计算机应用数学第五章-概率课件

第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件§1.1随机事件一．随机试验与随机事件二．事件的关系与运算三．事件运算满足的运算律1第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件一．随机试验与随机事件自然界中出现的现象，可分为两大类。一类为确定性现象，另一类为随机现象。所谓确定性现象，是指一定条件下必然发生的现象。例如：物体在重力作用下，必然下落。在标准大气压下，水加热到100度，必然沸腾。随机现象是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的现象。例如：投掷一枚硬币，可能是国徽朝上，也可能是字朝上。同一个射手打靶，可能中靶，也可能是脱靶。在中靶的前提下，所中的环数也不一定相同。诸如此类的现象统称为随机现象。2第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件一．随机试验与随机事件定义5.1.1：满足下列条件的试验称为随机试验。(1)试验可在相同的条件下重复是进行；(2)每次试验结果不止一个，这些结果验前就是已知的；(3)试验前不知道会出现什么具体结果。3第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件一．随机试验与随机事件在这个试验中，摸球可重复进行，每次试验的结果有4种，具体摸到哪种球，试验前并不清楚。这个试验就是典型的随机试验。随机试验简称为试验。每次试验的一个可能结果称为一个基本事件或一个样本点，记为。以全部样本点为例5.1.1：摸球模型：设袋中有10个球，每个球上大小，形状，重量都相同。这10个球上，每个球上标有一个数字。其中标数字1的有1个，标数字2的有2个，标数字3的有3个，标数字4的有4个。从中任取一球观察其标号，看后放回。4第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件一．随机试验与随机事件为元素构成的集合称为样本空间或基本事件空间，记为在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。随机事件又称为事件。一般用大写字母表示随机事件，譬如AB,C,…,或,等，也可以用语言描述再加花括号表示事件。如{出现反面}，{取到的产品为正品}。随机试验中必然会发生的事件称为必然事件，记为Ω；随机试验中必然不发生的事件称为不可能事件，记为Φ。习惯上这两种事件也称为随机事件。5第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件二．事件的关系与运算

考察试验E：向一个长方形的盒子Ω中,任意投掷小球，且小球必定落入Ω中。Ω中的每一个点对应一个基本事件。Ω对应必然事件，若小球落入区域A内，则称事件A发生。否则称事件A不发生。这个试验建立了事件与集合之间的联系，给出了事件的几何说明，如图5－16第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件定义5.1.2：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为AB或BA在试验E中，若区域A在区域B内，这就意味着，如果小球落入A中必然落入B中，即，若事件A发生必然导致事件B发生。(图5－2)因此，集合A是集合B的子集。显然，事件A与事件B相等当且仅当事件A包含事件B，且事件B包含事件A。即A=BAB且BA二．事件的关系与运算

7第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件二．事件的关系与运算

例5.1.2：掷骰子，B={出现偶数}，A={出现2，4点}则AB。定义5.1.3：事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的和事件。记为A+B或A∪B。在试验E中，如果小球至少落入区域A或区域B中的一个区域，表示事件A与事件B至少有一个发生。A＋B是由事件A与事件B所包含的所有基本事件构成的。区域A与B的并集A∪B对应A与B的和事件。图5－3。8第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件二．事件的关系与运算

和事件的概念可以推广：事件至少有一个发生的事件称为事件的和事件。记为或。定义5.1.4：事件A与事件B同时发生的事件称为A与B的积事件。记为A∩B,或AB。在试验E中，如果小球不仅落入区域A中，而且落入区域B中，即小球落入A，B的公共区域，表明事件同时发生。区域A与区域B的交集A∩B（图5－4的阴影部分）对应A与B的积事件。9第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件二．事件的关系与运算

积事件的概念也可以推广：事件同时发生的事件称为的积事件。记为或。定义5.1.5：A发生且事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差事件，记为A－B。在试验E中，如果小球落入区域A中，且不落入区域B中，则称事件A与B的差事件发生了。差集A-B（图5－5中的阴影部分）。与事件A与B的差事件相对应。10第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件二．事件的关系与运算

例5.1.3：掷一枚骰子，A={出现偶数}；B={出现小于5的数}；A-B={出现6},B-A={出现1,3}定义5.1.6：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=Φ,则称事件A与事件B为互斥事件(或互不相容事件)。对于n个事件，如果当i≠j时，总有,则称为两两互斥。在试验E中，如果区域A与区域B相分离（图5-6），即，区域A与区域B没有公共区域。这样小球不可能既落入11第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件二．事件的关系与运算

区域A中又落入区域B中，因此事件A与B不能同时发生。区域A与区域B的交集为空集，即A∩B=φ与事件A，B互斥相对应。事件A不发生，这个事件称为A的对立事件，记为。在试验E中，如果小球落在区域A外，就称A的对立事件发生了，A的对立事件与集合A的补集相对应（图5－7中的阴影部分）12第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件二．事件的关系与运算

