定积分求和极限与区间

第五章定积分积分学中的另一个基本概念就是定积分。积分方法是解决许多实际应用问题的一个重要方法，本章将主要介绍定积分的基本概念、基本性质和基本计算方法。第一节定积分概念一、概念引入的背景在引入定积分概念之前，我们先看两个实例。例1曲边梯形的面积问题设一平面图形由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=/(x)所围，求该平面图形的面积。我们通常把三边为直边另一边为曲边的几何图形(本例描述的图形)称为曲边梯形。矩形的面积我们是如下定义的：面积=底x高但是我们要求面积的图形不是矩形，这样，我们就有两个问题要解决，一是面积的定义，二是面积的求法。微积分对人类的巨大功绩就是用干净利落方式同时解决了这两个问题。矩形的面积是有定义的，其它图形的面积是没有定义的，如何用有定义的“东西”，去取代无定义的“东西”，这就是我们解决问题的关键。具体做法如下：第一步：将［。，州区间任意分割成n个小区间，分别记为：［%,邛；［%,%］;……；[%，其中：x0=a,xn=5。并令△x,=x.-x.1(i=1,2,,n)这样，我们就把整个图形分割成了n个细长条，每个细长条都是小“曲边梯形”，但是，它们都非常的细，细到每一条都可以看成“矩形”。形象的比喻，就把这一过程叫做“化整为‘零’”第二步：在每个小区间［x.1，x.］上任取一点&产％］，x.］作乘积f(&.)Axi0既然每一个小“曲边梯形”都成了“矩形”其宽就是△%.，其高呢？那就在小区.间［x.1，x.］上任取一点&.，以这一点的函数值作为高，于是，这个细长条的面积就近似的等于f(&.)^x。第三步：求和£f(&)Axii.=1每个小“曲边梯形”的面积求出来了，把它们累加起来，所有的小“曲边梯形”的面积和，就是整个图形的面积的近似值。第四步：令*皿心/。’取极限型'/信冷,。无论怎么分细，和式£f(&)Ax终究还是整个图形面积的近似值。于是，人们ii=1就用一种终极状态：当n无限增加，同时细长条都越来越细的时候，其极限值定义为该曲边梯形的面积。为了确保所有小“曲边梯形”最终退化成一条“线段”，不能令nT8取极限，只能令入=max{△x.}—0。例2变速直线运动的路程问题。设有一质点作变速直线运动，已知该质点在时刻t的瞬时速度为v=v(t)，求该质点由时刻T0到时刻T1的运行路程。和前面的问题类似，质点作匀速直线运动时，其运行路程定义为：运行路程=运行速度X运行时间但是，我们遇到的问题是变速直线运动，质点运行的速度时刻都在变化着的，因此，我们不能直接应用上述公式。怎么办呢？这又是一个要转换矛盾的问题，为了能用上匀速直线运动的速度公式，我们只有把整个运行时间分成很多小段，使得时间间隔非常小，小到每一段时间内，质点运行的速度几乎不发生变化，即为匀速的，于是，第一步：将时间段仃。，T1］任意分割成n个小时间段，并记为：［t,t］，［t,t］，，［t,t］0112n-1n其中：t=T，t=T。再令At=t-1(i=1;2;……;n)00n1iii-1时间间隔分小了，每段时间内质点又可以近似地看成作匀速运动了，那么速度如何？运行路程又如何呢？于是第二步：在每一个段时间［t「，t.］内任意取定一个时间值&.E［t.「t.］作乘积i-1iii-1iV0)Ati。在［ti-1,tj内任意取定一个时间值&i，就以此刻的速度V(&)为这段时间的运行速度，当然这段时间质点的运行路程为：v(4)Ati。每一时间段的运行路程的近似值求出来了，把它们累加起来，于是，第三步：求和：8v(&)At。iii=1这样算出来的毕竟还是近似值，接下来就要靠极限来实现转换了，于是，第四步：令A=max{At.}-0，取极限，取极限lim工v(&.)At.。i=1上述两个实例，从各自的具体意义来说是毫不相干的，一个是几何学的面积问题，另一个是物理学的路程问题。但是，我们把它们的计算方法从具体意义中抽象出来的话，其描述过程与模式是完全一致的。我们把这样一种从具体意义中抽象出来的计算方法用数学语言去描述它的话，就是我们将要介绍的定积分的概念。二、定积分的概念1.定积分定义定义1设/(x)在闭区间［«,b］上有界，如果：在闭区间［a,b］内任意插入n-1个分点，a=x0<x1<x2<V”1<xn=b，将区间［a,b］分割成n个小区间，［x，x］；K，X］；；［x】，x］，并且令0112n-1nAx=x.-x.1；在每个小区间［x.-1，x.］上任取一点&.e［x.-1，x.］，作乘积/(&.)Ax.(i=1;

