2023年高三复习专项练习：第21练　导数与函数的极值、最值

第21练导数与函数的极值、最值基础对点练考点一利用导数研究函数的极值1.(多选)(2022•贵溪市实脸中学月考)己知定义在R上的函数贝x),其导函数/(x)的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是()A.火与MGMc)B.函数次x)在x=c处取得极小值，在x=e处取得极大值C.函数在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值D.函数人外有两个极小值，一个极大值答案ABD解析由/(x)的图象可得，当x<c时，/(x)>0,尺0单调递增；当y<e时，/(x)<0,j(x)单调递减；当x>e时，/(x)>0,儿0单调递增.对于A项，由题意可得贝a)勺S)勺(c),所以A不正确.由题意得函数次x)在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值，故B,D不正确，C正确.2.已知函数px2—qx的图象与x轴相切于点(1,0),则兀0的( )A.极大值为去，极小值为04B.极大值为0,极小值为历4p=2,q=T，C.极小值为一句，极大值为0p=2,q=T，D.极小值为0,极大值为一科答案A解析f(x)=3x2—2px—<7,3—2p—o=0,解得,1—p—9=0,f(x)=3X2-4x+1=(x-1)(3x-1),当或x>l时，f(x)>0,当铲走vl时，f(x)<0,於)在(一8,J和(i,+8)上单调递增，在&])上单调递减，所以极大值为/(g)=卷，极小值为火i)=o.(2022•信阳模拟)设危尸界+cosx,则函数危)( )A.有且仅有一个极小值B.有且仅有一个极大值C.有无数个极值D.没有极值答案A解析f(x)=x—sinx,令g(x)=x—sinx,则g'(x)=1—cosxNO,：.f(x)单调递增且/(0)=0,...当x<0时，/(x)〈0,函数火x)单调递减，当心>0时，/'(x)>0,函数凡r)单调递增，故./U)有唯一的极小值点.cosr—n it(2022•沙坪坝重庆南开中学月考)函数於)=—^T-在尸押取得极值，则。=.答案1解析:*x)=6，“—sinx-cosx+a:・f(、)= ，IT又兀0在x=]处取得极值，：.f'◎=二孚=0,得。=1，经检验。=1符合题意.若函数负工)=渥+311%有两个极值点，则实数。的取值范围是.答案(T。)解析./(x)=xlnx+ax2(x>0),(x)=lnx+l+2ax.令g(x)=lnx+l+2ar,由于函数次欠)="2+xlnx有两个极值点=g(x)=0在区间(0,+°°)上有两个实数根.g'(x)='+2a=l产,当时，g'(x)>0,则函数g(x)在区间(0,+8)上单调递增，因此g(x)=0在区间(0,+8)上不可能有两个实数根，应舍去.当a<0时，令g'(x)=0,解得》=一古，令/(x)>0,解得OVx<一《，此时函数g(x)单调递增；令g'(x)<0,解得x>一古，此时函数g(x)单调递减..,.当x=—七时，函数g(x)取得极大值.要使g(x)=O在区间(0,+8)上有两个实数根，则/-支=E(一会>0,解得一；<a<0.•••实数a的取值范围是(一；，0).考点二利用导数研究函数的最值6.设函数人^二^一入，直线y=ar+6是曲线y=/(x)的切线，则2a+b的最大值是()A.e-1 B.-1C.2e—4 D.e2—4答案D解析由题意得，(x)=ex—2.设切点为(f, 则-2t,f(z)=e,-2.则切线方程为y-(e'-2t)=(e'-2)(x-t),即y=(e'—2)x+e,(l—f).又因为y=ar+h是曲线y=/(x)的切线，所以a=e>—2,b=e,(l—t),则2a+6=-4+3e'-re'.令g(r)=-4+3eJ汨，则g'⑺=(2—r)e，，则当02时，g'(z)<0,g")在(2,+8)上单调递减；当K2时，g'⑺>0,g(f)在(-8,2)上单调递增，所以当t=2时，g⑺取最大值g(2)=-4+3e2—2e2=-4+e?,即2a+6的最大值为e2—4.7.(2022•绵阳江油中学月考)函数y=(x—2)廿+机在[0,2]上的最小值是2-e,则最大值是()A.1B.2C.3D.4答案B解析>'=-+。-2)丫=。-1)廿，因为xG[0,2],所以当xG[0,l)时，y1<0,当xG（l,2］时，y'>0,所以函数在［0,1）上单调递减，在（1,2］上单调递增，所以函数在x=l处取得最小值，根据题意有一e+m=2—e,所以,”=2,当x=0时，y=—2+2=0,当x=2时，y=0+2=2,所以其最大值是2..