABC的形状为（）idnijoA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形答案C•人十》zffl出sinAcosBsin2A•.由正弦定理得，sinBcosA=^B'.cosBsinA*cosA=sinB,sinAcosA=sinBcosB,.'.sin2A=sin2B,・・・2A=23或2A+2B=7t,.\A=B或A+8=],则△ABC是等腰或直角三角形..（2022•北京101中学模拟）在△ABC中，L^=sin2（a,b,。分别为角4B,C的对边）,则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案ASin\~-cin<4 1-r'OSfi解析依题意，利用正弦定理及二倍角公式得—厂一，即sinA=sinCeos8,又sinA=sin（B+C）=sin氏osC+cosBsinC,故sinBcosC=0,在三角形中sinBWO,故cosjrc=o,即c=：,故三角形为直角三角形..（多选）已知△ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,6,c,下列四个命题中正确的是（ ）A.汽念=焉=占，则AABC一定是等边三角形B.若“cosA=Z?cos3,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcosC+ccos8=/?,则△ABC一定是等腰三角形D.若。2+/一/<0,则△ABC一定是钝角三角形答案ACD解析对于A,若急=岛=»氏，„.sinAsinBsinCni = = cosAcosBcosC*即tanA=tan8=lanC,即A=B=C,所以AABC是等边三角形，故A正确；对于B,若acosA=hcos&由正弦定理得，sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,则2A=28或2A+28=冗，jr即A=B或A+3=5，则AABC为等腰或直角三角形，故B错误；对于C,若bcosC+ccosB=b,贝ijsinBcosC+sinCeosB=sinB,所以sin（B+O=sinA=sinB,即A=&则△ABC一定是等腰三角形，故C正确；

对于D,在△A8C中，a2+62—£^<0,即<?+从<<?,又c2=a2+ft2—2abcosC,所以cosC<0,即角C为钝角，则AABC一定是钝角三角形，故D正确..（多选）（2022・南通模拟）在△4BC中，a,b,c分别为内角4,B,C的对边，下列叙述正确的有（）A-若品=自，则△ABC为等腰三角形B-若嘉=熹,则4ABC为等腰三角形C.若tanA+tan8+tanC<0,则△4BC为钝角三角形TTD.若a=bsinC+ccosB,则C=1答案ACDZ7h解析对于A,由正弦定理得名=3,billZ1SillIJr__a bXsinB=sinA,sinA=sinB,而A+B+C=n,・二只能A=8,即△ABC为等腰三角形，故A正确;对于B,由正弦定理得看=磊,…R=cccd可化为sinAcosA=sinBcosB,UMoDUMozi即sin2A=sin2B,：.2A=2B或2A+28=m•••△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误;对于C,VA+B+C=7t,/.sin(A+B)=sin(7t-C)=sinC,cos(A+B)=cos(n—Q=-cosC,… … … … -sinA.sinB.sinCsinAcosB+sinBcosA--tanA+tanfi+tanC=八〜人十、〜d十『 八〜八八…口斗cosAcosBcosCcosAcosBsinCsinCcosC-cosAcosBsinC./ 1 41) .,cosC+cosAcosBsinAsinBsinCcosC*—’I”\cosAcosBcosC/-sincosAcosBcosC-cosAcosBcosCVtanA+tanB+tanC<0,而sinA>0,sinB>0,sinC>0,.'.cosA,cos8,cosC中必有且只有一个小于0,•••△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D,Va=Z?sinC+ccosB,由正弦定理得sinA=sinBsinC+sinCeosB,即sinBcosC+sinCeos8=sinBsinC+sinCeosB,VsinB#0,cosC=sinC,vce（o,it）,，C=£,故D正确.考点二正、余弦定理的应用举例.海面上有A,B,C三个灯塔，AB=10nmile,从A望C和B成60。视角，从8望C和A成75。视角，则BC等于（）A.nmile nmileC.5啦nmile D.5y/6nmile答案D解析如图，B/AA460° \在△ABC中，AB=10nmile,NA=60°,NB=75°,ZC=45°.由正弦定理得信=尚，解得BC=5#nmile.7.如图，地面上四个5G中继站A,B,C,£>.已知C£>=（#+啦）km,ZADB=ZCDB=30°,NOCA=45。，ZACB=60°,则A,8两个中继站的距离是（ ）AB24skm B.2\[]0kmC.,^Tokm D.6r\[2km答案C解析由题意可得ND4c=75。，NQBC=45。.在△AOC中，由正弦定理得

