课件汇总附案例-8.0模型求解

1.8

模型求解求解数学模型实际问题分析建立数学模型求解纯数学问题求解数学模型

(1)针对不同学科领域内的各类实际问题，基于不同的建模目的,应用不同的数学工具，建立不同的数学模型，求解方法和手段各异.

续例1.6.5战斗模型

两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？

2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？

3.

计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？已建立描述双方作战士兵数满足的微分方程组

其中x(t)—t

时刻X方存活的士兵数；

y(t)—t

时刻Y方存活的士兵数；

在验证方程的解存在并唯一的条件下可能的求解思路:(1)求出方程的解析解;(2)求出方程的数值解;(3)对微分方程进行定性分析;事实上此微分方程的解存在并唯一,但其解x=x(t),y=y(t)无法用解析式表达.相对以上建模目的,对该方程进行定性分析可以完美地解决问题.

例1.8.1稳定的椅子将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地？假设

*1地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地面可用一个连续二元函数z=z(x,y)表示）(2)求解数学模型往往需借助背景知识.

*2相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长.*3将与地面的接触看成几何上的点接触.

建模

绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点水平旋转，转动角度记为θ.oABCDoABCDθ引进函数变量：f(θ)—A、C

两腿到地面的距离之和；g(θ)—B、D

两腿到地面的距离之和；由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数，

由假设*2知方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时着地，故有f(θ)g(θ)=0，θ∈[0，2π]

不妨设

f(0)=0、g(0)＞0

，方桌问题归结为数学问题：

已知

f(θ)和

g(θ)都是连续函数；f(0)=0、g(0)＞0，且对任意θ，都有

f(θ)g(θ)=0，

求证：存在θ0，使得f(θ0)=g(θ0).

分析：当θ=π/2时，即AC

和BD互换位置,

oABCDoDABCf(π/2)＞0，g(π/2)=0令

h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有h(0)＜0，h(π/2)＞0，由原条件

f(0)=0、g(0)＞0可知

因h(θ)在[0,π/2]上连续，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在θ0∈[0,π/2]，使f(θ0)=g(θ0)h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0

因对任意θ有,f(θ)g(θ)=0

f(θ0)g(θ0)=0

f(θ0)=g(θ0)=0

结论

对于四条腿等长，四脚呈正方形的桌子，在光滑地面上做原地旋转，在不大于π/2的角度内，必能放平.思考：任意矩形的桌子会怎样？模型求解需要一定的技巧

例子中的建模及求解技巧：

1.用一元变量表示位置；2.用θ的函数表示距离；3.利用问题的背景条件来求解.建立坐标一、近似求解

1.减少模型中变量个数

初建立的模型往往包含许多变量，一些变量对最终结果的影响会大于其他变量的影响；减少模型中变量个数，简化模型，便于求解

比较变量的数量级，估计变量在模型中的作用与地位.

例1.8.2为研究十八世纪美国的人口增长情况，建立如下模型分析：当时美国人口数量以百万为单位，即有N(t)～O(107)

用记号

x～O(10)表示“数量x的数量级是10”或“x的值在10的附近”从而N/NM～O(10－2)，原模型可以简化为

其解为

著名的Malthus模型

最大容许量NM的数量单位以亿计，即NM～O（109）

2.利用泰勒展式近似求解

假定零件参数Xi，i=1，2，…，7是相互独立的同服从正态分布的随机变量，则函数

续例1.6.2零件的参数设计服从什么分布？

将函数y

在标定值（μ1，μ2，…，μ7）做泰勒展开,得到y的一阶近似表达式：

Y

近似表示为相互独立正态随机变量的线性组合，故可认为Y近似服从正态分布.例1.8.4广义生日问题(p159)

若一个班中至少有两个人的生日相同的概率超过

p(0<p<1，p+q=1)

，问该班级至少有多少人？

建模假设班中有n

个人，至少有两人的生日相同的概率为求最小的整数n，更一般的提法是求最小的整数n，

对于给定的

x,f(n)是单调下降函数(序列),解法一可采用求根方法—对分法、三分法、黄金分割法等q

当q=0.5时,对不同的x,可以算出n

的最小值n*，见表(P159表6.9)的前两列.解法二利用泰勒近似展开式

k=1，2，…，n.有令g(n)=q，解出

n2－n+2xlnq=0,方程的正根为当

q=0.5，则例1.8.5（合作对策）有三个位于一条河流同一侧的城镇，三城镇的污水必须经过处理才能排入河中.三方商议共建一座污水处理厂.城1城2城320公里38公里污水厂筹建处

