四川大学经济学院-计量经济学(双语)课程期末复习资料

14/14四川大学经济学院__计量经济学(双语)课程期末复习资料

2008—2009学年度第一学期计量经济学（双语）期末复习（上）

任课老师：张蕊上课时间：周四第四大节

题型：

1、单项选择题

2、判断对错，并说明理由

3、简答题

4、推导题

5、计算题

6、分析说明题

复习重点：

（一）推导题复习：1、最小二乘法的推导过程：

（1）最小二乘法（OLS）的基本思想：

①估计总体回归函数的最优方法是，选择01,ββ的估计量01,ββ∧

∧

，使得到的残差ie尽可能小②最小二乘法的基本思路是：选择参数01,ββ∧

∧

，使得全部观测值的残差平方和（Residualsumofsquares，RSS）最小③残差和最小的数学表达：

2

2

201min()()iiiiieYYYXββ∧∧∧

=-=--∑∑∑（1）

（2）最小二乘法的推导过程：

根据最小二乘法原则，确定01,ββ∧

∧

的准则是使残差的平方和最小。那么由微分学的数值原理可使（1）式对0β∧

和1β∧

的一阶偏导数为零。于是有：

2

010

20112()02()0iiii

iiieYXeYXXββββββ∧∧∧∧∧

∧??==???????==????∑∑∑∑

于是有：

01201(2)

(3)iiiiiiYnXXYXXββββ∧∧

∧∧

?

=+???=+?

∑∑∑∑∑其中，n为样本容量，这些联立方程称之为正规方程（normalequation），我们将normalequation进行变换：在（2）式“0

1iiYnXβ

β∧

∧

=+∑∑”左右同乘以iX∑

在（3）式“

20

1iii

iXYX

Xββ∧

∧

=+∑∑∑”左右同乘以n

我们就可以消掉“0

i

nX

β∧

∑”，再次联立，我们可以得到下式：

122

22

()()iiiiiiiiinXYXYnXYnXnYnXXnXnXβ∧

--?=

=

--∑∑∑∑∑∑

我们知道：

i

ii

iX

XnXXn

Y

YnYYn

=?==?=

∑∑∑∑

因此，由此我们得到以下式子：

1

2

2

2

2

()()()ii

i

i

ii

i

i

i

xyXXYYXYnXYxXXXnX

β∧

===--∑∑∑∑∑∑∑

10YXββ∧∧

=-

2、TSS=ESS+RSS的推导

证明：总离差（iYY-）分为两部分，即可以由模型解释的部分iYY∧

-与参差ie，由此我们得到以下数量关系：

()iiiYYYYe∧

-=-+

=()iiXXeαβαβ∧

∧

∧

∧

+--+=iixeβ∧

+所以，有以下关系式：

2

2

2

()()ii

iiYYy

xeβ∧

-==+∑∑∑

=

2

2

()2iiiixxeeββ∧

∧

++∑∑∑

这里我们证明

0ii

xe=∑

()ii

i

ixeX

Xe=-∑∑

00

iiiiXeXeXe=-=-=∑∑∑

接上，我们知道2

2

()

2i

iiixxeeββ∧

∧

++∑∑∑=2

2

()iixeβ∧

+∑∑=2

2()iiYYe∧

-+∑∑

我们定义：TSS=2

()

iYY-∑（总离差平方和）

ESS=2

2

()iiYYxβ∧

∧

-=∑∑（回归平方和）

RSS=

2

i

e

∑

所以，我们得到TSS=ESS+RSS（二）计算题复习：

我们只考虑两个变量（一元的各种计算）1、回归的计算（OLS）：（1）公式1：正规方程组

20221

22()()iiiiiiiiiiiiiXYXYXnXXnYXYXnXXββ∧∧?-=

?-?

?

-?=?-?

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（2）公式2：离差形式

1201ii

ixyxYX

βββ∧∧

∧?=???