CDsinZADC(#+柩又当CDsinZADC(#+柩又当AC=sinZDACsin75°=2小.(^/6+V2)x1在△BOC中，由正弦定理得(^/6+V2)x1CDsinZBDCBC= °sinZDBC在△ACB中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2XACXBCXcosNACB=(2小＞+(小+1)2—2X2小X(小+l)X；=10,所以AB=y[\0km..一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在8处观察灯塔,其方向是北偏东65。，那么B,C两点间的距离是（）\0\[2nmile\0\[2nmileC.2073nmile10^3nmileD.20^2nmile答案A解析如图所示,由已知条件得，NCAB=30。，NABC=105。,：.ZBCA=45°.又AB=40x1=20(nmile),AO Df'由正弦定理可得诉=者而20X]解得BC=—7=-=10V2(nmile)..如图，无人机在离地面高200m的4处，观测到山顶M处的仰角为15。，山脚C处的俯角为45。，已知NMCN=60。，则山的高度MN为（）MI)11〃〃〃〃，《«，，，，）

I)11〃〃〃〃，《«，，，，）A.3A.300m20OJ3m D.275m答案A解析'：AD//BC,：.ZACB=ZDAC=45°,：.AC=yj2AB=200\^(m),又NA/C4=180°-60°-45°=75°,NAMC=15°+45°=60°, ZAA/C=45°,+a……MC4c在△AMC中’sin/M4C=sinN4MC'MC=200\Esin60MC=200\Esin60。

sin45°=20073(m),MN=A/CsinZMCN=2OO\/3sin60°=300（m）..（2022•株洲模拟）如图，8是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CO所在水平面上的山体外取点4,B,并测得在四边形4BCD中，NABC=W，ZBAD=y,AB=BC=400m,AO=250m,则应开凿的隧道CD的长为m.答案350TT解析在△ABC中，因为AB=BC=400m,ZABC=y所以△ABC为等边三角形,IT即AC=400m,ZACB=yTT 2.71又NB4C=?NBAD=w，TT所以ZDAC=NBA。-ZBAC=y在△AOC中，A£)=250m,AC=400m,ZDAC=y由余弦定理得a^nAU+ACZ-ZADACcos/DAC,71即CD2=2502+4002-2X250X400Xcosy解得8=350m.—能力提升练.（多选）地面上有两座相距120m的塔，高塔的高为“m,矮塔的高为/zm,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为a,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两

塔塔顶的仰角互为余角，则下列结论正确的有（）B.H=90aB.H=90A-tan2=l20C./C./i=40答案ABC解析tana=昌，tan彳=春，故A正确;根据三角函数的倍角公式，2X-^得卷=①1一岛》设在。点望高塔塔顶的仰角为人因为在两塔底连线的中点。望两塔塔顶的仰角互为余角,所以在。点望矮塔塔顶的仰角为尹K联立①②，解得”=90,人=40,故B,C正确，D错误..（2022•苏州模拟）圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为a,夕，表影长之差为/,那么表高为（）夏至奇夏至奇/(tana-tan/(tana-tan夕)

tanatanp/(tan£-tana),tan夕tana门/tanatanBB. tana-tanp/tanStana

tan夕一lana答案D解析根据题意，作图.

在△ACO中，ZCAD=/J~a,由正弦定理得，第=毋?则AC=则AC=/•sina, … .c/-sinasinB/-sinasinB/tanatanB在Rt/\ABC中，AB=AC'S\nfi=.tD 、=.° D• =,D, .厂sin(p-a)sinpcosa-cospsinatan/>—tana.(多选)如图，一个水轮的半径为6m,水轮轴心。距离水面的高度为3m,已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时(图中点H))开始计时，记负。为点P距离水面的高度关于时间”单位：s)的函数，则下列结论正确的是()A.犬3)=9B.11)=/(7)C.若就26,则re[2+12£5+12幻/6N)D.不论f为何值，财+々+4)+加+8)是定值答案BD解析设JW=Asin(M+°)+B,依题意可知迷。的最大值为9,最小值为一3,所以A+8=9,且-4+8=—3,可得A=6,8=3.因为0户每秒钟内所转过的角为嗑〈去所以财=6sin仅+«)+3,当，=0时，财=0,得sin°=一不妨取夕=一看，故所求的函数解析式为*f)=6sin(U)+3.对于A,©=6sin像X3j)+3=3巾+3,即A错误:

(Ji 兀、对于B,/(l)=6sin^Xl-^)+3=3,(TT 兀、y(7)=6sin(^X7-^J+3=3,即B正确;对于C,因为犬。26,所以6sin(U)+326,即如备斗一4一所以,一然方+2E,对+2E,AWN,解得，£[2+12七6+12月，kCN,即C错误；对于D,次1+4)+丹(+8)=6sinfe—7)+3+6sin^(r+4)—+3+6sin表+8)-1+3=6sin已一5)+6sin,+习+6sin(寿+个)+971.7t.7T/sin不十71.7t.7T/sin不十cos目一.兀71।花.兀、八

sin/cos不十cos^f-sin^1=0,=sin/cos不所以_/(r)+/(r+4)+_Af+8)=9,为定值，即D正确.14.某沿海四个城市A,B,C,D的位置如图所示，其中NA8C=60。，ZBCD=135°,AB=80nmile,BC=(40+3()V§)nmile,CD=250>/6nmile,。位于A的北偏东75。方向.现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西6度，则sin9=解析如图，设船行驶