定义5.1.7：如果A+B=Ω且AB＝Φ，则称事件A与事件B互为对立事件。由互斥事件与对立事件的定义可知，对立事件是互斥事件的特例，即若两个事件相互对立，必然互斥，反之不然。A,B互斥，则事件A，B在一次试验中不能同时发生。但可以同时不发生。例如，在试验E中，若A，B互斥，则小球不能既落入A区域又能落入B区域。但可以既不落入A区域又不落入B区域。若A与B相互对立，即，则在一次试验中A，B不能同时发生，也不能同时不发生。即在任何一次试验中，A与B都有且仅有一个发生。13第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件二．事件的关系与运算

例5.1.4：掷一枚骰子，设表示掷出的点为i，则,样本空间，i=1,2,3,4,5,6称为基本事件。设A={掷出的点为2点或3点，或4点}，B={掷出的点为奇数}，则A可记为，B则可记为事件A与B的和事件，，类似的，A与B的积事件即掷出的点恰为3点。A与B的差事件掷出的点为2或4，A的对立事件，表示掷出的点为1点或5点，或6点。14第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件三．事件运算满足的运算律1．交换律：；2．结合律：；3．分配律：；4．摩根律：；例5.1.5：设A，B，C，表示三个随机事件，以A，B，C的运算表示下述事件1）仅A发生。可用表示；2）A,B,C都不发生。可用表示；3）A，B，C恰好有一个发生。可用表示。15第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.1随机事件三．事件运算满足的运算律例5.1.6：某射手向同一目标射击，连发三枪。设表示第ⅰ枪击中目标，则样本空间有8个样本点：16第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率§1.2随机事件的概率一．概率的定义与性质二．古典概型：（古典概率模型）三．概率的性质17第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率一．概率的定义与性质随机试验在一次试验中是否发生是不确定的，但这仅是随机现象的一个方面，更重要的是随机现象具有规律性，可以通过大量重复的试验揭示这种规律性。在一定的条件下，设事件A在N次试验中发生k次,比值称为事件A在试验中发生的频率。定义5.1.8：在多次重复试验中，若事件A发生的频率在常数P附近摆动，且摆动的幅度随试验次数增加逐渐减小，则称此常数P为事件A发生的概率，记为P(A)。18第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率概率的这种定义称为概率的统计定义。事件A的概率，就是事件A发生可能性大小的度量。当重复试验次数增加时，如果事件A的频率围绕一个固定的数值p作微小的摆动，这个数值p称为事件A的概率。一．概率的定义与性质19第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率二．古典概型：（古典概率模型）概率是通过大量重复试验中频率的稳定性来定义的，但不能认为概率取决于试验，一个事件发生的概率完全由事件本身确定，是客观存在的，但可以通过试验解释其概率。有一类简单而又常见的实际问题，只要通过逻辑思维即可直接计算概率。这种概率问题是概率论最早研究的问题，称为古典概型。20第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率二．古典概型：（古典概率模型）定义5.1.9：具有下列两个特点的概率模型称为古典概型。1）随机试验出现有限个基本事件。2）每个基本事件发生的可能性相同，即每一个基本事件的概率相等，例5.1.1给出的摸球模型就是典型的古典概型事件。设古典概型的一个试验共有n个基本事件。事件A含有m个基本事件．因为在在每次试验中，每个基本事件发生的可能性是等同的，都是，因此事件A在一次试验中发生的概率为。即其中：k是A中包含的基本事件总数，N是基本事件总数。21第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率三．概率的性质1）0≦P(A)≦1,P(Φ)=0,P(Ω)=12）若P(AB)=Φ，则(A+B)=P(A)+P(B)推广，如果互斥，则3）4）如果（即A是B的真子集）则P(B-A)=P(B)-P(A)。5）如果A与B为任意两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)推广，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)22第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率三．概率的性质例5.1.7：从0，1，2，．．．，9这十个数字中，随机地抽取一个数字，求取到奇数的概率。解：令,ⅰ=0,1,2,．．．,9．,|Ω|=10A={取到的数字为奇数}|A|=523第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率三．概率的性质例5.1.8：箱中有100件产品，其中有3件次品。从中任意抽取5件，求下列事件的概率：1)A={恰有一件次品}2）B={没有次品}3）C={至少有一件次品}解：从100件产品中任意抽取5个产品，共有种抽取方法，即基本事件总数，１）A={有一件次品，4件正品}这一事件包含的基本事件可以这样计算：分两步进行。第一步，从3个次品中取出1个，有种取法。第二步，从97个正品中取出4件，共有种取法。24第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率三．概率的性质因此2）B={取到的都是正品}，即从97件正品中取出5件。所以，3）求P(C)有两种方法。法1：设表示取出的5件产品中恰有ⅰ件次品。ⅰ＝0,1,2,3,且互斥。中所含的基本事件总数25第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率三．概率的性质C中所含的基本事件总数法２：{至少有一件次品}的对立事件为{没有次品}。即事件C的对立事件是B.所以P(B)=1－P(B)=1-0.8560=0.144026第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.2随机事件的概率三．概率的性质例5.1.9：100件产品中有3件次品，从中连续取两次，每次1件，考虑两种情况1)不放回地抽取：第一次取一件，不放回，第二次再取一件。2)有放回地抽取：第一次取一件，检查后放回，第二次再取一件。在上述两种情况下，求第一次取正品且第二次取次品的概率。解：设第一种情况的事件为A,设第二种情况的事件为B。1）第一种情况的基本事件总数为事件A中所含的基本事件总数为：2）第二种情况的基本事件总数为事件B中所含的基本事件总数为：27第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性§1.3条件概率与事件的独立性一．条件概率与乘法公式二．全概公式与贝叶斯公式三．事件的独立性28第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性一．条件概率与乘法公式条件概率就是在附加一定条件下之下所计算的概率。附加条件一般是指某事件已发生。定义5.1.10：如果A，B是随机试验的两个事件，且P(B)>0。则称事件B发生的条件下事件A发生的概率为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，记为P(A|B)．求条件概率可以按照古典概型的概率来求。设样本空间中共有n个基本事件。A，B中分别包含k，s个基本事件，而AB包含m个基本事件数。注意到“在B发生的条件下A事件发生”与“A，B事件同时发生”这两个事件包含的基本事件是一样的，因此有：29第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性又∴因此可推出计算条件条件概率的公式：设P(B)>0则由条件概率公式可推出乘法公式：P(AB)=P(A|B)P(B)乘法公式可以推广：一．条件概率与乘法公式30第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性例5.1.10：盒子中有6个正品4个次品，从中不放回地任取两次，每次一个。若已知第一个是正品。求第二个也是正品的概率。一．条件概率与乘法公式解：法Ⅰ设