2;;n)；(3)求和£f(&)Ax；iii=1(4)令人=max{Ax「Ax2;;Ax}，取极限lim£f(&.)Ax.；人tO.=1如果极限lim£f(&)Ax=I存在，并且极限值I与区间［a,b］的分割无关，还入项.IzzI=1与点&,在区间［xi-1，x.］上的选取无关，那么就称f(x)在区间［a,b］上可积，并把极限值I称为f(x)在区间［a,b］上的定积分，并记为：jbf(x)dxa其中，/3)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式和式£f(g)Ax称为积分和iii=1其中，/3)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式(也称为黎曼和)，』称为积分号，a称为积分下限，b称为积分上限，x称为积分变量，［a,b］称为积分区间。由定积分的定义可知，前面我们讲述的两个例子实际上就是：曲边梯形的面积为s=jbf(x)dxa质点运行的路程为s=j71v(t)dtT02.定积分的几何意义我们分析一下定积分jbf(x)dx的几a何意义。(i)当f(x)30时，曲线j=f(x)位于上半平面，和式中的f(&.)30,于是£f(&)Ax30，因此，jbf(x)dx30，iii=1a它所表示的是右图(1)的面积值，这种面积值我们称之为正面积;(ii)当f(x)^0时，曲线尸f(x)位于下半平面，和式中的f(&i)W0,于是£f(&.)AxW0，iii=1因此，jbf(x)dxW0，它所表a示的是右图(2)的面积值，这种面积值我们称之为负面积；(iii)更一般地，f(&)有正有i负，在几何上jbf(x)dx表示的就是：a上半平面围成的图形面积与下半平面围成的图形面积之差。3.积分存在定理给出了定积分的定义，我们关心的问题之一自然就是怎样判断积分是否存在?这也就是可积性问题。在这里我们不作深入地讨论，只给出一个判定定理。定理1(1)若fx)在区间［a,b］上连续，则fx)在区间［a,b］上可积；(2)若f(x)在区间［a,b］上有界，并且至多只有有限个间断点，则fx)在区间［a,b］上可积。关于定积分，有一点是值得特别指出的：定积分jbf(x)dx的值只与被积函数fx)和积分区间［a,b］有关。在我们给出积分a和£f(&)Ax的时候，只要不改变函数关系式，不改变区间［a,b］，和式中的变量iii=1用什么符号都行，也就是说，定积分jbf(x)dx的值与积分变量选择无关，即:ajbf(x)dx=jbf(s)ds=jbf(t)dt=jbf(y)dyaaaa这一性质在解决定积分许多有关问题时，占有相当重要的地位。下面我们来看一个用定积分定义求定积分的例子。

例3求j1x2dx0解(i)将［0,1］区间进行n等分，得到n个小区间，［0,-］；［-,2］；；［上,1］

nnnn，….、i一1ir,,(ii)在每个小区间［——，-］上取左端nn点八、、作乘积(iii)求和点八、、作乘积s(i=1三H—以E=n>nn3i=1(n—1)n(2n—1)6n3因为是n等分区间，最长的区间长度为1，n1八而一—0=n—8，所以，nj1x2dx=""2〃—1)=10n—86n33第二节定积分的性质在这一节我们将给出定积分的一些基本性质，并由定积分的定义作一些简要的说明性的证明。性质1若fx)、g(x)在区间［。，》］上可积，则f(x)±g(x)在区间［a,b］上仍可积，并且

jb^-f(x)土g(x)dx=jbf(x)dx±jbg(x)dx证明对于［a,b］的任意一个分割△，得相应的积分和8f(&)±g(&)］项，从而有iiii=1lim2f气)±g气)虹=lim2f气)¥±lim2g气)Ax.i=1i=1i=1

即fb^-f(^.)土g(&.)^dx=fbf(x)dx±fbg(x)dx。aaa，性质2若fx)在区间［a,b］上可积，k是一个常数，则kf(x)在区间［a,b］上仍可积，并且fbkf(x)dx=kfbf(x)dx证明对于［a,b］的任意一个分割△，得相应的积分和£kf(&)Ax，并且有iii=1lim8kf(&)Ax=limk^f(&)Ax=klim8f(g)Axi=1TOC\o"1-5"\h\z"0"0入i=1i=1i=1jbkf(x)dx=kfbf(x)dx。i=1性质1与性质2合起来称为定积分的线性性质，用一个式子表示的话就是:f侦(x)±Lg(x)］dx=Kfbf(x)dx±Lfbg(x)dx\o"CurrentDocument"aaa性质3(积分区间的可加性)若fx)在区间［a,b］上可积，c是满足不等式aVc<b任意一个实数，则fx)在区间［a,c］上可积，在区间［c,b］上也可积，并且fbf(x)dx=fcf(x)dx+fbf(x)dxaac证明略到现在为止，我们所讨论的积分问题都是积分下限小于积分上限的，为了便于积分问题的讨论，我们需要作如下约定：当积分下限等于积分上限时，积分值等于零。即faf(x)dx=0。afbf(x)dx=-faf(x)dx。也就是说，互换积分下限与积分上限的位置时，相ab应积分之改变一个符号。有了这些约定，今后我们遇到积分问题，就可以不需要考虑积分限的大小了。这样一来，积分区间的可加性就有更加广泛的意义，只要fbf(x)dx、fcf(x)dxaa和fbf(x)dx都存在，就有等式fbf(x)dx=fcf(x)dx+fbf(x)dx成立。caac性质4(积分估值性)若f(x)在区间［a,b］上连续，m、M分别是f(x)在区间［a,

