2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第18讲-三角形-单元综合测试(含详解)

第18讲-三角形单元综合测试学习目标学习目标1.理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。、“互动探索V.如果等腰三角形两边的长分别为8和4,那么它的周长是..如果等腰三角形两边的长分别为8和5,那么它的周长是..在A4BC中，乙4=50。，ZB比NC大30。，则的度数是..如果三角形的一个角等于其他两角的差，这个三角形为（填形状）..如果等腰三角形中有一内角为70。，则它的底角是度。.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50。，那么它的底角是..等腰三角形的周长为20,那么它的腰长x的取值范围 ，那么它的底边长y的取值范围 ..己知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9和15两部分，则这个等腰三角形的底边长为..△48（7中，48=7,BC=4,BC边上的中线长为x,则x的取值范围是。.斜边等于10的等腰直角三角形的面积为。.如图，将长方形纸片ABCQ沿对折，重叠部分是△BE。，若AB=4、AO=6,则AABE的周长是。.如图，在AABC中，己知NBAC=60。，如果Z1=N2,N3=N4,那么ND4C=。GAGA轴对称型全等三角形把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，下图是常见的轴对称型全等三角形。例1.如图，在NBAC的两边截取例1.如图，在NBAC的两边截取48=AC,又截取AO=A£,连C£）、BE交于F。平移型全等三角形把△A8C沿着某一条直线Z1平行移动，所得△CEF与△ABC称为平移型全等三角形。有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。下图是常见的平移型全等三角形。例2.如图，在AABC和AOEF中，点8、E、C、尸在同一直线上，请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件，余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由.①AB=DE；®AC=DF；③NABC=NDEF；®BE=CF.旋转型全等三角形将△ABC绕顶点B旋转一个角度后，到达AOBE的位置，则称△ABC和△O8E为旋转型全等三角形。如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形（通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等）。

例3.如图，已知△ABC中，AB=AC,N4=90。，。是BC的中点，且。E_LO凡试说明OE=O尸的理由。中心对称型全等三角形把△ABC绕着一个点。旋转180。，得到那么这两个三角形称为中心对称型全等三角形，点O称为对称中心。中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例(6=180°)。如图所示是常见的中心对称型全等三角形，对称点连线都经过对称中心O,且被点O平分。例4.如图,AO、EF、BC相交于。点，且AO=0£>,80=OC,EO=FO。试说明：△AEB2△QFC。FF/达标PK一、单选题（2020•上海金山♦七年级期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（ ）A.1cm、2cm>3cm B.2cm、2cm、4cmC.10cm,2cm、8cm D.3cm、4cm、5cm（2021•上海嘉定・七年级期末）如图，已知AO平分ND4E,AO=AE,AB=AC,图中全等三角形有（ ）.A.1对 B.2对 C.3对 D.4对（2019・上海•七年级课时练习）如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）C②③A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①②去△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与aABC有一条公共边且全等的TOC\o"1-5"\h\z所有格点三角形的个数是（ ）.A.2 B.3 C.4 D.5（2021•上海市久隆模范中学七年级期末）如图，aAOB是△COD绕点。逆时针方向旋转60。后所得的图形，点C恰好在48上，ZAOD=\30°,则/D的度数是（ ）.A.40° B.50° C.60° D.70°（2021•上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（ ）A.三角形的三条高交于一点B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直（2021•上海•七年级期中）等腰三角形的周长为16,且边长为整数，则腰与底边分别为（）A.5,6 B.6.47,2 D.以上三种情况都有可能逆时针方向旋转90。后能与△C8F重合，那么ACEF是（A.A..等腰三角形C..直角三角形B.等边三角形.等腰直角三角形二、填空题（2021•上海普陀•七年级期末）如图，AB//CD,ZA=561ZC=27,那么NE=（2021•上海市市西初级中学七年级期末）如图，在aABC中，ZCBA=35°,把aABC绕着点8顺时针旋转到△ABC',连接CC',并且使CC'〃AB,那么旋转角的度数为1A'（2021・上海市向东中学七年级期末）如图，在ABOE中，ZE=90°,AB\\CD,NABE=22°,则NEOC=.

