电路分析基础：第六章 一阶电路

第六章一阶电路§6-1分解方法在动态电路分析中的运用§6-2零状态响应§6-3阶跃响应冲激响应§6-4零输入响应§6-5线性动态电路的叠加定理§6-6三要素法§6-7瞬态和稳态§6-8正弦激励的过渡过程和稳态§6-1分解方法在动态电路分析中的应用+uc-i含源二端网络NbC+uc-iaR0+-Cba

uoc+uc-iaG0Cb

isc

求解的步骤：

1、根据给定的初始条件uc(t0)以及t≥t0时的uoc或isc，便可由上述方程解得t≥t0时的uc(t)。

2、求得uc(t)后，便可根据置换定理以电压源uc(t)去置换电容，使原电路变换成电阻电路。

3、运用电阻电路的分析方法就可解得t≥t0时所有的支路电流和电压。

对于含电感L的电路，结合初始条件iL(t0)可求得t≥t0的iL(t)。

根据置换定理用电流源iL(t)去置换电感。§6-2零状态响应+uc-icaR+-Cb

us+-

U0

u1+-+aR+-Cb

us+aRCb+-

U0

u1+---=+

在零初始状态下，仅由电路的输入所引起的响应称为零状态响应。

在零输入情况下，仅由非零初始状态所引起的响应称为零输入响应。

输入和非零初始状态共同作用下的响应称为全响应。全响应=零状态响应+零输入响应+aR+-Cb

us-

us

t

Us设t0=0。+R+-Cb

Us-t=0a

O在t=0+时，uc(0+)=0，uR=Us，这说明电容的电压是上升的。由于Us是一定的，电容电压的增长，必然导致电阻电压的减小，ic减小。

ic减小，电容电压的变化率减小，即t=0+时最大。到后来US几乎降落在电容两端，电阻两端电压趋于零，充电电流趋于零，电容如同开路，充电停止。

电容电压变化趋势是：起先增长很快，随着电容电压的增长，增长的速度越来越慢，最后趋于电源电压Us，电容充电完毕。

当直流电路中各个元件的电压和电流都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态。

电路由一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程就称为过渡（暂态）过程。L

在t=0时将开关闭合，

开关闭合后灯的亮度如何变化？与电阻R串联的灯LR立即亮，并且亮度不变；

与电容C串联的灯LC立即亮，但亮度逐渐变暗，最后熄灭；

与电感L串联的灯LL逐渐变亮，然后保持某一亮度不变。

电路产生过渡过程的原因是：（1）电路中含有动态元件；

（2）电路要发生换路。US为t→∞时的电容电压，即新的稳态值u(∞)

称为时间常数，单位是秒（s）。

tf(t)=Ke-t/τ百分比tf(t)=Ke-t/τ百分比τ2τ3τ0.368K0.135K0.0498K36.8K13.5K4.98K4τ5τ6τ0.0183K0.00674K0.000912K1.83K0.674K0.0912K

时间常数τ越大，则f(t)下降到同一百分比值所需的时间越长，衰减越慢。

随着时间的增长，f(t)趋向于零。

理论上讲，t=∞时，f(t)才能衰减到零。

实际上当t=5τ时，f(t)已为初始值K的0.674％。

工程上常取t=(3~5)τ作为f(t)消失所需的时间。iC,uctOuCUs

uc到达直流电源所要求的稳态值US，不是即时的，而是需要经历一段时间的。i

uc(0+)=uc(0-)=0，ic(0-)=0，而ic(0+)=Us/R，即在t=0时，uc是连续的，而ic则是不连续的。

在充电过程中电阻消耗的总能量为与电阻R的大小无关。

充电完毕电容的储能为

τ=RC

在充电过程中电源提供的能量为满足能量守恒定律。L+–uLiLR+-

Ust=0

在t=0+时，iL(0+)=0，uR=0，US/R=IS这说明电感的电流是上升的。

由于Us是一定的，电流的增长，电阻的电压也增长，电感电压将减小，电流的变化率减小，因此电感电流的上升变得缓慢。

到后来，电流变化率几乎为0，即几乎不变，电感两端电压也几乎为0，电感如同短路。这时US几乎降落在电阻两端，电流iL=US/R。US为t→∞时的电容电压，即新的稳态值

电感电路中，电流的新的稳态值为iL(∞)=US/R。

根据对偶关系，iL(t)的特性曲线与uc(t)的一样，按指数规律增大，最终达到US/R；uL(t)的特性曲线与ic(t)的一样，按同样的指数规律衰减，最终衰减为0。

iL(0+)=iL(0-)=0，uL(0-)=0，而uL(0+)=Us，即在t=0时，iL是连续的，而uL则是不连续的。

在直流电源或阶跃波作用下电路的零状态响应，实质上是电路中动态元件的储能从无到有逐渐增长的过程。

电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数规律上升到达它的新的稳态值。

上升的快慢取决于时间常数τ=RC或τ=L/R。

当电路到达稳态时，电容相当于开路，而电感相当于短路，据此可确定电容或电感的新的稳态值。零状态响应中的电容电压和电感电流是由新的稳态值和时间常数决定，求解时不必再求解微分方程，可直接写出uc(t)以及i

