导数在生活中的优化问题举例

1.4第一课时生活中的优化问题举例一、课前准备课时目标了解函数极值和最值的基本应用.会用导数解决某些实际问题.基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中变量之间的，根据实际意义确定定义域.求函数y=fG)的导数ff(x),解方程f'(x)=0,求定义域内的根，确定.比较函数在和极值点处的函数值，获得所求的最大(小)值.⑷还原到原中作答.三、学习引领常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.解决优化问题的基本程序是：读题►建模求解►反馈(文字语言)(数学语言)(导数应用)(检验作答)需要注意的几个问题目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束，所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较，但要注意说明极值点的唯一性.四、典例导析题型一几何图形中的优化问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，A8CD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点已正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系，确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题(1)中，用底面边长把包装盒侧面积表示出来，观察其特点，用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中，建立目标函数，依据目标函数的特征，通过求导,研究函数性质,求相应最值.解：设该盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得一60—2x一a=k2x，h=—=、2(30-x)，0<x<30.v2⑴由题意包装盒侧面积S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x=15时，S取得最大值.(2)由题意知,V=a2h=2/2(30x2-x3),(0<x<30),V'=6t2x(20-x).由V'=0得x=0(舍)或x=20.由于当xg(0,20)时，V'>0;当xe(20,30)时V'<0,所以当x=20t,,r_，土，，，一，，口=，山，，,h1时，V取得极大值，而且为唯一极大值，故也是最大值，此时=。该盒的高与底面边长的比a21值为&规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题，主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式，需要依据平面几何知识或空间几何特征，借助相应的公式进行.上述题中，两个目标函数皆未给出，因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征，从而选定侧面积和体积的计算公式，.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算.因为实际问题往往会有更为具体的定义域，所以在求函数最值时，要充分注意函数定义域的影响.正确求导，并研究函数的性质，是解决该最值问题关键之二.变式训练1今有一块边长a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为多少?题型二费用最省问题

例3某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为一罕立方米，且l>2r.假设该容器的建造费用仅与其有上表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c,(c>3),设该容器的建造费用为y千元.写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建造费用最小时的r.思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成，而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积，分别用半径表示，再表示建造费用，建立函数关系式.—一，、，，…，8°兀、、，解：(I)因为容器的体积为丁立方米，所以4兀r—一，、，，…，8°兀、、，解：(I)因为容器的体积为丁立方米，所以4兀r3,8°兀78°4r+兀r21=，解得l=33，3r2c、八,8°4r、16°k8兀r2所以圆柱的侧面积为2功=2兀r(^-§)=丁-丁'两端两个半球的表面积之和为/16°兀°/l4"2，所以-"+4兀g定义域为(。项,(I)因为y'=16°兀°8兀[(c-2)r3-2°]—16兀r+8兀cr=r2，所以令y'>°得:r>令y<°得：°vrv:2°一:2°3C—2,所以’=3C—2米时,该容器的建造费用最小.规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数，所以要求其最小值，需要利用函数的导数，先求函数的极值，再判断函数的最值,因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时，要充分注意函数定义域的影响.变式训练2设工厂到铁路线的垂直距离为2°km，垂足为B.铁路线上距离B为1°°km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路,如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处，才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？题型三利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格X(单位：元/千克)满足关系式y=\+1°3—6)2，其中3vxv6，a为常数，已知x—3销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.求a的值；若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路导析:问题(I),由题设中的具体情形，代入函数解析式,解方程，求a的值,问题(II),用x表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式，对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.,…a_a-解：(I)因为当x—5时,y—11,代入y—+10(x—6)2得,°+1°=11，a=2.x一322(ii)由(i)知，该商品每日的销售量为y—一+1°(x-6)2,所以商场每日销售该商品所x一32获得的利润为/(x)—(x-3)[+l°(x-6)2]—2+l°(x-3)(x一6)2x-3—2+1°(x-3)(x2-12x+36),(3<x<6).所以，f'(x)=1°(x-6)2+2°(x-3)(x-6)—3°(x-4)(x-6).于是，当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)+°—f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可知,x—4是函数f（x）在（3,6）上的极大值点，而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当x=4时，函数f（x）取得最大值，最大值为42.答:当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律总结：在上述问题中，首先需要建立利润的数学模型，即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数，先求函数的极值，再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时，要充分注意函数定义域的影响.变式训练3甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系，x—2°°°y't.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元（以下称S为赔付价格）.（1）将乙方的年利润W（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=°.°°2t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？五、随堂练习方A.31°v3B.31.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为2°cm,要使其体积为最大,则高为方A.31°v3B.31^.3C.3以长为1°的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（A.1°B.15C.25D.5°若一球的半径为,，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为（）.A.2兀r2B.兀r2c.4兀r2D.兀r22要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m,长和宽的和为20m,则仓库容积的最大值为.统计结果表明，某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升），关于行驶速度以千米〃小时）的函数解析式可以表示为：y=1x3-3x+8（0<x<120），已知12800080甲乙两地相距100千米.当汽车以（千米〃小时）速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少？一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？六、课后作业设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面边长为（）A.应B.3.花C.即D.23V制作一个圆柱形锅炉,容积为V两个底面的材料每单位面积的价格为。元，侧面的材料每单位面积价格为b元,当造价最低时，锅炉底面半径与锅炉高的比是（）TOC\o"1-5"\h\zaa2bb2A.B.C.—D,——\o"CurrentDocument"2b2b2a2a做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27兀，且用料最省则圆柱的底面半径为.去年初，某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品.若该商品零售价定为P元，则销售量q（件）与零售价p（元）有如下关系q=8300-170p-p2.那么该商品零售价为元时,毛利润最大?（毛利润=销售收入一进货支出）现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发.当投入广告宣传和产品开发的资金分别12为x和y时，得到的回报是P=x3y3.求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S.（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域;（2）求面积S的最大值.1.4第一课时生活中的优化问题答案及解析