（2021・上海杨浦•七年级期末）如图，已知直线乙〃，2，等边三角形ABC的顶点A、C分别在直线4、4上，如果边与直线4的夹角4=26。，那么边BC与直线4的夹角N2= 度.（2021•上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知等边aABC中，点。为边8c上一点，延长AC至点E,使得CE=BD,联结ED并延长交边AB于点F,联结AD,若ZDAB=a,则NE的度数为（用含。的式子表示）.（2021•上海市徐汇中学七年级期末）如图，在△ABC中，已知点。、E分别在AB、AC上，BE与C。相交于点。，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明AB=AC的是.（填写序号）①BE=CD,ZEBC=NDCB；②OD=OE,ZABE=ZACD；®BE=CD,BD=CE；®OB=OC,BD=CE.A（2021♦上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，AB〃CD,ZA=30°,NC=50。,贝|JZE=度.4卜 BC D（2021•上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知aABC中，AC^BC,ZACB=100°,将aABC绕着点B逆时针旋转，使点C落在AB边上的点。处，点A落在点E处,那么ZAED的度数为度.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，加=700米.一个行人P在马路上行走，当尸到

A的距离与尸到B的距离之差最大时，这个差等于米.(2021•上海市徐汇中学七年级期末)在△ABC中，ZACB=90,ZABC=3O°, ABC绕点A顺时针旋转到△AOE,点C与点E对应，直线CE交边48于点尺旋转角为a(0°<a<180°),如果△8CF为等腰三角形，则&=.三、解答题(2021・上海徐汇•七年级期中)如图，△ABC中，/B4c=60。，平分NB4C,点E在AB上，EG//AD,EFVAD,垂足为F.(1)求N1和N2的度数.⑵联结OE,若S^ADE=S榜形EFDG,猜想线段EG的长和A尸的长有什么关系？说明理由.

（2021•上海普陀•七年级期末）如图，在等边三角形aABC的AC边上任取一点。，以BD为边作等边三角形aBDE,联结CE.（1）试说明A0=CE的理由，（2）如果。是AC的中点，那么线段BC与DE有怎样的位置关系？试说明理由（2021•上海普陀•七年级期末）如图，已知NABC=NACB,Z1=Z2,AD=AE,试说明NDBC=NECB的理由.解：因为= （已知），所以AC=A3（ ）.又因为N1=N2（已知）.所以N1+N =N2+N （等式性质）所以N£4C="AB在△?!£(?和中，AE=AD<ZEAC=NDAB,AC=AB所以AAEC=A4DB()(完成以下说理过程)(2021.上海市第二初级中学七年级期中)解答下列各题(1)如图1,已知直线机〃"，点A、8在直线“上，点C、P在直线小上，当点尸在直线加上移动时，总有与^ABC的面积相等.⑵解答下题.①如图2,在aABC中，己知BC=6,且8c边上的高为5,若过C作CE〃M，连接AE、BE,则的面积为.BC图2②如图3,A,B、E三点在同一直线上，BH1AC,垂足为”.若AC=4,8”=用,ZABC=ZACB=60°,ZG=ZGBF=60°,求aACF的面积.

图3(3)如图4,在四边形ABC。中，48与8不平行，AB^CD,且$△.<•<5力0，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单说明理由).23.(2021•上海嘉定•七年级期末)在等边三角形A8C的两边A8、AC所在直线上分别有两点用、N,尸为AABC外一点，且NMPN=6O,NBPC=120,BP=CP.探究：当点M、N分别在直线A3、AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关系.(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且=时，试说明MN=8M+CN.（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且时，MN=BM+CN还成立吗?答：（请在空格内填“一定成立”“不一定成立'’或"一定不成立”）.（3）如图③，当点M、N分别在边A8、C4的延长线上时，请直接写出BM,NC,MN之间的数量关系.（2021•上海市风华初级中学七年级期中）（1）如图1,在aABC中，已知NABC和ZAC8的角平分线8。、CE相交于点O,若NA=80。，求NBOC的度数，并说明理由.（2）如图2,在aABC中，NABC、N4cB的三等分线交于点Q、02,若NA=m。，则NBOg-NBOC。（用含有机的代数式表示，直接写出结果）.图2

