几何与代数：3-3 空间向量的向量积与混合积

§3.3空间向量的向量积与混合积

一.空间向量的向量积1.向量积定义向量积也被称为叉积或外积，

向量与的向量积是一个向量，记为：大小：||||=||||||||sin方向：与及均垂直，且，与构成右手系。

说明(1).与共线=0

说明(2).

=0αβαββα2.向量积性质

(1)

=-(反交换律)(2)(k)=k(

)=(k)（结合律）

(3)(+

)=

+

（分配律）

说明(3).||||等于以，为邻边的平行四边形面积。

例1.证明：()2

+

()2=

2

2

注意：（1）等式左边2个平方的区别；

注意：（2）等式两边乘号“”的区别3.向量积的坐标形式

例2.

已知||||=3,||||=11,且·

=30.求||||。

(1).坐标向量间的向量积

i

j=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j,i

i=jj=kk=0ijk=(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k)

(2).

设

=(a1,a2,a3),=(b1

,

b2

,

b3),则

=(a2b3a3b2)i+(a3b1a1b3)j+(a1b2a2b1)k

=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)向量形式行列式形式

说明(4).

设向量=(a1,

a2,a3)与=(b1,b2,b3)，则与共线

=0(1)求平行四边形面积(2)求夹角(3)求平行四边形的高h(4)判断向量平行

4.向量积的几何应用h//

=0S=||||

例3.Δ顶点A(1,-1,2)，B(5,-6,2)，C(1,3,-1)，求SΔABC和边AC上的高h。hBCA

解：AB=(4,-5,0)，AC=(0,4,-3)

例4.

已知向量⊥

=(1,2,1),⊥=(1,1,1),且·=

8,其中=

(1,2,1),求向量。

解：（方法一）设

=(x,y,

z)，则

⊥·=

x+2y+z=0

⊥·=

-x+y+z=0

·=

x-2y+z=8

解得：=(x,y,z)=(1,-2,3)。

（方法二）由⊥和

⊥知，

//()

，且

所以可设

=(k,-2k,3k)，由

·=

k+4k+3k=8k=1

练习：设单位向量OA与三个坐标轴的夹角相等，B是点M(1,-3,2)关于N(-1,2,1)的对称点。

求：OAOB

二.空间向量的混合积

已知三个向量,,，数量()

称为这三个向量的混合积，记为(,,)

。1.混合积定义2.混合积几何意义

向量a与b的夹角为，则它们的数量积为:

ab=||a||||b||cos=||a||ba

()=||||

构造一个以,,为相邻边的平行六面体，其底面是由,构成的平行四边形。

平行六面体体积=底面积高

=||||||=||||||

|||cos|为与的夹角当,,为右手系时，(,,)=V平行六面体当,,为左手系时，(,,)=-V平行六面体

说明(1).

如果(,,)=0，即

()=||||=0则或者||||=0，向量,

共线；或者

=0，向量。这两种情况均导致三向量共面，故

向量,,共面(,,)=03.混合积性质(1)(轮换对称性)(,,)=(,,)=(,,)(2)(交错性)(,,)=-(,,)

特别地，(,,)=0(3)(线性)(1+2

,,)=(1,,)+(2

,,)

k(,,)=(k,,)=(,k,)=(,,k)

说明(2).

利用上面3条性质，可以得到更多混合积的相关公式。

例5.

设++=0，证明,,共面。

证：等式两边同时与进行内积，得(++)=()=0=0即(,,)=0

,,共面

例6.

设向量,,不共面，求任意向量关于,,分解式。

解：设在,,下的坐标为(x,y,

z)，则

=

x

+y

+z

等式两边先与做向量积，再与做内积，得

(,,)

=

x(,

,)

于是，同理与Cramer法则关系4.坐标形式混合积

设向量

=(a1,a2,a3)，

=(b1,b2,b3)，

=(c1,c2,c3)

则

=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)()·=(a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3

说明(3).向量,,共面

例7.

证明四点A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3),C(c1,c2,c3),D(d1,d2,d3)共面的充要条件是：

证：A,B,C,D四点共面DA,DB,DC共面

(DA,DB,DC)=0

例8.（教材P104