考点专练47：椭圆-2023届高考数学一轮复习（附答案）人教A版2019

考点专练47：椭圆一、选择题1．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为2eq\r(3)π，且短轴长为2eq\r(3)，则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(x2,12)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,3)＝12.已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为eq\f(\r(2),2)，则实数m等于()A.2B.2或eq\f(8,3)C.2或6D.2或83.已知椭圆C：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,39)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上．若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(7,10)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)4.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9．动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝15.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝16.椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A．若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．27.已知A1，A2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点．若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－eq\f(4,9)，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(4,9)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(\r(5),3)8.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于()A.±eq\f(3,2)B.±eq\f(2,3)C.±eq\f(1,2)D.±29.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,3)10.(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－eq\r(3)过F2交C于A，B两点．若△AF1B的周长为8，则()A.椭圆焦距为eq\r(3)B.椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1C.弦长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\f(8,5)D.S△OAB＝eq\f(4\r(6),5)11.(多选)设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A.|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)B.离心率e＝eq\f(\r(6),2)C.△PF1F2面积的最大值为eq\r(2)D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切二、填空题12.已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2eq\r(2)－2．又离心率为eq\f(\r(2),2)，则椭圆E的方程为________13.已知点P(0,1)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，则当m＝______时，点B横坐标的绝对值最大．14.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则离心率e＝________，S△FOQ＝________15.过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________三、解答题16.已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，求椭圆C的离心率的最大值．17.(2022·江苏质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，焦距为2eq\r(3)．(1)求C的方程；(2)若斜率为－eq\f(1,2)的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．参考答案：一、选择题1.B2.D3.A4.D5.A6.C7.D8.A9.A10.BC11.AD二、填空题12.答案：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝113.答案：514.答案：eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)15.答案：0＜e≤eq\f(\r(5),5)三、解答题16.解：不妨设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)，与直线l的方程联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0．由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq\r(5)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,a)≤eq\f(\r(5),5)，所以e的最大值为eq\f(\r(5),5)．17.(1)解：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2c＝2\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(3)，))又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)证明：设直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，故y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1＋m))eq\b\lc\(\r