(2021•上海市西南模范中学七年级期末)如图，已知：在四边形ABCC中，AB//CD,N8=NADC,点E是BC边上的一点，且AE=OC.(1)求证：AD//BC.(2)求证：^ABC^EAD.(3)如果AB_LAC,求证：NBAE=2ZACB.(2021•上海市徐汇中学七年级期末)如图1,AABC中，AB=AC,点。是AABC内一点，且OA=OB=OC.(1)试说明：ZBAC=2ZABO.(2)如图2,延长BO交边AC于点。，当△BCC满足BC=BO时:①求NBCC的大小.②将△ABO①求NBCC的大小.②将△ABO沿83翻折到△E8O,边BE交AC于点F,若AB=AC=5,CFtn,请用含m的代数式表示4。的长.（直接写出结果，不用写说明理由）备用图第18讲-三角形单元综合测试学习目标学习目标1.理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。动探索（以提问的形式回顾）动探索（以提问的形式回顾）.如果等腰三角形两边的长分别为8和4,那么它的周长是..如果等腰三角形两边的长分别为8和5,那么它的周长是..在44BC中，NA=50。，NB比NC大30。，则NB的度数是..如果三角形的一个角等于其他两角的差，这个三角形为（填形状）..如果等腰三角形中有一内角为70。，则它的底角是度。.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50。，那么它的底角是..等腰三角形的周长为20,那么它的腰长x的取值范围 .那么它的底边长y的取值范围 ..已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9和15两部分，则这个等腰三角形的底边长为..△ABC中，AB=7,BC=4,BC边上的中线长为x,则x的取值范围是。.斜边等于10的等腰直角三角形的面积为o.如图，将长方形纸片A8CQ沿80对折，重叠部分是△BED,若AB=4、AC=6,则△ABE的周长是。.如图，在AABC中，己知/84C=60。,如果N1=N2,N3=N4,那么NDAC=。GA参考答案：1、20； 2、21或18； 3GA参考答案：1、20； 2、21或18； 3、80°；4、直角三角形；5、70。或55。；6、70。或20。； 7、5<x<10,0<y<10：8、4； 9、5<x<9；10、25；12、20o11、10；精讲提升（采用教师引导，学生轮流回答的形式）轴对称型全等三角形把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，下图是常见的轴对称型全等三角形。例1.如图，在NBAC的两边截取A8=AC,又截取AO=AE,连CO、BE交于F。试说明：A尸平分NBAC。BB解析：联结8C,证明△A8Eg△ACO（SAS）,得到N8=NC由AB=AC得到N4BC=/ACB, ?ljZFBC=ZFCB,HPFC=FB所以AAB尸丝/XAC尸（SAS）所以NCAF=NBA/平移型全等三角形把△A8C沿着某一条直线L平行移动，所得AOEF与AA8C称为平移型全等三角形。有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。下图是常见的平移型全等三角形。例2.如图，在AABC和△£）《/中，点8、E、C、F在同一直线上，请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件，余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由.①AB=DE；®AC=DF；③NABC=NDEF；④BE=CF.解析：①、②、④作为条件，③作为结论。证明：略旋转型全等三角形将△ABC绕顶点8旋转一个角度后，到达△OBE的位置，则称△ABC和△O8E为旋转型全等三角形。如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形（通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等）。

例3.如图，已知△ABC中，AB=AC,N4=90。，。是BC的中点，且。E_LO凡试说明OE=O尸的理由。解析：联结AC,证明△ACEgZ\C£＞尸（ASA）中心对称型全等三角形把AABC绕着一个点。旋转180。，得到△£）£：产,那么这两个三角形称为中心对称型全等三角形，点。称为对称中心。中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例（。=180°）。如图所示是常见的中心对称型全等三角形,对称点连线都经过对称中心O,且被点O平分。例4.如图,4力、£尸、8。相交于。点，且/1。=0£）,8。=。。,£。=尸。。试说明：44£：8丝/\0/仁解析：证明aAOE且△DOF（S4S）,得到AE=CF,同理证明A8OE丝△CO/（SAS）,得到BE=CF,AAOBgADOC(SAS),得至UA8=C£>,所以△AE8也△/)尸C(SSS)一、单选题（2020•上海金山♦七年级期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（ ）A.1cm、2cm>3cm B.2cm、2cm、4cmC.10cm,2cm、8cm D.3cm、4cm、5cm【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和等腰三角形的定义进行判断即可【详解】解：A、1+2=3,不能组成三角形：B、2+2=4,不能组成三角形;C、2+8=10,不能组成三角形；D,4-3<5<4+3,这三条线段够组成三角形；故选：D.【点睛】此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数.（2021•上海嘉定♦七年级期末）如图，已知AO平分ND4E,AD^AE,AB=AC,图中全等三角形有（ ）.D'E