》］上的最小值和最大值，则m(b~a)Wjbf(x)dxWM(b-a)a证明对于［a,b］的任意一个分割A，得相应的积分和£f(割A，得相应的积分和£f(&)Ax，iii=1并且有：m(b-a)=8mAxii=1W£f(&.)Ax,iii=1xabW8MAx=M(b-a)ii=1所以m(b-a)Wlim^8f(&)AxWM(b-a),即m(b-a)Wjbf(x)dxWM(b-a)。X^0i1ai=1由上面的几何图形，不难得到“以最小值m为高，［a,b］区间为底的矩形面积”、“阴影部分曲边梯形的面积”以及“以最大值M为高，［a,b］区间为底的矩形面积”三者之间的大小关系。这又从几何上，进一步地说明了积分估值性的正确性。性质5若fx)、g(x)在区间［a,b］上可积，并且在区间［a,b］上有f(x)Wg(x)，abxjbf(x)dxWjbg(x)dxabx证明对于［a,b］的任意一个分割A，得相应的积分和£f(&)Ax、iii=1^g(&)Ax，由已知有：iii=1£f(&.)Ax.W^g(&.)Ax.，iiiii=1i=1再由极限的保号性有:

lim8f(&)AxWlim工g(g)Ax。即Jbf(x)dxWjbg(x)dx。X^0Z'?0''aai=1i=1这个性质的几何解释是十分明显的，同底的曲边梯形，曲边位置高的图形面积值自然不小。推论1若fx)在区间［a,b］上可积，并且在区间［a,b］上有f(x)30，则，jbf(x)dx30。a性质6若fr)在区间［a,b］上可积，则』bf(x)dx性质6若fr)在区间［a,b］上可积，则』bf(x)dxWjb\f(x)\dx证明因为在区间［a,b］上有不等式：-|f(x)|Wfx)W|f(x)，再由性质5可得:-jb\f(x)|dxWjbf(x)dxWjb\f(x)dxaaaf(x)dxWjb\f(x)|dx。性质7(积分中值定理)若f⑴在区间［a,b］上连续，则在［a,b］区间上至少存在一点&e［a,b］,使得：f(&)=1jbf(x)dx

b-aa证明因为f(x)在区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］区间上必能取到最小值m和最大值M。由性质4可得：mWJbf(x)dxWM。再由闭区间上连续函数b-aa的介值性，至少有一点&£［a,b］，使得f(&)=7^Jbf(x)dx。b-aa注：积分中值定理另一种表达形式是：f(x)f(&)(b~a)=Jbf(x)dx，af(x)它的几何意义可解释成:若f(x)在区间［a,b］上连续，那么至少可以找到一点&£［a,b］，使得以［a,b］为底，以f&)为高的矩形的面积，