一、2.基础预探(1)数学模型；函数关系(2)极值点(3)区间短点(4)实际问题三、变式练习a2=x3-ax2+x.函数求导得:41.解：折成盒子后底面正三角形的边长为。-2x(0<xa2=x3-ax2+x.函数求导得:4设：容积为V，则V=sh=—(a-2x)2sin60°・2a2aV=3x2-2ax+—,令V=0得x=g,aaax=二(舍去)，a2aV=3x2-2ax+—,令V=0得x=g,时，V'<。，所以当x=；时，TZa3a3a34-3a3V=———+——==——最大216362421654答：x为g时，盒子的容积最大为的2.解：设BD之间的距离为xkm,则IADI=t'x2+202,ICDI=100—x.如果公路运费为a元3a/km,那么铁路运费为5元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费J为:y=寻(100—x)+a、；x2+400,(0<x<100),对该式求导，得：y=妾+—=a(5x—3,：打00),令矿=0,即得25x2=9(x2+400),解之得5tx2+4005*x2+400气=15,x2=-15(不符合实际意义,舍去).且气=15是函数y在定义域内的唯一极小值点，所以气=15是函数y的最小值点.由此可知，车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.3,解：(I)因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为："=200^7—st(t>0)1000、10002〃…,1000、ct°F,山因为w=2000Y：t—st=—s(ft—)2+，所以当t=()2时，w取得最大值.sss所以乙方取得最大利润的年产量t=(1000)2吨.s(II)设甲方净收入为？元，则V=st—0.002t2，将t=(1000)2代入上式，得到甲方纯收入s一100022x10003v与赔付价格s之间的函数关系式：V=—，又ss4,100028X1000310002(8000-s3)S5v=—+=，令v=0得s=20,当s<20时，v>0；S2当S>20时，V'<0.所以S=20时，v取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是20元S5四、随堂练习1.答案：D.解析：设圆锥的高为h，则体积U=3兀(400-h2)h,(0<h<20),1-j-vf=-nh2+迫目=0，解得h=*3°，由导数的意义,当h=当3时,V取极大值且唯一，故为最大值.故选D.2.答案:D.解析:设圆的内接矩形的一边长为心则另一边长为日00-工2，内接矩形的面积S=心100—人2,S2=X2(100-X2)=-X4+100X2,(S2)'=-4x3+200x=0,解得X=0(舍去),x^-'50，根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50.3.答案：A.解析:设内接圆柱的底面半径为X,(0<X<r)，则圆柱的侧面积S=4兀Xvr2一x2，S2=16兀2X2(r2—x2)，求导，判断极大值点x=—-r，其侧面积最大为2兀尸2.4.答案:300m3解：设长为Xm，则宽为(20-x)m，仓库的容积为V,则V=x(20-x)-3=-3X2+60x.V'=-6x+60，令V'=0得x=10,当0<x<10时，V'>0；当X>10时，V'<0,「.X=10时，匕大=300(m3).答案:80.解析；由题意可知，以速度X(千米/小时)从甲地到乙地耗油量为:w=y•100=X2+800-g,W'=壬-800=0,解得X=80,且为唯一极小X1280X4640x2值点，所以x=80为最小值点.3解:设船速度为x(x>0)时，燃料费用为。元，则Q=kx3，由6=kX103可得k=500，八3淄,3八八1396，696人「・Q=——X3，.•.总费用y=(X3+96)•_=x2+—，y=——x-一，令500500x500x500x2y'=0得x=20，当xg(0,20)时，y'<0，此时函数单调递减，当xg(20,+8)时，y'>0,此时函数单调递增，.•.当x=20时，y取得最小值，.•.此轮船以20公里〃小

时的速度使行驶每公里的费用总和最小.五、课后作业3x2一1.答案：C.解析:设底面等边三角形的边长为X,x>0,直棱柱的高为h，则V=-h,所以474V士云二。八•容x24V.吾x24\3v°，-4拓V八即h=-=.表面积S=2'+3♦—=—♦x=+,S=\-3x—=0，解■<3x24v3x22xx2得x=V4V,S取极小值且唯一,即最小，故选C..一.、、一一、，…，.…V2.答案C.解析：设锅炉底面半径和高分别为r,h，则V=nr2h,h=——,总造价nr2V2bV2bVVy=2anr2+2bnr=2anr2+,y=4anr一=0,得2ar=b即nr2r'r2'nr2rb=—时取极大值