D'E1对2对1对2对3对4对【答案】D【解析】【分析】根据题日中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决.【详解】解：•,.Z1=Z2,AD=AE在和aAOE中，彳Z1=Z2,AO=AO：.(SAS),：.ND=ZE,OD=OE；AC=AB在aAOC和 中，＜Z1=Z2,AO=AO^AOC^/XAOB(SAS)；ND=ZE在AC。。和中，＜DO=EO,ZDOC=ZEOB.".△C8丝△BOE(ASA)；AD=AE在ADAS和a£AC中，＜NDAB=NEAC,AB=AC.•.△048刍△E4C(SAS)；由上可得，图中全等三角形有4对，故选：D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答.（2019・上海•七年级课时练习）如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）,4d① BA.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①②去【答案】C【解析】【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解.【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.应带③去.故选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定方法，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法.（2021.上海杨浦.七年级期末）如图，在5*5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与“1BC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】以8c为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与AA8C全等.【详解】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示以BC为公共边的三角形有8个，分别是△BCD,aBCE,4BCF以AB为公共边的三角形有0个以AC为公共边的三角形有1个，为aACG共3+0+1=4个故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键.解题时考虑要全面，不要漏解.（2021.上海市久隆模范中学七年级期末）如图，aAOB是△COD绕点。逆时针方向旋转60。后所得的图形，点C恰好在A8上，NAOD=130。，则ND的度数是（ ）.A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】B【解析】【分析】先根据旋转的性质可得40。=60。,乙4=/08,。4=0。，再根据等边三角形的判定与性质可得NA=6O,从而可得NOC£>=60。，然后根据角的和差可得NC8=70°,最后根据三角形的内角和定理即可得.【详解】解：由旋转的性质得：ZAOC=60°,ZA=ZOCD,OA=OC,；.aAOC是等边三角形，.•.ZA=60°,.-.ZOCD=60°,vZ4OD=130o,Z.COD=ZAOD-ZAOC=70°,.-.Z£）=l80°-ZCOD-NOCD=180°—70°-60°=50°,故选:B.【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练学握旋转的性质是解题关键.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（ ）A.三角形的三条高交于一点B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直【答案】D【解析】【分析】分别对每个选项进行分析，即可解题.【详解】A选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故A错误；B选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故B错误；C选项：两条平行直线被第三条直线所截，所得的内错角相等，所以本选项不符合题意，故C错误；D选项：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂宜，本选项符合题意，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了三角形的高线所在宜线交于一点，对顶角的定义，平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键.(2021・上海•七年级期中)等腰三角形的周长为16,且边长为整数，则腰与底边分别为()A.5,6 B.6,4C.7,2 D.以上三种情况都有可能【答案】D【解析】【分析】设腰长为x,则底边为16-2x,根据三角形三边关系可得到腰长可取的值，从而求得底边的长.【详解】