问题：

（1）三个城镇怎样建厂可使总开支最少？（2）每一个城镇的费用各分摊多少？

分析：有五种方案可供选择

(1)

三城各建一个处理厂；(2)城1与城2合建一个厂,城3单独建一个；(3)城2与城3合建一个厂,城1单独建一个；(4)城1与城3合建一个厂,城2单独建一个；(5)三城合作建一个处理厂；

管道费用：Q—污水排放量；L—管道长度(公里).

三个城镇的污水排放量分别为Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒.对各个方案进行费用测算，得条件：建设污水处理厂的费用有公式：方案总投资

城1投资

城2投资

城3投资

（1）6200230016002300（2）5800？？2300（3）59502300？？（4）6230？1600？（5）5560？？？

方案(5)三个城市合作建厂总投资最少.

问题三个城市如何分摊费用？

从事某一项活动若能多方合作,往往可以获得更大的总收益(或受到更小的损失).合作中应该如何分配收益（或分摊损失）经商讨定下几条原则：1.

建厂费用按3个城市的污水量之比5:3:5分摊；2.城2到城3的管道费按5:3由城1和城2分摊；3.城1到城2的费用由城1自行解决.思考他们的原则是否有道理？城1市长的“可行性论证”:

1.

建厂总费用为730×(5+3+5)0.712=4530(万元),城1负担费用为4530×5/13≈1742(万元);2.城1至城2的管道费用为

6.6×50.51×20≈300(万元)；

3.城2至城3的管道费用为

6.6×（5+3）0.51×38≈724(万元)城1负担724×5/8=425.5(万元);城1总共负担：1742+300+425.5=2467(元).

市长的结论：不能接受这样的合作！！！n人合作对策

合作对策基本思想：采用公理化方法，从问题应当具有的基本属性出发，运用逻辑推理方法导出满足这些基本属性的解.设I={1,2,…,n},“i”代表第i个可能参加的合作者.城1单建仅需2300万元！

定义1I的每一个子集S,对应一个确定的实数V(S),V(S)满足：

称V(S)为I上的特征函数.

本例中特征函数V(S)的实际意义是若S中的人参加一种合作,这一合作的总获利数.

(1)V(S)≥0,对所有的I的子集S；(2)V(φ)=0；(3)V(S1∪S2)≥V(S1)+V(S2),对一切满足S1∩S2=φ的S1、S2成立.

如

将三个城市分别记为I={1,2,3},则{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3}都是I的子集,分别对应有城市1参加的各种合作方式.(因为(2300＋2300)－(6230－1600)=－30(万元))；用V(S)表示以单干为基准的S合作获利值,有V({1})=0；V({1,2})=(2300)－(5800－2300)=400(万元)；V({1,3})=0;V({1,2,3})=(2300)－5560=640(万元).

问题三城市合作能产生效益640万元,应如何分配？

不同的合作应有不同的分配,问题归结为寻求一个合理的分配原则.

定义2

定义合作V(S)（SI）的分配为

Ψ(V)=（ψ1(v),ψ2(v)，…，ψn(v)）其中ψi(v)表示第i个人在这种合作下分配到的获利,称Ψ(V)为合作对策.Shapley公理

公理1.合作获利者对每个人的分配与此人的标号无关；

公理2每人分配数的总和等于总获利数；

公理3若对所有包含i的子集S,有

V(S－{i})=V(S),则ψi(v)=0；

公理4若n个人同时进行两项互不影响的合作,则两项合作的分配也应互不影响.

Shapley定理满足公理1～4的Ψ(V)存在并且唯一，由下式给出：

其中Ti

是I中包含i的一切子集构成的集族,│S│表示集合S中的元素个数.注

(1)式中

V(S)－V(S－{i})━可看成第i人的贡献在总贡献中所

占的权重.━可视为第i

人在合作S中

所做的贡献；

000250V(S－{1})0670130W()[V(S)－V(S－{1})]12231/31/61/