正好等于由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)所为的平面图形的面积。从另一个角度来解释的话，这就是：若f(x)在区间［a,b］上连续，至少可以找到一点&e［a,b］,使得f(&)为f(x)在区间［a,b］上平均值。例1估计积分值j1e-x2dx。-1解设f(x)=e-x2，则fr(x)=-2xe-x2，并且x>0时有ff(x)<0；xV0时有f(x)<0,所以，f(x)在x=0取最大值，在x=1和x=-1取最小值，最大值为f(0)=1,最小值为f(1)=f(T)=e-1，因此2e-iVj1e-x2dxV2。-1例2利用定积分性质估计积分jxdx与jSinxdx的大小。00解由于当0<x<1时，有不等式sinx<x，根据性质5，jbcdx>jsinxdx。00说明：对于定积分jbf(x)dx，当a<b，Vxe［a,b］有f(x)30，并且f(x)是a不恒为零的连续函数时，必定有jbf(x)dx>0。a第三节微积分学基本定理我们已经给出了定积分的基本概念和基本性质，接下来的问题就是解决定积分如何计算的问题。上一章我们学习了不定积分，已经掌握了许多不定积分的计算方法，它们既然都叫积分，它们之间是否有某种联系呢？回答是肯定的。这一节我们主要就是讨论这两者之间的联系，进而引出微积分基本公式。一、变上限函数设fx)在区间［a,b］上连续，那么fx)在区间［a,b］上可积，并且积分值jbf(x)dxa只与a，b以及被积函数fx)有关。由于Vxe［a,b］，fx)在区间［a,x］上也连续，因此可积，并且积分值jxf(x)dx由上限x唯一确定，如果令：aF(x)=fxf(x)dx(aWxWb)a那么，F(x)是定义在［a,b］上的函数，这个函数我们称它为变上限函数，也称为积分上限函数。我们知道，定积分的值与积分变量选择无关，为不引起概念上的混淆，我们将变上限函数记为：F(x)=fxf(t)dt(aWxWb)a下面我们讨论变上限函数的一个基本性质。定理1若f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上的变上限函数F(x)=fxf(t)dta在［a,b］上可导，并且它的导数为：F'(x)=—fxf(t)dt=f(x)(aWxWb)dxa证明略这个定理给我们提供了一个非常重要的信息，就是：连续函数的积分上限函数是可导函数，并且它的导函数就等于被积函数，回想一下不定积分中的有关概念，不难得知：积分上限函数就是被积函数的一个原函数。因此有：定理2若f(x)在［a,b］上连续，则积分上限函数F(x)=fxf(t)dt是fx)在［a,b］a上的一个原函数。这个定理的重要意义就在于：［a,b］上的连续函数f(x)，在［a,b］上一定存在原函数，并且它的一个原函数就是F(x)=fxf(t)dt。a根据定积分的一个约定，f"f(x)dx=-faf(x)dx，我们同样可以定义积分下限函数：G(x)=fbf(t)dt(aWxWb)x于是，G(x)在［a,b］上可导，且G'(x)=-f(x)。推论1如果f(x)在任何有限区间上连续，中(x)可导，那么F(x)=f怜)f(t)dt可a导，并且它的导数为Ff(x)=ftp(x)lp'(x)；另外G(x)=fbf(t)dt也是可导的，耿x)并且G'(x)=-fp(x)lp，(x)。

事实上，令F(u)=!uf(t)dt,u=g(x)，再由复合函数的求导法则，便可得到a推论的结论。有了这个推论，积分上(下)限函数就有了更加广泛的应用。下面我们看几个简单的例子。例1设F(x)=jx(1+12cost-e-t2)dt，求F'(x)。1解由积分上限函数的性质有：F'(x)=1+x2cosx-e-x2例2设F(x)=jcosx」-dt，求F'(x)。01+t4则F(x)是G(u)与u=cosx复合而成函数，由解令G(u)=则F(x)是G(u)与u=cosx复合而成函数，由1/.、一sinxF'(x)=G'(u)u(-sinx)=1+cos4x例3求极限lim[sin”出xF'(x)=G'(u)u解这是一个0型的极限问题，由洛必达法则有:TOC\o"1-5"\h\zsin12sinx21lim=lim=-xT0x3xT03x23二、牛顿一莱布尼滋公式科学发展的一个重要里程碑，就是发现了微分与积分的关系，这种关系非常简洁、明了，互为逆过程，这就是微积分基本定理。微积分基本定理把原来独立发展的微分学与积分学联系成了一个整体，同时它为我们计算定积分提供了非常简洁、适用的方法，它的重要形式不言而喻的了。定理3(微积分基本定理)若f(x)在［a,b］上连续，F(x)是f(x)在［a,b］上的一个原函数，则：jbf(x)dx=F(b)一F(a)……(1)a公式(1)称为牛顿一莱布尼滋公式。证明已知F(x)是fx)在［a,瓦上的一个原函数，又积分上限函数G(x)=fxf(t)dt也a是Rr)在［。，瓦上的一个原函数，根据原函数的性质有:G(x)=fxf(t)dt=F(x)+Ca在(*)式中令x=a，有0=G(a)=faf(t)dt=F(a)+C，所以C=-F(a)，再令x=ba有:jbf(x)dx=F(b)-F(a)a有了公式(1)，定积分的计算问题就好解决多了，我们只需要设法找出被积函数的一个原函数F(x)，就能很快地求出定积分的值。这也就是说求定积分问题实际上就转化为求不定积分了。即我们可以用不定积分的方法，求出被积函数的一个原函数，进而求出定积分的值。下面我们具体讲述几个用牛顿一莱布尼滋公式解决定积分计算的例子。例4计算定积分j1x2dx01解由于3x3是x2的一个原函数，由牛顿一莱布尼滋公式有:这个计算，相比于我们前面按定义计算11—.—030明显简单多了。例5计算定积分j31dx011+x2解由于arctanx是一-—的一个原函1+x2数，由牛顿一莱布尼滋公式有：j—dx—arctanx11+x2兀兀兀—arctan*'3-arctan1—