解：设腰长为X,则底边为16-2》，•.•16-2x-x<x<16-2x+x,.,.4<x<8.••,三边长均为整数，\x可取的值为：5或6或7,..当腰长为5嗡底边为6；当腰长为6时，底边为4,当腰长为7时，底边为2；综上所述，以上三种情况都有可能.故选：D.【点睛】此题主要考吉等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用.此题是借用不等式来求等腰三角形的底边的长度.8.（2021•上海民办浦东交中初级中学七年级期末）如图，ABCC是正方形，4CDE绕点C逆时针方向旋转90。后能与△CBF重合，那么△CE/是（ ）DE4 BFA..等腰三角形 B.等边三角形C..直角三角形 D..等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质推出相等的边CE=CF,旋转角推出NECF=90。，即可得到ACEF为等腰直角三角形.【详解】解：:△COE绕点C逆时针方向旋转90。后能与△C8尸重合，AZECF=90°,CE=CF,...△CEF是等腰直角三角形，故选：D.【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键.二、填空题（2021•上海普陀•七年级期末）如图，AB//CD,4=56。，NC=27,那么NE=【答案】29【解析】【分析】由平行线的性质可得"EE=NA，/〃尸石是43"的外角，根据外角的性质即可得到答案.【详解】解：VAB//CD,ZDFE=ZA=56,,/ZC=27.NE=Z.DFE-ZA=56,一27°=29'.故答案为：29【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，准确把握各个角之间的关系是解题的关键.（2021♦上海市市西初级中学七年级期末）如图，在aABC中，ZCBA=35°,把aABC绕着点8顺时针旋转到△ABC',连接CC',并且使CC'〃A8,那么旋转角的度数为°.A'【答案】110【解析】【分析】根据旋转的性质得旋转角等于NC8C,8c=8。，接着根据平行线的性质得/8CC=NCBA=35°,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出NC8C的度数，即旋转角的度数.【详解】由旋转可知：aABC=aA'BC,且NCBC'为旋转角，，BC=BC'.：.NBCC=4BCC.•.△BCC为等腰三角形'SB,ZCBA=35°,：.Z.BCC=Z.BCC=35°..,.在aBCC'中，ZCBC,=180o-35°x2=110°即旋转角的度数为110°.故答案为：110【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.解决本题的关健是画出几何图形和判断△BCC为等腰三角形.（2021•上海市向东中学七年级期末）如图，在ABOE中，ZE=90°,AB\\CD,NABE=22°,则NEOC=.【答案】68。##68度【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得NE8£>+NEZ）8=90。，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解.【详解】解：VZ£=90°,Z£BD+Z£DB=90°,■:AB//CD,：.ZABD+ZCDB=\SO0,：.ZEDC=180°-(ZEBD+NEDB)-ZABE=\80o-90°-22o=68°故答案为：68°.【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.（2021•上海杨浦•七年级期末）如图，已知直线4〃4,等边三角形ABC的顶点4C分别在直线4、4上，如果边A8与直线4的夹角4=26。，那么边8c与直线4的夹角N2=【答案】34【解析】【分析】根据平行线的性质与等边三角形的性质可得N1+ABAC+ZBC4+N2=180。，继而可得Zl+Z2=60°,即可求得N2【详解】解：•.•△ABC是等边三角形，.•.ZBAC=ZBC4=60°.•.♦直线"4，Zl+NBAC+ZBC4+Z2=180°,Zl+Z2=180o-60°-60°=60o.vZl=26o,.•.Z2=60o-26°=34°,故答案为：34.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识：熟练掌握等边三角形的性质和平行线的性质，证出Nl+N2=60。是解题的关键.（2021•上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知等边aABC中，点D为边BC上一点,延长AC至点E,使得CE=BD,联结ED并延长交边AB于点F,联结A。,若ZDAB=a,则NE的度数为（用含a的式子表示）.【答案】600-a【解析】【分析】根据为等边三角形，得至I]A8=8C,NC4B=NB=NACB=60。，过点作£>N〃AC,则N£WB=NC4B=60。，则△DA®为等边三角形，可证AN=C£>,再证△力CE四△加£>,根据全等三角形的性质即可求解.【详解】解：过点作DN〃AC,工A NF•.•△ABC为等边三角形，：.AB=BC,ZCAB=ZB=ZACB=60°,'：DN//BC,：.ZDA®=ZC4B=60°,...△DVB为等边三角形，:.DN=BD=BN,ZDNB=60°,ZA7VD=ZZX;E=180o-60o=120°,:.BC-BD=AB-BN,即AN=CO,DC=AN在aDCE和ZWVD中，＜ZDCE=ZANDCE=ND：.ADCE/AANDlSAS）,：.NE=ZADN,'：^DAB=a,：.NE=ZADN=60。一a.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质.本题的关键是做出辅助线构造等边三角形.（2021•上海市徐汇中学七年级期末）如图，在AABC中，已知点。、E分别在A3、AC上，BE与CO相交于点O,依据下列各个选项中所列举的条件，能说明A8=AC的是.