2021版江苏高考数学复习讲义：高考中的立体几何问题含答案

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答案编辑：时间：立体几何是高考的重要内容，从近五年全国卷高考试题来看，立体几何每年必考一道解答题，难度中等，主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，考查的热点是平行与垂直的证明、二面角的计算、平面图形的翻折、探索存在性问题，突出三大能力：空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力与两大数学思想：转化化归思想、数形结合思想的考查.［典例示范］（本题满分12分）（20xx•全国卷III）图1是由矩形ADEB、R/ABC和菱形BFGC^成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2,ZFBC=60°，将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.证明：图2中的A,C,G,D四点共面①，且平面ABC丄平面BCGE②；求图2中的二面角B-CG-A的大小③.［信息提取］看到①想到四边形ACGD共面的条件，想到折叠前后图形中的平行关系；看到②想到面面垂直的判定定理；看到③想到利用坐标法求两平面法向量的夹角余弦值，想到建立空间直角坐标系.［规范解答］⑴由已知得AD〃BE,CG〃BE,所以AD〃CG,故AD,CG确TOC\o"1-5"\h\z定一个平面，从而A,C,G,D四点共面.2分由已知得AB丄BE,AB丄BC,且BEGBC=B,故AB丄平面BCGE.3分又因为ABU平面ABC,所以平面ABC丄平面BCGE.4分⑵作EH丄BC,垂足为H.因为EHU平面BCGE，平面BCGE丄平面ABC,所以EH丄平面ABC.5分由已知，菱形BCGE的边长为2,ZEBC=60°,可求得BH=1,EH=J3.6分—>以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(—1,1,0),C(l,0,0),G(2,0,佝—>—>CG=(1,0，*3),AC—(2,—1,0).8分设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),贝VJCGJCG・n=0,—>(AC・n=0.x+*，r§z=0,2x—y=0.TOC\o"1-5"\h\z所以可取n=(3,6,—V3).10分又平面BCGE的法向量可取为加=(0,1,0),n・m3八所以cos〈n,m〉==\11刀|n||m|2因此，二面角B-CG-A的大小为30°.12分［易错防范］易错点防范措施不能恰当的建立直角坐标系由(1)的结论入手，结合面面垂直的性质及侧面菱形的边角关系建立空间直角坐标系建系后写不出G点的坐标—>—>—>结合折叠后棱柱的侧棱关系：CG=BE可求出CG,或者借助折叠前后直角三角形的边角关系，直接求出点G的坐标［通性通法］合理建模、建系巧解立体几何问题建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等的计算模型；建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.［规范特训］1.(20xx・江南十校二模)已知多面体ABC-DEF，四边形BCDE为矩形，△人厂£与厶BCF为边长为2逸的等边三角形，AB=AC=CD=DF=EF=2.证明：平面ADE〃平面BCF；求BD与平面BCF所成角的正弦值.［解］(1)取BC,DE中点分别为O,O］,连接OA,OA,OF,O1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=2］2,可知HABCDEF为等腰直角三角形，故OA丄BC,O/丄DE,CD丄DE,CD丄DF,又DEGDF=D，故CD丄平面DEF,平面BCDE丄平面DEF,因为平面BCDEO平面DEF=DE,O1F丄DE,所以O1F丄平面BCDE.同理OA丄平面BCDE；所以O/〃OA，而O/=OA，故四边形AOFO1为平行四边形，所以AOJOFAOf平面BCF,OFU平面BCF,所以AOJ平面BCF,又BC//DE,故DE〃平面BCF,而AO1HDE=O1，所以平面ADE〃平面BCF.(2)以O为坐标原点，以过O且平行于AC的直线作为x轴，平行于AB的直线作为y轴，OO］为z轴建立空间直角坐标系如图.则有B(1,1,O),C(—1,—1,0),D(—1,—1,2),F(—1,1,2),—>—>—>故BD=(—2,—2,2),BC=(—2,—2,0),BF=(—2,0,2).—>—>设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),由BC丄n,BF丄n得f—2x—2y=0,[cic取x=1得y=—1,z=1,故平面BCF的一个法向量为n=I2xI2z0,(1,—1,1).—>设BD与平面BCF所成角为0,则sin0=lcos〈BD,n〉1=错误U错误!.故BD与平面BCF所成角的正弦值为1.2.(20xx・河南、河北考前模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E是边AD上的一点，且AE=2ED，点H是BE的中点，将AABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC=SD.证明：SH丄平面BCDE.⑵求二面角C-SB-E的余弦值.［解］(1)证明：取CD的中点M连接HM,SM,由已知得AE=AB=2,：・SE=SB=2,又点H是BE的中点，:・SH丄BE.VSC=SD，点M是线段CD的中点，・・・SM丄CD.又・.・HM〃BC,BC丄CD,・・・HM丄CD,VSMAHM=M,从而CD丄平面SHM,得CD丄SH,又CD,BE不平行，:・SH丄平面BCDE.法一：取BS的中点N,BC上的点P,使BP=2PC,连接HN,PN,PH,可知HN丄BS,HP丄BE.由⑴得SHIHP,：.HP丄平面BSE,贝VHPLSB,又HN丄BS,HNCHP=H,：・BS丄平面PHN,・•・二面角C-SB-E的平面角为ZPNH.又计算得NH=1,PH=dPN=、吕,1法二：由(1)知，过H点作CD的平行线GH交BC于点G,以点H为坐标原点，HG,HM,HS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz，则点B(1,T,0),C(1,2,0),E(-1,1,0),S(0,0,；'2),—>—>—>・・・BC=(0,3,0),BE=(-2,2,0),BS=(-1,1,,'2).设平面SBE的法向量为m=(x1,y1,z1),m•BE=—2xl+2yl=0,^m•BS