L(t)。

然后根据置换定理可求出其他各个电压和电流。

若外加电压源电压增大m倍，则零状态响应也增大m倍，称为零状态响应比例性。

例6-1电路如图所示，开关K在t=0时打开，已知uc(0)=0，求开关打开后的uc(t)、i(t)和ic(t)。R

Ist=0Cici+-

uc

K

解：uc(0)=0，属于零状态响应。

到达新的稳态后，电容相当于开路，所以

电路中的电压和电流都按同一指数规律变化。

即都有相同的指数。

例6-3下图所示电路在t=0时开关S闭合，求开关闭合后i(t)和iL(t)。US=18V，L=10H，电阻单位为Ω。L+–uL+-151.24abiLi

Us

解：开关闭合后，即t≥0，用戴维南定理将端钮a、b的含源二端网络等效为电压源与电阻的串联。t=0L+–uL+-R0abiL

UocL+–uL+-151.24abiLi

Us

开关闭合后用电流源代替电感。

列出网孔方程，§6-3阶跃响应冲激响应0

t＜01

t＞0

t

O1称为单位阶跃函数。

ε(t)是奇异函数，t=0时无定义，可取0或1。0t＜t01

t＞t

0

t

O1

t

0称为延时单位阶跃函数。

单位阶跃输入作用下的零状态响应定义为单位阶跃响应s(t)。

若输入信号是幅度为A的阶跃信号，则零状态响应为As(t)。

延时单位阶跃信号作用下的零状态响应为s(t-t0)，称为电路的时不变性。

t

O1

t

0

t

O1

t

0T

称为分段常量信号。矩形脉冲脉冲串=

t

O1

t

0

t

O-1

t

0+

例6-5求下图所示零状态RL电路在左图所示脉冲电压作用下的电流i(t)。已知L=1H，R=1Ω。L+–uL+-Ri

u(t)

t

OA

t

0

解：u(t)可分解为Aε(t)和-Aε(t-t0)的叠加，则

（1）Aε(t)单独作用时的零状态响应为

（2）-Aε(t-t0)单独作用时的零状态响应为

例6-6若作用于下图所示电路的电压R2

usC+-

u

R1+-已知R1=3Ω，R2=6Ω，C=1/8F。试求u(t)，对所有t。

解us(t)可看成由us1(t)=-3V和us2(t)=4ε(t)所组成。

（1）电压源us1(t)=-3V始终作用于电路，电容相当于开路

（2）电压源us2(t)=4ε(t)在t≥0时才作用于电路，电路的零状态响应为R2

usC+-

u

R1+-

例6-7接续例6-5，试求uL(t)。R=1Ω。L+–uL+-Ri

u(t)

解uL(t)=u(t)-Ri(t)

t＜0时，

t＞0时，？？00

称为冲激函数。

δ(t)对t的积分为ε(t)。

δ(t)=0对所有t≠0。

δ(t-t0)=0对所有t≠t0。

单位冲激输入作用下的零状态响应定义为单位冲激响应h(t)。

激励x→响应y（线性时不变电路中）。=h(t)

例6-8接续例6-5，试由公式

例6-9求RC并联电路在冲激电流源δ(t)作用下电压u(t)的单位冲激响应。R

δ(t)C+-

u(t)

解电路中电压u的单位阶跃响应为§6-4零输入响应+aRCb+-

U0

u1+--

在零输入情况下，仅由非零初始状态所引起的响应称为零输入响应。

用电压源U0与初始电压为零的电容串联来代替初始电压不为零的电容。

所求电容电压uc(t)应是U0与u1(t)的叠加，即a、b两端的电压，

u1(t)是在独立源U0作用下的零状态响应，所以iC，uCtOiCuCU0-U0/R

零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的，当电路中存在着耗能元件R时，有限的初始储能终将被消耗完，零输入响应终将为零。

uc(0+)=uc(0-)=U0，ic(0-)=0，而ic(0+)=-Us/R，即在t=0时，uc是连续的，而ic则是不连续的。L+–uL(t)RiL(t)iL(0)=I0RL+–uL(t)iL(t)i1(t)iL(0)

用电流源I0和初始电流为零的电感的并联来代替初始电流不为零的电感。

i1(t)是在独立源I0作用下的零状态响应，所以

不论是RC电路还是RL电路，零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，这是由于在没有外施电源的条件下，原有的储能总是要逐渐衰减到零的。