（填写序号）®BE=CD,NEBC=NDCB；@OD=OE,ZABE=ZACD；③BE=CD,BD=CE；@OB=OC,BD=CE.【答案】①②③【解析】【分析】只要能确定AB、4c所在的两个三角形全等即可得出AB=AC,结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】①当BE=CD,NEBC=N£)C8时，结合NA=NA,在△48E和△AC。中，利用“AAS'uJ'证明△ABE/ZVICD,则有AB=AC,故①能得到A8=AC；②当OD=OE,ZABE=ZACD,结合NBOD=NCOE,在△BOD和△COE中，利用“AAS”可证明八BOD94COE,:.OB=OC,：.NOBC=NOCB,ZABC=ZACB,：.AB=AC,故②能得到AB=AC：③当8E=C£>,BD=CE时,结合BC=CB,可证明ABCD"4CBE,可得ZABC=ZACB.可得AB=AC,故③能得到AB=AC；@OB=OC,8£）=CE时，根据已知条件无法求得AB=AC，故④不能得到/W=AC,所以能得到AB=AC的有①②③.故答案为：（D@③.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA.AASfllHL.（2021•上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，AB〃C£）,NA=30°,ZC=50°,则NE=度.【答案】20【解析】【分析】[11AB〃CD得到NEFB=ZC=50°,再利用三角形的外角定理可以求出NE.【详解】■:AB//CD,：.ZC=ZEFB,VZC=50°,:.NEFB=50°,又；NEF8=NA+NE,而NA=30。，AZE=ZEFB—ZA=50°-30°=20°,故答案为：20.【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到/E=NEF8-/A是解题关键.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

（2021•上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知aABC中，4C=BC,Z4CB=100°,将△ABC绕着点、B逆时针旋转，使点C落在AB边上的点。处，点A落在点E处，那么ZAED的度数为度.【答案】30【解析】【分析】由旋转的性质得到，力BE=NCBA,AB=EB, =再利用等腰三角形的性质,求得NCSA与〃8£的度数，再利用等腰三角形的性质求得加£的度数，进一步得到44EO的度数.【详解】解：；aBED由ABAC绕点、8旋转而得，NDBE=NCBA,AB=EB,ZCAB=NDEB,丁NACB=100°,AC=BC,：.^CAB=^CBA,.•.加=火卫”180°-100°2.•.加=火卫”180°-100°2=40°NDBE=/CBA=40°,:・AB=EB,ZBAE=ZBEA=ZBAE=ZBEA=180。一/。3£：2180。一40。2=70°ZAED=ZAEB-ADEB=70°-40°=30°.故答案为：30.【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）如图，加油站A和商店B在马路MN的同--侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=700米.一个行人P在马路MV上行走，当户到A的距离与尸到B的距离之差最大时，这个差等于米.\I、I '、/M P N【答案】700【解析】【分析】当A、B、P构成三角形时，A尸与5P的差小于第三边A8，所以A、8、尸在同一直线上时，APLjB尸的差最大，算出这个最大值即可.【详解】当A、8、P三点不在同•直线上时，此时三点构成三角形.,两边A尸与8P的差小于第三边AB.;.A、B、尸在同一直线上，P到A的距离与P到8的距离之差最大，,此时，PA-PB=AB当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于700米故答案为：700.【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题.解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大.（2021•上海市徐汇中学七年级期末）在△ABC中，ZACB=90,NABC=30。，WaABC绕点A顺时针旋转到△AOE,点C与点E对应，直线CE交边AB于点F,旋转角为a（0°<a<180°）,如果△8CF为等腰三角形，则。=.

【答案】60°或150°##150°或60°【解析】【分析】由题意知a(0°<a<180。)，△8C尸为等腰三角形时，分两种情况求解：®CF=BF,如图1,此时E、尸重合，为线段AB的中点，计算求解即可；②CB=BF,如图2,根据等边对等角,三角形的内角和定理求解即可.【详解】解：由题意知a(0°<a<180。)，△8CF为等腰三角形时，分两种情况求解：①CF=BF,如图I,此时E、尸重合，为线段A8的中点，图1：.a=ZBAC=60°@CB=BF,如图2,,/ZB=30°，ABCF=ZBFC，ABCF=ZBFC=1800-30°2=75°,:AC=AE：.NE=ZACE=90°-NBCF=15°Z.CAE=180o-Zf-ZACE=150°故答案为:60。或150°.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.