几何与代数：第五章 特征值与特征向量

第五章

特征值与特征向量

第一节

矩阵的特征值与特征向量

第二节

相似矩阵第三节

实对称矩阵的相似对角化

第四节

矩阵的Jordan标准型

第五节

用Matlab解题

柯西[法]A.L.Cauchy(1789.8-1857.5)凯莱[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)克莱伯施[德]R.F.A.Clebsch

(1833.1-1872.11)约当[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量

075057075

156100.21

x

y

x

y

505057570707

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量100.21

x

y

=

x

y

=

x

y

1001=

x

y

00

x

y

00

100.21=00

x

y

1

00.2

1=00(1)2=0=01

00.2

1=1

x

y

000.2000=

x

y

=(kR)0

k00.2x

=0

0

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量075057075

156100.210

k

0

k

=1(kR)0

k

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=2

A=0.5

2000.5A=/6cossin

sincos

B=

一.特征值与特征向量的概念第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=

n阶方阵

非零向量

特征值

特征向量

对应

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=

(EA)=0|EA|=0

特征方程

|EA|=

a11

a12…a1n

a21

a22…a2n…………

an1

an2…ann

特征多项式

特征值

特征向量

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2EA)x=0

即3113|EA|=3113=(2)(4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4EA)x=0

即3113|EA|=3113=(2)(4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量解:|EA|=(2)(1)2.

所以A的特征值为1=2,2=3=1.

对于1=2,

求得(2EA)x=0

的基础解系:p1=(0,0,1)T.

对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).

对于2=3=1,

求得(EA)x=0

的基础解系:p2=(1,2,1)T.

对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求A=的特征值和特征向量.

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量解:|EA|=(+1)(2)2.

所以A的特征值为1=1,2=3=2.

(EA)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.

对应于1=1的特征向量为kp1(0kR).

(2E–A)x=0的基础解系:

p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.

对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3

(k2,k3不同时为零).例3.求A=的特征值和特征向量.

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量二.特征值的性质a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…ann(a11)(a22)…(ann)f(0)=|A|=(1)n|A|.A的迹,记为tr(A)

f()=

|E

A|==n(a11+a22+…+ann)n1+…

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量定理5.1.|E

Ann|是的n次首1多项式.|E

Ann|的n1次项的系数为tr(A).|E

Ann|的常数项为(1)n|A|.

推论1.若|EAnn|=(1)(2)…(n),则1+2+…+n=tr(A),

12…n=|A|.

推论2.Ann可逆A的特征值均不为零.例4.若3阶方阵EA,E+A,2E3A都不可逆,

则|1EA|=|1EA|=|EA|=0,23

tr(A)=1

1+=,232323|A|=.

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=

特征值

特征向量

A2=A(A)=

=A()=A

=2

An=n

(anAn+…+a1A

+a0E)

=anAn

+…+a1A

+a0

=ann

+…+a1

+a0

=(ann

+…+a1

+a0)

(A)==()

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=

特征值

特征向量

An=n,(A)

=()

()=

O=

()=0(A)

=O

=

A1

A1

=1

A可逆

An

=n

A*A=

A*

0|A|E=|A|=A*=1|A|

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=

特征值

特征向量

An=n,(A)

=()

(A)

=O

()=0A可逆

An

=n

0A*=1|A|

例5.若A33的特征值为1,1,2,则|A|=2.

A*的特征值为2,2,1.

§5.2相似矩阵

一.矩阵的相似

§5.2相似矩阵第五章特征值与特征向量Ps.t.P1AP=B

1.A与B相似(记为A~B):

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵2.性质(1)反身性:A~A.E1AE=A

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵P1AP=B

2.性质(1)反身性:A~A.(2)对称性:A~BB~A.PBP

1=

A

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵P1AP=B

2.性质(1)反身性:A~A.(2)对称性:A~BB~A.(3)传递性:A~B,

B~CA~C.Q1BQ=CQ1(P1AP)Q=(PQ)1A(PQ)

=

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵P1AP=B

2.性质(1)反身性:A~A.(2)对称性:A~BB~A.(3)传递性:A~B,

B~CA~C.(4)A~Bf(A)~f(B).P1A2P

=P1APP

1AP

=B2

P1AnP

=Bn

P1f(A)P=anP1AnP+…+a1P1AP+a0P1EP

=P1(anAn+…+a1A+a0E)P

=anBn+…+a1B+a0E

=f(B)

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵2.性质(1)反身性:A~A.(2)对称性:A~BB~A.(3)传递性:A~B,

B~CA~C.(4)A~Bf(A)~f(B).(5)P1AP=BA与B等价,r(A)=r(B).