（2022•郑州模拟）已知函数以）=^一（3。+|}2+6以，若危）在（-1,+8）上既有极大值，又有最小值，且最小值为"一；，则a的取值范围为（）a.（4,号 -1）c（T-1］ d（tI）答案c解析因为/（x）=3x2—（6<z+3）x+66f=（3x-6a）（x—1）的零点为2a和1,又/U）=3a—T，所以1是函数的极小值点也是最小值点，则2。是函数的极大值点，所以一且火一1）23。一去解得f.某产品包装公司要生产一种容积为丫的圆柱形饮料罐（上下都有底），一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的3倍，若不考虑饮料罐的厚度，欲使这种饮料罐的造价最低,则这种饮料罐的底面半径是.答案需解析设饮料罐的底面半径为八高为〃，单位面积罐身造价为V由V=nr2h,得〃=/，2Va总造价/（「）=3。X2X兀3+2nrha—6nra+~^~92%所以/（r）=127rrt?--,所以火r）在0,［髭］上单调递减，上单调上单调递增,所以当r=<y*时造价最低.10.若不等式2%111犬+32一/+0¥对xG(0,+8)恒成立，则实数4的取值范围是答案(一8,4]解析因为不等式2xlnx+32—f+ar对x£(0,+8)恒成立，所以aWx+21nx+：,对x>0恒成立，即a<G+21nx+()min. 3令g(x)=x+2\n.23R+Zr—3则g(x)=l+--^=―/—,由g'(x)=O得，x=l或x=—3,当xd(0,1)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，当xG(l,+8)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，所以当x=l时，函数g(x)取得最小值g(l)=4,所以a<4.能力提升练.•.当xG(O,D时，/(x)<0,函数段)单调递减,当xG(l,+8)时，/(x)>o,函数代6单调递增，二於)极小值=yu)=(+4_I=々_当，；/(x)极小值21,1 , 3.'.a—2^1»解得a2夏.12.(多选)己知函数段)是定义在R上的奇函数，当x<0时，_/(x)=e，(x+l),则下列命题正确的是()A.函数人幻有两个极值点B.函数次x)有2个零点c.yw<0的解集为(-8,-I)u(o,I)D.Vxt,X2GR,都有依川一儿口|<2答案ACD解析当x<0时，由y(x)=er(x+1),得/(x)=eXr+2),由，(x)=er(x+2)<0,得x<-2,由，(x)=ev(x+2)^0,得一2〈欢0,函数y(x)在(-8,—2)上单调递减，在［—2,0)上单调递增，且_/(—1)=0,当Xf—8时,於)—。，画出函数y(x)的图象如图所示，由图知函数人x)共有两个极值点一2,2,A正确；函数抵此有3个零点一1,0,1,B不正确；ytr)<0的解集为(-8,-l)U(0,1),C正确；函数/(x)在R上的值域为(-1,1),/.对Vxi,X2GR,都有l/(xD-/(X2)k2,D正确.13.函数_/(x)=2cosx+sin2x,xGR的值域为.答案 必叵］解析由题意知，1Ax)是周期为2兀的周期函数，不妨令xG[0,2ir],f(x)=2sinx+2cos2x=-2sinx+2(1-2sin2x)=_4sin2x-2sinx+2=-2(2sinx-1)(sinx+1).令/(x)=0,得§由无=；或sinx=—1,又•・“£[(),2汨，.7t53兀・衣=不请，》.•虚)=挛/©=-¥-靖)=0，又加)=2,J(2n)=2.妨*、 3^/3 3s改丸X)max—2，丸X)min— ?•故/(X)的值域为一邛^,14.已知函数火x)=ar+lnx,xG(0,e],且_/(x)的最大值为-3,则a=.答案一e2解析f(x)=a+pxG(0,e],I，+8)①若a》一：，则//(x)》0,从而兀0在(0,e]上单调递增，所以火x)max=_/(e)=ae+l20,不符合题意；②若a<—令f(x)>0,得。+50,又xe(0,e],解得0a<一!，令/(x)<0,得。+上0,又xC(0,e],解得一[bWe.从而凡r)在(0,—习上单调递增，在e上单调递减，所以TWmax=/(一!)=-1+历(一5)令T+《_g=_3,得In㈢=-2,即4=-62.因为一e2<-f,所以a=—e2为所求.故实数。的值为一e2.11.若函数_/(x)=+