法Ⅱ：（直接求法）31第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性一．条件概率与乘法公式例5.1.11：有2个白球3个黑球，从中不放回地依次取出两个，求A={取出的两个球都是白球}的概率。解：法１：古典概率法法２：(用概率乘法公式)令={第ⅰ次取得的球为白球}ⅰ＝1，2，由乘法公式：32第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式利用概率的加法公式和乘法公式可以导出两个重要公式：全概公式和贝叶斯公式。定义5.1.11：若事件两两互斥，且在它们的和事件为必然事件。即，则称为完备事件组。完备事件组可以看作把样本空间做划分。完备事件组中的每个事件都至少含有一个样本点，两个不同的事件都是互斥事件；所有事件的和事件恰为（必然事件）。如果将样本空间看作集合，完备事件组中的事件都不是空集，且有时总有33第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式例5.1.12：掷一枚骰子,,是的一个划分。图5-8(1)也是的一个划分图5-8（2）34第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式定理5.1.1：（全概公式）若事件为完备事件组，且，则对任意一个事件B,有这个公式称为全概公式，全概公式可以这样理解：事件B的概率被分解为若干部分的概率之和。在较复杂的前提下，不易计算P(B)，但事件B往往伴随某些完备事件组发生而发生。适当地构造完备事件组，是准确使用全概公式的关键．35第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式例5.1.13：袋中有7个新球3个旧球共10个球。甲从中先取一球不放回，乙再从中取出一球。求：乙取得新球的概率。解：设A＝{甲取得的球为新球}，则={甲取得的球为旧球}；B={乙取得的球为新球}，A与构成完备事件租36第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式例5.1.14：一批元件中，有95％一等品，4％二等品，1％三等品。它们能工作5000小时的概率分别为90％，80％，70％。求任取一个元件，可工作5000小时上的概率。解：令。构成完备事件组。设A={取到的元件能工作5000小时以上}37第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式定理5.1.2：设为完备事件组。B为任意事件.则：证：由乘法公式得：P(B)=P(B)P(|B)=P()P(B|)从而再把全概公式代入上式，便有：38第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式例5.1.15：一个工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂产量的0．25，0．35，0．40，每个车间产品的一等品率分别为50％，40％，20％。从全厂产品中任取一件，求1)