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵P1AP=B

2.性质(1)反身性:A~A.(2)对称性:A~BB~A.(3)传递性:A~B,

B~CA~C.(4)A~Bf(A)~f(B).(5)P1AP=BA与B等价,r(A)=r(B).(6)可逆矩阵A~BA1

~B1.(P1AP)1=

B1

P1A1P

=

B1

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵二.矩阵相似的必要条件定理5.2.P1AP=B|E

A|=|E

B||P|1|E

A||P|=|P1||E

A||P|=|P1(E

A)P|=|(P1E

P1A)P|=|P1EP

P1AP|=|P1P

B|=|E

B|.

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵二.矩阵相似的必要条件定理5.2.P1AP=B|E

A|=|E

B|.1+2+…+n

12…n

(1)(2)…(n)=tr(A)==tr(B)|A|==|B|

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵二.矩阵相似的必要条件定理5.2.P1AP=B|E

A|=|E

B|.推论.A~BA与B有相同的特征值tr(A)=tr(B),|A|=|B|.P1AP=B

A=

B(P1)=P1APP1

=P1A=P1=(P1)

|B|=|P1AP|=|P1||A||P|=|P|1|A||P|=|A|.

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵二.矩阵相似的必要条件定理5.2.P1AP=B|E

A|=|E

B|.推论.A~BA与B有相同的特征值tr(A)=tr(B),|A|=|B|.例6.01x3~250y

0+3=2+y

x=2y

x=2,y=1.

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵注:特征多项式相同的矩阵未必相似.例如A=1011,B=1001,假若P

–1AP=B,则A=PBP

–1=B.矛盾!|E

A|=|E

B|==(1)2.11

01=(1)2.10

01

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵三.相似对角化问题求A11.设P1AP=,P=,=14111002,A=PP1

A11=(PP1)(PP1)(PP1)…(PP1)

11=100211=P11P1

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵A~==P1AP10…002…0…………00…nP=(1,…,n)可逆1,…,n线性无关P1AP=AP=P

(A1,…,An)

=(11,…,nn)

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.3.Ann相似于对角矩阵A有n个线性无关的特征向量.

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2EA)x=0

即3113|EA|=3113=(2)(4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).[评注]令P=

1

1

1

1

,

则P1AP

=

2004

.

令Q=

1

1

1

1

,

则Q1AQ

=

4002

.

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量解:|EA|=(2)(1)2.

所以A的特征值为1=2,2=3=1.

对于1=2,

求得(2EA)x=0

的基础解系:p1=(0,0,1)T.

对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).

对于2=3=1,

求得(EA)x=0

的基础解系:p2=(1,2,1)T.

对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求A=的特征值和特征向量.[问]A相似于对角矩阵吗?

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量解:|EA|=(+1)(2)2.

所以A的特征值为1=1,2=3=2.

(EA)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.

对应于1=1的特征向量为kp1(0kR).

(2EA)x=0的基础解系:

p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.

对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3

(k2,k3不同时为零).例3.求A=的特征值和特征向量.

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵1

——A的特征向量1

——A的特征值结论:条件:1线性无关

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵1,2——A的特征向量1,2——A的互异的特征值结论:条件:1,2线性无关k11+k22=

A(k11+k22)=

k1A1+k2A2=

k121+k222=

k111+k222=

k1(12)1

=

k1(12)

=0k1

=0k22=

k2

=0

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵1,2,3——A的特征向量1,2,3——A的互异的特征值结论:条件:1,2,3线性无关k11+k22+k33=

A(k11+k22+k33)=

k1A1+k2A2+k3A3=

k131+k232+k333=

k111+k222+k333=

k1(13)1+k2(23)2=

k1(12)=k2(23)=0k1

=k2

=0k33=

k3

=0

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵1,2,…,s——A的特征向量1,2,…,s——A的互异的特征值结论:条件:1,2,…,s线性无关k11

+k22

+…+ks1s1+kss=

A(k11+k22+…+ks1s1+kss)=

k1A1+k2A2+…+ks1As1+ksAs=

k1s1+k2s2+…+ks1ss1+ksss=

k111+k222+…+ks1s1s1+ksss=

k1(1s)1+k2(2s)2+…+ks1(s1s)s1=

k1(12)=k2(23)=…=ks1(s1s)=0k1

=k2

=…=ks1=0kss=

ks

=0

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.4.1,2,…,s

——A的特征向量1,2,…,s

——A的互异的特征值1,2,…,s线性无关1

2

A,线性无关

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.4.1,2,…,s

——A的特征向量1,2,…,s

——A的互异的特征值1,2,…,s线性无关推论.Ann有n个互异的特征值1,2,…,n

A~.n

1

2

…

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵例7.123045006~100040006例8.若A=相似于对角矩阵,a