3412x—y2例6求由y=x2和x=y2所围的平面图形（右图）的面积。解设所求面积为S,则所求面积等于以［0,1］区间为底，以x=y2为顶的曲边梯形的面积与以［0，1］区间为底，以y=x2为顶的曲边梯形的面积之差。即11—一x3301211=———=—333例7求极限limxT0x41(1—12)dtcosxx4(1—cos2x)sinxsin3x1=lim=lim=—xr04x3xT04x34j解由洛必达法则得lim-2-x2,0<x<1例8设/(x11—一x3301(1—12)dtcosxx4(1—cos2x)sinxsin3x1=lim=lim=—xr04x3xT04x341「0一，1Vx<eLx解显然fx）在［0,e］上连续，因此fx）在［0,e］上可积，由积分区间的可加性有:jef(x)dx=j1(1—x2)dx+je—dx=(x——x3)+lnx0010第四节定积分的基本积分法牛顿一莱布尼滋公式给出了定积分的一个非常简洁的计算公式，只要我们能求出被积函数的一个原函数，定积分的计算问题就算基本解决了。虽然我们已经掌握了不定积分的基本计算方法，当然可以用不定积分的方法先求被积函数的一个原函数，进而求出定积分的值。但是，这样做有时会很繁琐，在定积分的实际计算过程中，有时没有必要原原本本地先求出原函数，只需要在计算过程中直接进行某些变换就可以了。下面我们就来介绍这些基本方法。一、定积分第一换元积分法

定理1设中(x)在［a,b］上可导，g(x)=fip(x)ip'(x)在［a,b］上连续，则jbg(x)dx=jbf{p(x)p'(x)dx=jbf{p(x)}dp(x)=F{p(x)|b=F{p(b)}-F{p(a)}aaaa其中：F'(u)=f(u)证明由于dFp(x))}=F%(x)p(x)=fh(x)b'(x)，所以F{p(x)}是g(x)的dx一个原函数，由牛顿一莱布尼滋公式得：jbg(x)dx=F{p(x)|b=Fb(b)}—F(a)}aa第一换元积分法也称凑积分法。例1计算j』皿xdx。01+cos2x，兀兀、兀r=—()=一0'44201+cos2x解j兀Snxdx=j兀\d，兀兀、兀r=—()=一0'44201+cos2x例2计算j1xe-2dxx2x2—d解j1xe-2dx=j1—e2二、定积分的第二换元积分法定理2设fx)在区间［a,b］上连续，函数x=p(t)满足下列条件：x=p(t)在区间［a,P］(或［P,a］)上有连续导函数，并且a<p(t)<b；p(a)=a,p(P)=b。则：jbf(x)dx=jpfh(t)p(t)dt证明设F(x)是fx)在区间［a,b］上的一个原函数，则』bf(x)dx=F(b)—F(a)。a另一方面，dFh(t)}=F{(t)p(t)=fh(t)p(t)，因此dtjPf{p(t)p(t)dt=F»(t)}p=F»(P)}—F»(a)}=F(b)—F(a)aa所以，jbf(x)dx=jpfh(t)p(t)dt。

例3计算j8——dx3VX+1—1解令\.T+1=t，即x=12-1，x=12-1在［2,3〕上可导，且单调递增，当t=2时x=3；t=3时x=8，dx=2tdt。于是，由定积分第二换元积分法有:j8」dxj8」dx=j33\：x+1—12t—1—2tdt=2』dt+2』3上dt=2t|3+2ln|t—1||32't-13=2+ln42例4计算j2x-dx0\1—x2解令x解令x=sint，则dx=cost，x=sint在［0,x］上可导，并且单调递增，6t=0有x=0；t=—有x=—。因此62d「sind「sin210V1—sin21costdt=j6sin2tdt=0fx1—cos2t6dt0兀v3—128兀v3—128——j6cos2td2t=———sin2t40124例5计算』兀^业土dx01+cos2x解令x=兀-1，则dx=-dt，当x由0单调递增地变换到冗时，相应的t则单调递减地由冗变换到0。于是：jxxsinxdx=j0（^—t）sin（X—t）（-dt）=jx兀&tdt-jxtsintdt01+cos2xx1+cos2（X—t）01+cos2t01+cos2t由于定积分与积分变量选择无关，所以jxxsinxdx=1jx兀&xdx=X1

01+cos2x201+cos2x4注意：定积分与积分变量选择无关，这个性质在积分实际计算中有相当重要的作用，上面的例题就是一个典型的例子。例6若f(x)在区间［—a,a］上可积:

(1)如果f(x(1)如果f(x)是区间［-a,a］上的奇函数(2)如果f(x)是区间［-a,a］上的偶函数则jaf(x)dx=0—a则」“f(x)dx=2faf(x)dx—a0证明faf(x)dx=j0f(x)dx+faf(x)dx对于f0f(x)dx，令x=-t，则dx=-dt，并且x由-a单调递增地变到0时，t则—a由a单调递减地变换到0，于是f0f(x)dx=f0f(—t)(—dt)=faf(—t)dt=faf(—x)dx—aa00那么：f「f(x)dx=f0f(x)dx+f”(x)dx=f〃{f(x)+f(—x)}dx—a—a00若f(x)是区间［—a,a］上的奇函数，则f(x)+f(-x)=0，所以faf(x)dx=0；—a若f(x)是区间［—a,a］上的偶函数，则f(x)+f(-x)=2fx)，所以faf(x)dx=2faf(x)dx。—a0K正一..一例7设fx)在［0，1］上连续，证明J2f(sinx)dx=J2f(cosx)dx兀证明令x=1，2，兀兀证明令x=1，2=cost，dx=-dt，并且x由0单调递增地变换12J——到-时，相应的t由-单调递减地变换到0，于是f2f(sinx)dx=f0f(cost)(—dt)=f2f(cost)dtTOC\o"1-5"\h\z—

002由于定积分与积分变量选择无关，所以上f(sinx)dx=f2f(cosx)dx。00在定积分的计算中，必须注意变换是否符合条件，不能不顾一切地进行变量代换，否则就会得出错误的结论。比如，计算f1—1—dx，如果令x河(t)=-，则dx=——dt，并且中(—1)=—1，—11+x2t12中⑴=1，将上述关系带入原式得：

-j1—-—dt

-11+t2j—dx=j―-11+x2-11+t-2-j1—-—dt

-11+t2再根据定积分与积分变量选择无关的性质，有［11/j11,Jdx=-Jdx-11+x2-11+x2所以j11dx=0-11+x2上述的计算结果显然是错误的，由定积分的性质，我们可以明确地知道j11dx>0，那么问题错在哪里呢？仔细分析一下不难发现，我们所作变更换-11+x21一x=s(t)=—已经不是［-1，1］到［-1，1］的对应关系了，当作［-1，1］时，即使t尹0，其t相应得函数值已经超出［-1,1］的范围了。(这时s(t)修1)它根本就不满足第二换元积分法的条件，自然就不能这样进行了。三、定积分的分部积分法我们知道，不定积分的分部积分公式是：judv=uv-fvdu，它主要是来自于导数公式:(uvJ=uV+uv'也就是说，uv是uV+uv'的一个原函数。因此，当u(x)，v{x)在［a,b］上有连续导数时，由牛顿一莱布尼滋公式有：jb(ufv+uv'认=uv|a也就是:jbu(x)dv(x)=u(x)v(x)b-jbv(x)du(x)这就是定积分的分部积分公式。a下面我们看几个简单的示例。兀例8计算J2xsinxdx。工2L2cosxdx=sinx|2=1。0解j2xsinxdx=-j2xdcosx=-xcos工2L2cosxdx=sinx|2=1。例9计算j1x2exdx0

和不定积分一样，当被积函数形如f(x)ex时，一般是先转化成fbf(x)dex，然后a再用分部积分法。1-f1exdx2=1-f12xexdx=1-f12xdex0000解f1x2exdx=f1x2dex=x1-f1exdx2=1-f12xexdx=1-f12xdex00001=2e-2。0注：这个例子说明，有时用分部积分法求定积分时需要连续使用。例10计算fxarctanxdx0当被积函数是f(x)与一个反三角函数的乘积时，一般保留反三角函数在微分符号外面，而把f(x)设法放入dx内(当然是在微分意义下)，使f(x)dx=dg(x)0解fxarctanxdx=f1arctanxd—=—arctanx11f1,-§x2darctanx00=—-11f1,-§x2darctanx00=—-1f1

82x2兀1dx=01+x282—111—arctanx22例11证明证明f2sinnxdx=f2cosnxdx，00令x=—-1代入得2并计算I—=J2sinnxdx0兀.2sinnxdx=0—2f0sinn—-1Qdt)=j—2cosntdt=0兀2cosnxdx；0I=f2sinnxdx=f2sinn-1xsinxdx=-f2sinn-1xdcosxnn000f2f2cosxdsinn-1x=f2cosx(n-1)sinn一2xcosxdx000I=-sinn-1xcosx2+=(n-1)f2sinn-2xcos2xdx=(n-1)f2sinn-2x1-sin200=(n-1)f2sinn一2xdx-(n-1)f2sinnxdx=(n-1)I-(n-1)I00n-2n因此I=^-11nnn-2这样我们就得到了一个递推公式。由此

n-1n-3n-1n-3n-5这样TOC\o"1-5"\h\zI=1=1nnn-2n-4nn-2n-4n-6照此进行下去，如果n为奇数，则I=n-1n-1...ZInnn-231z五=12sinxdx=一cosX20所以，=(n-1)!!1=n!!如果n为偶数，则4210n-1n-3I=nnn-24210I=J2dx所以，总之，421(n-1)!!总之，421(n-1)!!兀0=n!!2(n-1)!!