解题的关键在于分情况求解.三、解答题(2021・上海徐汇•七年级期中)如图，△ABC中，/BAC=60。，AO平分NBAC,点E在AB上，EG//AD,EFLAD,垂足为尸.(1)求/I和N2的度数.⑵联结OE,若SaADE=S梯彩EFDG,猜想线段EG的长和A尸的长有什么关系？说明理由.【答案】(1)30°：60°(2)相等，理由见解析【解析】【分析】(I)利用角平分线的定义求得Naw，然后在直角三角形中利用两锐角无余即可求得N2,再利用平行线的性质即可求得N1的度数.⑵根据5MDE=5偌彩EFDG可得AD=£>/+EG,结合图形即可求解.VZBAC=60°,AD平分N&4C,NBAD=-ZBAC=30°,2又：EFLAD,：.Z2=90°-ZBA£>=60°,"."EG//AD,Z1=ZBAD=30°.相等.理由如下：VEFlAD,，Saade=]A。。EF,S施#；efdg=5(O£+EG)■EF*«*SaADE=S.形efdg:.LAD.EF=g(DE+EG)・EF工AD=DF+EG,\uAD=AF+DFt：.DF+EG=AF+DFfB|JAF=EG.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键.20.(2021•上海普陀•七年级期末)如图，在等边三角形aABC的AC边上任取一点O,以BD为边作等边三角形aBDE,联结CE.(1)试说明A0=CE的理由，(2)如果。是AC的中点，那么线段BC与DE有怎样的位置关系？试说明理由【答案】(1)证明见解析：(2)BC±DB,证明见解析.【解析】【分析】(1)根据aABC，是等边三角形的性质，证明出AABZ泾ACBE即可.(2)运用等边三角形的性质求解即可.解：•「△ABC, 都是等边三角形，AAB=BC,BD=BE,ZABC=NDBE=6O：.ZABD=/CBE在△ABO和△C5E中，AB=BCZABD=NCBE,BD=BE：.^ABDwACBE：.AD=CE解：VaABC,△皮花都是等边三角形，AB=BC,ZABC=ZDBE=60:点。是边AC的中点:.ZABD=Z.CBD=30,:NDBE=g:.NCBE=NDBE-NDBC=30°，NCBE=NCBD=30:QBE是等边三角形,：.BCLDE【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质与全等三角形的判定.（2021•上海普陀•七年级期末）如图，已知NABC=NACB,Z1=Z2,AD=AE,试说明NDBC=NECB的理由.解：因为= （已知），所以AC=AB（ ）.又因为N1=N2（已知）.所以N1+N =N2+N （等式性质）所以NE4c=在△AEC和中，AE=ADZEAC=NDAB,AC=AB所以AAEC三A4Z出（）（完成以下说理过程）【答案】等角对等边；BAGBAC；SAS【解析】【分析】根据等角对等边可证明AH=AC,根据SAS可证明AAECSMDB.【详解】解：因为/ABC=NAC8（已知），所以AC=A8（等角对等边）又因为N1=N2（已知）所以N1+NBAC=N2+NBAC（等式性质）所以NE4C=ND4B在AAEC和"DB中，AE=ADZ.EAC=NDAB,AC=AB所以^AECs^ADB（SAS）故答案为：等角对等边：BAC,BAC,SAS【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）解答下列各题（1）如图1,已知直线m〃〃，点A、3在直线”上，点C、尸在直线加上，当点P在直线加上移动时，总有与aABC的面积相等.图I（2）解答下题.①如图2,在aABC中，已知BC=6,且8c边上的高为5,若过C作CE〃AB,连接AE、BE,则a54E的面积为.BC图2②如图3,A、B、E三点在同一直线上，BH±AC,垂足为H.若AC=4,BH=后，ZABC=ZACB=60°,NG=NGBF=f)OP,求aACF的面积.图3(3)如图4,在四边形ABC£＞中，A8与8不平行，AB^CD,且打入此＜ ，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单说明理由).(2)①15；②2历(3)图见解析，理由见解析【解析】【分析】(1)根据M/〃，可得aABC和zMSP同底等高，即可求解；(2)①先求出50此=15,再由CE〃AS,可得△ABC和△8AE是同底等高的两个三角形,即可求解：②先求出Smbc=2历，再由NABC=NACB=60°,NG=NG3尸=60°,"J'得4C〃8尸，从而得到5.3=5"火，即可求解；(3)过点B作BE〃AC交DC延长线于点E,连接AE,取DE的中点F，作直线A尸，则直线AF即为所求，可得=Smec，从而得到§四边形148m=SS3+= +§AA£C=SA4m,即可求解.解：*.*mJIn,・•・AWC和"8月同底等高，则△回€?与Zi/WP的面积相等；解：@VBC=6,且AC边上的高为5,**•^mbc=_X6x5=15,・・•CE//AB.•••△48。和48AE是同底等高的两个三角形，1明E=^aabc=5②・・"HJ_AC,AC=4,BH=庄，/.S^BC=gX4Xy[2\—2V2T,VZAfiC=ZACB=60°,ZG=ZGfiF=60°,ZABC=ZACB=ZBAC=60°,ZG=ZGBF=ZBFG=60°,；・NEBG=12U。,•INEBF=60。,：・/EBF=/BAC,C.AC//BF,S.cF=^MBC=2^21：(3)解：如图，过点8作3E〃AC交。。延长线于点£连接AE,取。£的中点尸，作直线4F,则直线AF即为所求，理由如下：