x

y

0a

z

00a|EA|=a

x

y

0a

z

00a=(a)3

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵例7.123045006~100040006例8.若A=相似于对角矩阵,a

x

y

0a

z

00a则(aEA)x=有3个线性无关的解,故3r(aEA)=3,即r(aEA)=0,可见aEA=0

x

y

00

z

000=O,即x=y=z=0.Asnx=有nr(A)个线性无关的解

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵例7.123045006~100040006例8.若A=相似于对角矩阵,a

x

y

0a

z

00a则有P1AP=于是A=P(aE)P1

a000a000a=aE.=aPP1=aE.即x=y=z=0.

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.5.1,2,…,m

A11,…,1t

,1线性无关11,…,1t

,21,…,2t

,

…,

s1,…,sr

线性无关12

s

2

线性无关21,…,2t

,

…,

s

线性无关s1,…,st

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵s=2的情形:1

1,…,s1,…,r2

线性无关线性无关{1,…,s,1,…,r}线性无关k11+…+kss+l11+…+lrr=0证明:k11+…+kss=l11+…+lrr=0

k1=…=ks=l1=…=lr=0Ak11+…+kss+l11+…+lrr=0k11+…+kss=l11+…+lrr=0假若k11

+…+kss0,则

②l11

+…+lrr0A(k11

+…+kss)①

k11

+…+kss是A的对应于1的特征向量=k1A1

+…+ksAs

=k111

+…+ks1s

=1(k11

+…+kss)③l11

+…+lrr是A的对应于2的特征向量

而k11

+…+kss与l11

+…+lrr线性相关矛盾!

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵1

1,…,s1,…,r2

A线性无关线性无关{1,…,s,1,…,r}线性无关k11+…+kss+l11+…+lrr=0证明:k11+…+kss=l11+…+lrr=0

k1=…=ks=l1=…=lr=0

s=2的情形:

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量解:|EA|=(2)(1)2.

所以A的特征值为1=2,2=3=1.

对于1=2,

求得(2EA)x=0

的基础解系:p1=(0,0,1)T.

对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).

对于2=3=1,

求得(EA)x=0

的基础解系:p2=(1,2,1)T.

对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求A=的特征值和特征向量.二重一重一个一个

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量解:|EA|=(+1)(2)2.

所以A的特征值为1=1,2=3=2.

(EA)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.

对应于1=1的特征向量为kp1(0kR).

(2EA)x=0的基础解系:

p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.

对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3

(k2,k3不同时为零).例3.求A=的特征值和特征向量.二重一重一个二个

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.6.A相似于对角矩阵k重特征值对应k个线性无关的特征向量.例如,若A55的特征值为对应的线性无关的特征向量分别为:

(与1对应),(与2对应),1,2,3(与1对应),1(一重),2(一重),1,1,1(三重),令P=(,,1,2,3),则P1AP=1000002000001000001000001

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.6.A相似于对角矩阵k重特征值对应k个线性无关的特征向量.反之,若则P1(1EA)P

=P1AP=1000002000001000001000001

(1EP1AP)0

3

2

2

2

=1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

=

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.6.A相似于对角矩阵k重特征值对应k个线性无关的特征向量.反之,若则r(1EA)=r(P1(1EA)P)=4,P1AP=1000002000001000001000001

0

3

2

2

2

=1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.6.A相似于对角矩阵k重特征值对应k个线性无关的特征向量.反之,若则r(1EA)=r(P1(1EA)P)=4,P1AP=1000002000001000001000001

因而(1EA)x=有1个线性无关的解,54=1,Asnx=有nr(A)个线性无关的解即A有1个线性无关的特征向量与1对应.同理,A有1个线性无关的特征向量与2对应.

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.6.A相似于对角矩阵k重特征值对应k个线性无关的特征向量.反之,若则P1(1EA)P

=P1AP=1000002000001000001000001

(1EP1AP)2

1

0

0

0

=1

2

1

1

1

1

1111=

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.6.A相似于对角矩阵k重特征值对应k个线性无关的特征向量.反之,若则r(1EA)=r(P1(1EA)P)=2,P1AP=1000002000001000001000001

2

1

0

0

0

=1

2

1

1

1

1

1111

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵定理5.6.A相似于对角矩阵k重特征值对应k个线性无关的特征向量.反之,若P1AP=1000002000001000001000001

因而(1EA)x=有3个线性无关的解,52=3,Asnx=有nr(A)个线性无关的解即A有3个线性无关的特征向量与1对应.则r(1EA)=r(P1(1EA)P)=2,

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵例9.若2是A=111a4b

335r(2EA)=1,可见a=2,b=2.A相似于对角矩阵,的二重特征值,且则3

r(2EA)=2,而2EA=111a

2b

33

31110a2ab

00

0x3

此时(2EA)x=的一个基础解系为:(1,0,1)T,(0,1,1)T.