n!!n为奇数(n-1)!!兀n!!2n为偶数第五节广义积分前面我们介绍了定积分的概念，必须满足两个前提条件：其一，被积函数/'(0必须是有界函数；其二，积分区间必须是有限区间。如果打破了这两个限制的话，就可以推广出两种类型的积分，一个是无穷区间上的积分，通常称为无穷区间上的广义积分，简称为无穷积分；另一个是有限区间上无界函数的积分，通常称为无界函数的广义积分，简称为瑕积分。一、无穷区间上的广义积分定义1设f(x)在［a,+8)上有定义，如果Vb〉a函数f(x)在［a,b］上可积，那么极限式limjbf(x)dxb—+8a称为f(x)在［a,+8)上的广义积分，并记为：j+f(x)dx=limjbf(x)dxab^+8a当limjbf(x)dx存在时，称广义积分j+8f(x)dx是收敛的，否则称广义积分bf+8aaj+8f(x)dx发散。a同样的，若f(x)在(-8,b］上有定义，并且Va<b函数f(x)在［a,b］上可积，那么极限式limjbf(x)dxaT-8a称为f(x)在(-8,b］上的广义积分，并记为：jbf(x)dx=limjbf(x)dx-8aT—8a当limjbf(x)dx存在时，称广义积分jbf(x)dx是收敛的，否则称广义积分aT-8a-8jbf(x)dx发散。-8更进一步地，f(x)在(-8,+8)上有定义，并且Vb〉a函数f(x)在［a,b］上可积，那么j+8f(x)dx=jaf(x)dx+j+8f(x)dx-8-8

称为f(x在(-8,+8)上的广义积分，只有当j+8f(x)dx与jaf(x)dx都收敛时，a-8才称广义积分j+8f(x)dx收敛，否则称广义积分j+8f(x)dx发散。-8-8-8注：若F(x)是f(x)的一个原函数，则：b=limF(b)-F(a)=F(+8)-F(a)b—+8ab—+8j+8b=limF(b)-F(a)=F(+8)-F(a)b—+8ab—+8bf+8bf+8af(x)f(x)dx=limjbf(x)dx=limF(x)|a—-8aa—-8f(x)dx=limlimjbf(x)=limlimF(x)\b=limF(b)-limF(a)b—+8a—-8ab—+8a—-8ab—+8a—-8b=F(b)一limF(a)=F(b)一F(-8)aaT—8-8j+8-8=F(+8)-F(一8)下面我们介绍广义积分的基本性质:我们仅以j+8f(x)dx类型给出广义积分的若干性质。a(1)若j+8f(x)dx收敛，k为常数，则j+8f(x)dx也收敛，并且j+8kf(x)dx=kj+8f(x)dxa(2)(3)若j+8f(x)dx和j+8g(x)dx都收敛，则j+8f(x)土g(x)}dx也收敛，并且(2)(3)TOC\o"1-5"\h\zaaaj+8f(x)土g(x)}dx=j+8f(x)dx土j+8g(x)dxaaa若j+8f(x)dx和』+8g(x)dx都收敛，并且f(x)<g(x)，则aaj+8f(x)dx<j+8g(x)dx(4)对任意的b>a，j+8f(x)dx和』+8f(x)dx有完全相同的敛散性。当它们收敛ab的时候有:j+8f(x)dx=jbf(x)dx+j+f(x)dxaab注：广义积分j+8f(x)dx的几何意义与常义积分j"f(x)dx的几何意义非常类似，当f(x)^0时，如果j+8f(x)dx收敛的话，j+8f(x)dx表示x=a；j=0和y=f(x)所为

的平面图形的面积。（如右图）例1讨论广义积分』*8—sin—dx的敛散性。1X2X解VA>1有fA1.1』fA.1JA——sin—dx=-JAsin—d—1A1「一一=cos—=cos一一cos1—1一cos1xA所以，f+^^sin-dx收敛，并且f+^^sin-dx=1-cos1。1x2x1x2x例2讨论广义积分f+cosxdx的敛散性。所以解由于VA>0有fAcosxdx=sinx|A=sinA，而limsinA不存在，00A^+8所以+8cosxdx发散。0例3讨论广义积分f+8—dx的敛散性。(a>0)axa解由于VA>a有jA^dx=jA^dx=]

axa1-axa-1aa=1lnA一Ina=〈1r11)a丰1―——1-akxa-1aa-1/a=1a丰1当a=1时，有limGnA—Ina)=+8，所以当a=1时，J+8^—dx发散;At+8axa当a>1当a>1时，有limAt+8—卜--—