若初始状态增大m倍，则零输入响应也相应地增大m倍，称为零输入响应线性或比例性。

例6-10电路如图所示，已知R1=9Ω、R2=4Ω、R3=8Ω、R4=3Ω、R5=1Ω，Us=10V，C=1F。t=0时开关打开，求uab(t)，t≥0。C+-

UsR1R2R3R4R5ab

解（1）求uc(0+)。

（2）求初始值uab(0+)。C+-UsR1R2R3R4R5ab+-

uc(0+)

（3）求稳态值uab(∞)。C+-

UsR1R2R3R4R5abC+-UsR1R2R3R4R5ab+-

uc(0+)

（4）求时间常数τ。C+-

UsR1R2R3R4R5ab

（5）代入，写出表达式。R0§6-5线性动态电路的叠加原理

线性一阶电路的叠加原理包含下述内容：若初始时刻为t=0，则对所有t≥0的时刻，有

（1）全响应=零状态响应+零输入响应；

（2）零状态响应线性；

（3）零输入响应线性。

例6-12t≥0时RC并联电路如图所示，在电流源iS(t)的作用下，若R=1Ω、C=1F，试求响应uC(t)，t≥0。若R

iS(t)C+-

u(t)

（1）iS(t)=2A，uC(0)=1V；

（2）iS(t)=3A，uC(0)=1V；

（3）iS(t)=5A，uC(0)=1V，核对所求结果是否为（1）、（2）结果之和。

解（1）零状态响应

零输入响应

全响应

（2）零状态响应

零输入响应

全响应

（3）零状态响应

零输入响应

全响应全响应不等于激励单独作用时响应的总和。§6-6三要素法

三要素法是一种求解一阶电路的简便方法。

它可用于求解电路任一变量的零输入响应和直流作用下的零状态响应、全响应，不论是状态变量还是非状态变量。

在直流一阶电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减到稳态值，且同一电路中各支路电流和电压的时间常数是相同的。

在分析电路时，只要求得y(0+)、y(∞)和τ这三个要素，就能立即写出相应的解析表示式。稳态值初始值

用三要素法求解的步骤：

1、求uc(0-)或iL(0-)。

t=0-时电路已处于稳态，用开路置换电容，用短路置换电感；然后利用KCL、KVL、VCR、网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理、欧姆定律、电阻的串并联等方法求出uc(0-)或iL(0-)。

2、求出待求量的初始值y(0+)。

（1）画出t=0+时的等效电路：电路已发生换路，电容用us=uc(0+)的电压源置换或电感用is=iL(0+)的电流源置换。

（2）利用计算复杂电路的方法求出y(0+)。

3、求出新的稳态值y(∞)。

t=∞时电路又达到稳态，用开路置换电容，用短路置换电感；

利用计算复杂电路的方法求出y(∞)。

4、求出时间常数τ。

求出动态元件两端的戴维南或诺顿等效电路的等效电阻。

时间常数为τ=R0C或τ=L/R0。

5、代入，写出表达式。

即理想电压源短路、理想电流源开路时动态元件两端的等效电阻R0；

例6-15求解右图（P193例6-3）所示电路的i(t)，t≥0。R1=1Ω，R2=5Ω，R3=1.2Ω，R4=4Ω，Us=18V，L=10H。L+–uL+-R1R2R3R4abiLi

Ust=0

解（1）求iL(0-)。

t=(0-)，iL(0-)=0。

（2）求初始值i(0+)。L+–uL+-R1R2R3R4abiLi

Us

（3）求稳态值i(∞)。L+–uL+-R1R2R3R4abiLi

Us

（4）求时间常数τ。+-R1R2R3R4abi

UsL+–uL

（5）代入，写出表达式。R0

例6-16如图所示电路，t=0时开关由a投向b。试绘出i(t)、iL(t)的波形图，并写出解析表达式。假定换路前电路处于稳态。R1=R3=1Ω，R2=2Ω，L=3H。L+–uLR1R2R33VabiLi

3Vt=0

解（1）求iL(0-)。L+–uLR1R2R3aiLi

3V

（2）求初始值。L+–uLR1R2R33VbiLi

iL(0+)=iL(0-)=-1.2A。

iL(0+)

（3）求稳态值。L+–uLR1R2R33VbiLi

iL(∞)

（4）求时间常数。L+–uLR1R2R33VbiLi

（5）代入，写表达式。R0

例6-17电路如图所示，已知电流源is=2A，t≥0；is=0，t＜0。R1=R2=4Ω，C=0.01F，r=2Ω。求i(t)，t≥0。

isC+-

i(t)

uc(t)R1R2

ri+-

解（1）求uc(0+)。

（2）求初始值i(0+)。

isC+-

i(t)

uc(t)R1R2

ri+-

（3）求稳态值i(∞)。

isC+-

i(t)

uc(t)R1R2

ri+-

（4）求时间常数τ。

isC+-

i(t)

uc(t)R1R2

ri+-+-