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵例9.若2是A=111a4b

335又因为tr(A)=10,(6EA)x=的一个基础解系为:A相似于对角矩阵,的二重特征值,且则a=2,b=2.所以A的另一个特征值为1022=6.此时(2EA)x=的一个基础解系为:(1,0,1)T,(0,1,1)T.(1,2,3)T.

第五章特征值与特征向量§5.2相似矩阵例9.若2是A=111a4b

335A相似于对角矩阵,的二重特征值,且则a=2,b=2.令P=,1010121

13则P1AP=.22

6§5.3实对称矩阵的相似对角化

一.实对称矩阵的性质

§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量AT=A

Mn(R),A=,=(a1,…,an)TCn.()T=0

TAT=T==TAT=(A)T=T=(A)TT=a1a1+…+anan>0

=0性质5.1.实对称矩阵的特征值均为实数.

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化11T(1–2)1T2=011T2AT=A

Mn(R),1,2Rn,A1=11,A2=22,1

2R,=1TA

=(A1)T

=1TAT

=21T2,=1TA2

=1T(22)1T2=0.性质5.2.实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交.

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化定理5.7.AT=A

Mn(R)正交矩阵Q使得

Q1AQ=QTAQ是对角矩阵.二.实对称矩阵正交相似对角化的计算(EA)x=

|EA|=0特征值特征向量正交化单位化Q

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化例10.把A=正交相似对角化.解:|E–A|=(–2)(–4)2.

所以A的特征值为1=2,2=3=4.

(2E–A)x=的基础解系:1=(0,1,–1)T.(4E–A)x=的基础解系:

2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.

1,2,3已经两两正交,将它们单位化可得400031013Q=,Q1AQ=QTAQ=.200040004

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化例11.把A=正交相似对角化.解:|EA|=2(3).

所以A的特征值为1=2=0,3=3.(0EA)x=的基础解系:

1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T.

(3EA)x=的基础解系:3=(1,1,1)T.111111111

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T,

3=(1,1,1)T.令p2=22,11,11

.

=1/2

1/2

11

1012=1

01再令q1=1

||1||,

=1/2

1/2

0q2=p2

||p2||,

=1/6

1/6

2/6q3=3

||3||,

=1/3

1/3

1/3Q=(q1,q1,q1),则Q1AQ=QTAQ=.000000003

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化例11.把A=正交相似对角化.另解:由于A是3阶实对称矩阵,111111111又因为r(A)=1,所以1,2,3中有两个为零,一个非零.根据1+2+3=tr(A)=3,可设1=3,2=3=0.100020003

.故A~(3EA)x=的基础解系:1=(1,1,1)T.

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化(0EA)x=的一个非零解为:2=(1,1,0)T,(3EA)x=的基础解系:1=(1,1,1)T.x1+x2+x3=0x1+x2=0的一个非零解为:3=(1,1,2)T.,

1/2

1/2

0q2=,

1/6

1/6

2/6q3=令q1=,

1/3

1/3

1/3Q=(q1,q1,q1),则Q1AQ=QTAQ=.300000000

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化(0EA)x=的一个非零解为:2=(1,1,0)T,(3EA)x=的基础解系:1=(1,1,1)T.,

1/2

1/2

0q2=,

1/6

1/6

2/6q3=令q1=,

1/3

1/3

1/3Q=(q1,q1,q1),则Q1AQ=QTAQ=.300000000令3=12

=(1,1,2)T.1110,1101,1111=T

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化例12.AT=A

M3(R),|E–A|=(–1)2(–10),3=(1,2,2)T,A3=103.(1)由性质5.2可知:A

=()3;因而

=k11+k22是对应于1的特征向量.反之,设3,(1,2是A的对应于1的线性无关的特征向量).且

=k11+k22+k33

则=0.,3k3||3||2=k11,3+k22,3+k33,3=综上所述,A

=()3.故k3=0,

第五章特征值与特征向量§5.3实对称矩阵的相似对角化(2)对应于1两个线性无关的特征向量可取为将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵x1+2x22x3=0的正交的基础解系:1=(2,1,2)T,2=(2,2,1)T,例12.AT=A

M3(R),|E–A|=(–1)2(