?=-??∑∑

2、RSS、TSS、ESS以及拟合优度2

R的计算：（1）TSS=2()iYY-∑=

2

iy∑

（2）ESS=2

2

2

()iiYYxβ

∧

∧-=∑∑

（3）RSS=2i

e

∑=TSS-ESS

（4）2

1ESSRSSRTSSTSS-=

=2

2

212

()ii

xRyβ∧=∑∑

（2

R越大，2

R越接近1，SRF拟合得越好。）3、01,ββ∧∧

标准差的计算：

首先，我们指出随机干扰项的方差2

σ是未知的，因此我们用其无偏估计量2

σ∧来进行估计，

2

2

2

i

enσ

∧=

-∑

以下四个式子说明了，01,ββ∧

∧

的方差以及标准差：（1）1

2

2

2

iSxβσ

∧

∧=

∑

（2

）1

Sβ∧

∧

=

（3）0

2

22

2ii

XSnx

βσ

∧

∧=

∑∑（4

）0

Sβσ

∧

∧

=4、t检验的构造与计算、置信区间的计算以对0β∧

做显著性检验为例：t检验的构造：

∑∑-

=2

221i

i

yeR

00

tSβββ∧

∧

∧

-=

=

算出t值后，我们查表：

如果|t|>2

(2)tnα-，则在1α-的置信度下拒绝了0H，即通过了显著性检验

如果|t|P值，则在显著性水平α下拒绝原假设。如果α≤P值，则在显著性水平α下接受原假设。

在实践中，当α=P值时，也即统计量的值C刚好等于临界值，为慎重起见，可增加样本容量，重新进行抽样检验。

5、F检验的计算（见简答题复习重点）

（三）简答题复习：

Chapter0序言

1、计量经济学的基本步骤（1）陈列出经济模型或假设。

（2）构建计量经济学模型（由普通模型转换成为计量经济学模型）

例：消费函数CIαβ=+（02

(2)tnα-，则在1α-的置信度下拒绝了0H，即通过了显著性检验

如果|t|，拒绝0H，回归方程显著成立，这一推断的错误概率为α

②当FFα：多重共线性问题非常严重（6）方差膨胀因子（jVIF）：①方差膨胀因子jVIF的定义：

2

2

222

1()()1jjjjj

VarVIFxRxσσβ∧

=?=?-∑∑我们知道：jVIF=

2

1

1j

R-

②jVIF的经验判定：10jVIF≥则方程存在严重多重共线性③容许度jTOL的定义

211jjj

TOLRVIF=-=

4、多重共线性的补救方法（因为没有固定的办法，所以略写）※目的：预测→不纠正，理论分析→纠正（1）什么都不做（2）利用“先验”信息（3）变换模型形式（4）扩大样本容量（5）删除变量

注：可能会导致模型失去BLUE的特征

第二部分：异方差

1、异方差的含义：

在古典假设中，我们知道2()iVaruσ=，

而在放宽基本假设的条件下，2()()iiiVarufXσ==，这就是异方差2、异方差产生的原因与后果：（1）产生的原因：

①统计失误，以致略去某些变量②测量失误，数据收集技术的改进③特异变量（极大或极小）的出现④横截面数据

（一）设定偏误——解释变量的缺失，函数形式不正确例：

真实模型：01122iiiiYXXuβββ=+++

错误模型：011i

iiYXvββ=++

则

22iiivXuβ=+

()iVarv会随着2iX的变化而变化

（二）样本数据的观测误差

随着时间的推移()()

iiVaruVaru?↑

??↓??观测误差累积观测技术提高

（2）产生的后果：

①OLS回归，是无偏但不是有效的，失去了BLUE的特征，失去了最小的方差

22

2

1

22

2()()

i

iui

i

xVarxx

δσβ∧

?=

≠

∑∑∑

2

22022

11()()()iiui

iXXVarXnxnxβδσ∧

=-?≠-∑∑∑②很难构建t检验（显著性检验）和置信区间③

2

1

i

e

nk--∑不再是无偏估计量，故进一步导致01(),()VarVarββ∧∧

不再无偏

④预测精度下降，异方差导致OLS的估计量变大，失去了预测的精度

（一）参数估计量仍然是线性无偏的

（二）参数估计量不再具有最小方差性（OLS低估真实方差）（三）解释变量显著性检验失效

111

11??()()?tt?()

VarSetSeββββ?

?

?=??

低估真实方差

被低估

被低估

检验显著性检验被高估被夸大失效

3、异方差的诊断（重点是White检验）（1）残差的图形检验（2）Goldfeld-Quandt检验

（3）Park检验（4）Glejser检验（5）White检验：

①假定两个解释变量的线性回归模型：

01122iiiiYXXuβββ=+++（3）

②White检验的基本过程：

（A）用OLS进行回归，然后计算(1,2,3,...)iein=（B）做辅助回归：

222011223142512iieAAXAXAXAXAXXv=++++++

（C）求出辅助回归的2

R，计算2

R与样本容量的乘积：2

Rn?