BE//AC,...△A8C和A4EC的公共边4c上的高也相等,S^bc~Smec>S四边形ABC。=S.MCO+^MBC=^MCD+^MEC~^,MED，S四边形S四边形ABCF=^MDF=5^MED5S四边形AB。>>•^&ACD>^MBC>...所以面积等分线必与CC相交，取CE中点F,则宜线4F即为要求作的四边形ABCC的面积等分线.【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键.23.(2021•上海嘉定•七年级期末)在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,P为AA8C外一点，且NMPN=60,ZBPC=120.BP=CP.探究；当点M、N分别在直线A8、AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关系.图① 图② 图③(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM=PN时，试说明MN=BM+CN.(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PMxPN时，MN=BM+CN还成立吗?答：(请在空格内填“一定成立''”不一定成立''或"一定不成立(3)如图③，当点M、N分别在边A8、C4的延长线上时，请直接写出BM,NC,MN之间的数量关系.【答案】(1)见解析(2)一定成立⑶MN=CN-BM,理由见解析【解析】【分析】(1)由PM=PN,NMPN=6Q°,可证得△MPN是等边三角形，又由△A8C是等边三角形，CP=BP,易证得RtABPM四RtACPN,然后由直角三角形的性质，即可求得8M、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN；(2)在CN的延长线上截取C4=BM,连接P4.可证即可得PM=P”，易证得NCPN=/MPN=60。，则可证得△MPNg△”尸M然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立.(3)在AC上截取CK=BM,连接PK，分别证明AP8M<APCK和即可得到结论(1)*；PM=PN,NM/W=60°,...△MPN是等边三角形，•.•△ABC是等边三角形，NA=/A8C=NACB=60。，,:BP=CP,ZBPC=120°,/.ZPBC=ZPCB=-(180°-NBPC)=-(18O°-12O°)=30°,2 2ZA/BP=Z7VCP=60°+30o=90°,:PM=PN,BP=CP,:.R3BPM沿Rt4CPN(HL),：.ZBPM=ZCPN=-(120°-60°)=30°,BM=CN,2：.PM=2BM,PN=2CN,：.MN=2BM=2CN=BM+CN；延长AC到〃，使CH=BM,连接PH，由(1)知NPBM=/PCN=90,•.Z.PCH=180-NPCN=90,.・.Z.PMM=ZPCH,在APBM和APC”中，PB=PC/PBM=NPCE,BM=CH•."BM学"CH(SAS),PM=PH,ABPM=NCPH、・・/BPM+4NPC=/BPC-/MPN=120-60=60,/.Z.CPH+4NPC=4HPN=60，：.4HPN=/MPN,在AA〃W和AWPN中，PM=PHNMPN=乙HPN,PN=PNAMPN名MPN(SAS),\MN=HN、；HN=CH+CN=BM+CN、:.MN=BM+CN.故答案为：一定成立.(3)MN=CN-BM在AC上截取CK=3M,连接PK,P任"BM和"CK中,PB=PCZPBM=NPCK=90°,BM=CK•.APBM/APCK(SAS),;.PM=PK,/BPM=KPK,・•NBPM+NBPN=/MPN=60，：,/CPK+/BPN=”•:"NPK=/BPC-(NCPK+/BPN)=120-60=60。，,\ZNPK=ZNPM,在A/VPK和&VPM中，PN=PNZNPK=NNPM,PK=PM：.gIPK学glPMeAS),：.KN=MN,；KN=CN-CK=CN-BM,:.MN=CN-BM.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质等知识.解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.24.(2021・上海市风华初级中学七年级期中)(1)如图1,在△ABC中，已知NAHC和ZAC8的角平分线8。、CE相交于点O,若NA=80。，求N8OC的度数，并说明理由.

A（2）如图2,在aABC中，NABC、ZAC5的三等分线交于点Q、02,若/A=m。，则A。（用含有机的代数式表示，直接写出结果）.ZBO2C-ZBOiZBO2C-ZBOiC=【解析】（1）先根据二角形内角利定理算出NABC+NAC9=100。，根据角平分线的定义得出NCBO+ZBCO=50°,根据三角形内角和定理算出NBOC的度数即可;（2）先根据NA=/n。，结合三角形内角和定理，用"?表示出N80C和/B^C,算出402c-zsqC=；(180-。即可.【详解】(1)\,在aA3c中，ZA=80°,ZABC+ZACB=100°,平分448C,CE平分ZACB,NCBO+NBCO=:(ZABC+N4c8)=50。,在ROC中，ZBOC=180。—ZCBO-ZBCO=180°-50°=130°.(2)在aABC中，VZA=m0,/.ZABC+ZACB=(\80-m)°,,:BO、,BO,为NABC的三等分线，CO,,CO,为N4cB的