aa-1ya—1aa-1所以当a>1时，』+8上dx

axa收敛，并且当a<1时，当a<1时，有lim1At+81-akxa-1所以当a<1时，81dx发散。总之，当a<1时，「8土赤发散；当a〉1时，「"土dx收敛，并且"xd=_1__Lxaa-1aa-1例4讨论广义积分J*”一Ldx的敛散性。一31+X2解由于J*”1dx=limJx1dx=limarctanx="，所以j*”】dx01+x2xr+”01+x2xr+”201+x2收敛；0101兀0dx=lim0dx=lim(-arctanx)=一，所以j0一”1+x2xr—”x1+x2x——”21dx,j+”1dx收敛，并且一”1+x2一”1+x2j+”^^dx=jQdx+j+”^^dx=-+-=K一”1+x2一”1+x201+x222下面仅以j+”f(x)dx类型给出广义积分的敛散性判别法。a定理1若f(x在［a,+”)上连续，且f(x)30，并且Vb>a有jbf(x)dx<M，a其中m是常数。^J+”f(x)dx收敛。a事实上，令F(x)=jxf(x)dx，则F(x)是单调递增有上界函数，所以limF(x)存axT+”在，即j+”f(x)dx收敛。a定理2(比较判别法)若f(x)、g(x)在［a,+”)上连续，且0<f(x)<g(x)，那(1)(2)证明V(1)(2)证明Vx〉a，如果j+&(x)dx收敛，^0j+”f(x)dx也收敛。aa如果j+”f(x)dx发散，则j+&(x)dx也发散。仅证明(1)，用反证法就可以得到(2)由定积分的性质有jxf(x)dx<jxg(x)dxaa又已知j+&(x)dx收敛，因此Ixg(x)dx<Ixg(x)dx+j+8g(x)dx=j+8g(x)dxaaxa再根据定理1，结论得证。则j+8f(x)dxa定理3(柯西判别法)设f(x)在［a,+8)上连续，且f(x)30，a>0，(1)如果存在正数"，使得在［。,+8)上有f(x)<K，且p>1，则j+8f(x)dxa(1)如果存在正数"，使得在［。,则』+8f(x)dxa(2)如果存在正数K,使得在［a,+8)上有f(x)>K，且pW1，

则』+8f(x)dxa发散。就可以得到本定理的证明。且f(x)30,就可以得到本定理的证明。且f(x)30,a>0,定理4设f(x)在［a,+8)上连续，(1)如果limxpf(x)=A，那么当0<A<+8，且p>1时，j+8f(x)dx收敛;TOC\o"1-5"\h\zxt+8a0<A<+8，且pW1时，j+8f(x)dx发散。a如果limxpf(x)=0，并且p>1，那么j+8f(x)dx收敛；\o"CurrentDocument"xr+8a如果limxpf(x)=+8，并且pW1，那么j+8f(x)dx发散。\o"CurrentDocument"xr+8a本定理是柯西定理的极限形式，利用极限的性质以及上述的柯西定理，不难得到本定理的证明，这里就不再给出它的严格证明了。例5讨论广义积分j+8x"-xdx的敛散性。1xT+3ex解因为limx2(«ef)=lim=0，由定理4.(2)j+8xae-xdx收敛。xT+3exx—+8xT+8ex1这里需要指出一个问题：大家不难发现limx(网f)=0。出现了这样的结果，xr+8广义积分敛散性应当如何判定？也就是定理4中出现“取p=1，极限值为0”的情形时，广义积分敛散性应当如何判定？这里的回答就是:“不可确定”。在这个定理里面，旦出现“limxpf(x)=0，又pW1”时，我们不可以由此下任何结论。同样，一xT+8旦出现“limxpf(x)=+8，又p>1”时，我们同样不可以由此下任何结论。xT+8例6判定广义积分I+8e-x2dx的敛散性。解当X〉1时，有0<ef2<ef，由例5不难得知j+8e-xdx收敛。由广义积分1比较判别法可得j心e-x2dx时收敛的。1二、无界函数的广义积分定义2设f(x)在区间a,b)上有定义，如果f(x)在b的任意左邻域内无界，并且对Vs>0,f(x)在区间［a,b-s］上可积，那么称极限式limjb-sf(x)dxST0+a为f(x)在区间［a,b］上的无界函数广义积分(也称瑕积分)。记为jbf(x)dx=limjb-sf(x)dxaST0+a当limjb-sf(x)dx存在时，称广义积分jbf(x)dx是收敛的，否则称jbf(x)dx发ST0+aaa散。设f(x)在区间(a,b］上有定义，如果f(x)在a的任意右邻域内无界，并且Vs〉0有f(x)在区间［a+s,b］上可积，那么称极限式limjbf(x)dxST0+a+s为f(x)在区间［a,b］上的无界函数广义积分(也称瑕积分)。记为jbf(x)dx=limjbf(x)dxaST0+a+sST0+a+s当limjbf(x)dx存在时，称广义积分jbf(x)dx是收敛的，否则称jbf(x)dxaa发散。