注：在零假设，不存在异方差条件下，2

Rn?服从2χ分布，自由度为式子（3）中的解释变量的个数（不包括截距项）

2nR?～2χ(..)df

(1)H0:σ2=σ02vsH1:σ2≠σ02

用χα2(n-1)表示χ2(n-1)的上α分位数,则可以构造出假设(1)的水平α拒绝域

此时,在H0下有

（D）判定异方差：

a）若计算出2

nR?超过了所选显著水平下2

χ的临界值，则拒绝零假设，原线性回归模型存在异方差性

b）若计算出2nR?小于所选显著水平下2

χ的临界值，则接受零假设，原线性回归模型不存在异方差性

2

2

21

220

()(1)~(1)

n

i

niX

XnS

nξχσ

σ

=--=

=

-∑22

1W{(1)(1)}nnααξχξχ-=≤-≥-或2

2

22

1(){(1)}{(1)}2

2

PWPnPnααα

α

ξχξχα

-

=≤-+≥-=+

=

4、异方差的解决办法——加权平均最小二乘法（WLS）（1）扰动项方差2iσ已知的情况①将模型两端除以方差2iσ的平方差iσ

011

(

)(

)i

i

i

i

i

i

i

YXuββσσσσ=++

②我们将方程改写成：

01*****iiiYXvββ=++（4）

③我们可以保证*iv（*iv=

i

i

uσ）是同方差的，所以，当我们对式子（4）进行回归的时候，

我们又会得到一个BLUE的方程（2）扰动项方差2iσ未知的情况：①假设误差的方差与X成比例（A）表达式：22()iiiEukXσ==（B）回归方程如下：

β=+②假设误差的方差与2

X成比例（A）表达式：222()iiiEukXσ==（B）回归方程如下：

其它补救方法（略）

第三部分：自相关

1、自相关的含义

数学定义式：cov(,)0ijuu≠（ij≠）

i

iiiiXu

XXY++=10ββ

2、自相关的原因及后果：（1）原因：

①被解释变量的自相关②蛛网现象③统计误差

④数据的加工处理与传输（2）自相关的后果：

①OLS回归，是无偏但不是有效的，失去了BLUE的特征，失去了最小的方差②OLS的方差估计是有偏的，扰动项和回归参数的方差严重低估

③由于②的存在，T检验中的t值被严重高估，因此T检验和F检验不可靠④通常计算的2

R不能准备度量真实的2

R⑤预测的方差与标准差也可能是无效的

注：自相关与异方差一样，都使OLS估计量无偏但无效，失去了BLUE的特征；使所有的预测、检验与置信区间不可靠3、自相关的判断（1）图示检验法（2）游程检验（简）：①排列残差符号序列②查Swed-Eisenhart临界值表③判定自相关：

（A）如果是正自相关，那么游程值会很小（B）如果是正自相关，那么游程值会很大（3）Durbin—Watson检验（重点）①使用条件：

（A）变量X是非随机，在一定的重复的取样中出现（B）扰动项iu的产生机制是一阶自回归：

1tttuuρε-=+

（11ρ-≤≤）

（C）不适合解释变量的滞后模型（D）大样本，n充分大②DW-统计量的构造：

2

1

2

2

1

()n

t

ttn

t

tee

de

-==-=

∑∑

③d与ρ的关系：

()()

eeeeρ--=

当n足够大时，我们可以认为：22dρ∧

≈-④运行DW-检验：（A）提出以下假设零假设0H：0(2)dρ==被择假设1H：0(2)dρ≠≠（B）用OLS回归算出ie（C）计算：12

22

ttt

eede

-?=-∑∑

（D）根据,,nkα从DW-表上查出Ld和Ud（E）我们可以得出以下结论：?0Ldd≤，规模效益递增

2、半对数模型：（1）情况一：

01lnYXuββ=++

令：*lnXX=

模型转变为：01*YXuββ=++（2）情况二：

01lnYXuββ=++

令：*lnYY=

模型转变为：01*YXuββ=++（3）以情况二为例子，说明1β的含义：

1*lndY

dYdYYdXdXdX

β===

1YXβ=

的相对该变量

的绝对该变量

（半弹性）

3、倒数模型：011

+YuX

ββ=+令：1ZX

=

模型转变为：01++YZuββ=

意义：随着X的不断增长，Y逐渐趋近其极值0β*4、POLYNOMIALMODEL（多项式模型）

()()()01122011220112201122...1lnlnln...ln2ln...3lnln...iiikkiiiiikkiiiiikkiiiiikYXXXuYXXXuYXXXuYXXββββββββββββββββ-→=+++++→=+++++-→=+++++=++++狭义

对变量线性模型为线性双对数模型

线性计量模型广义线性到对参数经济线性模型对数模型为线性半对数模型模型对数到线性模型()ln4lnlnlnlnkiiiiiXuYmKLYmKLYmKLαβ

αβαβ????

??

??????????????????????????????+??????????

=?=++→????=++→???

双对数非线性模型非线性

TCcubicAC,andMC300,,3

12

223103

32210shapedUguarenteeXXXTC-<≤≥+++=βββββββββββ

()

()

111111111111111121

ln1lnii

iii

iiiii

i

iiiiiiii