产品为一等品的概率。2）若该产品确为一等品，求它由甲，乙，丙车间生产的概率分别为多少？解：设：＝{抽到的产品由甲车间生产}；＝{抽到的产品由乙车间生产}；＝{抽到的产品由丙车间生产}。，，构成完备事件组。A={抽到的产品为一等品}39第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式由已知：40第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式例5.1.16：电报信号由“．”和“—”组成。设发报台发“．”与“—”之比为3：2。由于干扰，发“．”时失真概率为0．2，发“—”时失真的概率为0．1。若收报台收到信号“．”，求发报台确实发出“．”的概率。解：设：B={发报台发“．”}，={发报台发“—”}，A={收报台收“．”}，B与构成完备事件组。由已知，P(B)=0．6,，P(A|B)=0.8,41第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式例5.1.17：在一个小盒子里面由10个兵乓球。其中7个新的，3个旧的，每次比赛从中取出两个，赛后放回，求1)第二次比赛取出的两个球都是新球的概率。2）如果第二次比赛取出的两个球都是新球，求第一次取出两个球都是旧球的概率。解：设={第一次取出的2个球中有i个新球。}，i=0,1,2显然，构成完备事件组。42第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性二．全概公式与贝叶斯公式设B={第二次取出的2个球都是新球。}43第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性三．事件的独立性定义5.１.12：若P(AP)=P(A)P(B),则称A与B相互独立。简称为A,B独立。显然，A，B相互独立的充要条件为A发生的概率等于B发生的条件下A发生的概率，也等于B不发生的条件下A发生的概率。即：A，B相互独立P(A)=P(A|B)=P(A|)P(B)=P(B|A)=P(B|)定理5.１.3：给定事件A与B，P(A)>0,P(B)>0，A，B相互独立当且仅当P(A)=P(A|B)，当且仅当P(B)=P(B|A))44第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性三．事件的独立性推论：如果A，B相互独立，则A与，与B,与都相互独立。由定理以及推论可知，若A,B相互独立，则１．P(AB)=P(A)P(B)（两个相互独立事件的积事件概率的求法）2．

P(A+B)=（两个相互独立事件的和事件概率的求法）45第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性三．事件的独立性例5.１.18：袋中有两个白球三个黑球。从中有放回地连取两次，每次取一个。求A={两次取出的球都是白球}的概率解：法1（古典概率解法）基本事件总数法2．设∵有放回地抽取，∴相互独立。∴P()=P()P()=0.4×0.4=0.1646第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性三．事件的独立性例5.1.19：某工人操作甲,乙两台没有联系的自动丰床，这两台车床在某段时间里停车的概率分别为0.15，0.2。求这段时间里至少有一台不停车的概率。解：设A={甲车床不停车}，B＝{乙车床不停车}。显然，A，B相互独立。由已知：P(A)=0.85，P(B)=0.8∴法1：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0.85+0.8－0.68=0.97法2：47第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性三．事件的独立性将相互独立事件的概念推广：设是n个事件，若和任意k个整数有：，则称相互独立，简称独立。由定义可知，n个事件的独立性要求：在这n个事件中，任取2个3个，…,k个，…,n个。都满足独立事件的概率乘法公式。两个以上相互独立事件概率的计算也可以由两个相互独立事件概率计算推广。设相互独立，则48第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性三．事件的独立性例5.1.20：三门高射炮对一敌机一齐各射一炮，它们命中的概率分别是0.1,0.2,0.3求1）敌机被击中的概率。2）敌机恰中一弹的概率。解：设＝{第i门炮击中敌机}，ⅰ＝1，2，3由已知，P()=0.1,P()=0.2,P()=0.31)设A={敌机被击中}，49第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性三．事件的独立性2）设B={敌机恰中一弹}，50第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第一节

随机事件与概率§1.3条件概率与事件的独立性三．事件的独立性例5.1.21：设电路如图(5-9)所求，其中1,2,3,4为继电器接点。各继电器接闭合与否相互独立。节点闭合的概率为p,求L至R为通路的概率。解：设A={由L至R为通路}51第五章概率论第一节随机事件与概率第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量§2.1离散型随机变量一．随机变量的概念二．离散型随机变量的分布列三．贝努力概型及二项分布四．泊松分布52第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量一．随机变量的概念定义5.2.1:在某个随机试验中，若存在一个变量，依试验的结果（即试验中出现的基本事件）而取得不同的数值，则称这个变量为随机变量。定义5.2.2：离散型随机变量：如果随机变量X能取的数值为有限个或无穷可列个，即所有可能取的数值能按照一定顺序排列起来，则称随机变量X为离散型随机变量。如果随机变量X的所有可能值不能按照一定的顺序排列起来，则称X为非离散型随机变量。非离散型随机变量的范围很广，情况也比较复杂，其中最重要的，最常用的是连续型随机变量。连续型随机变量可以在某一区间内任意取值。53第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量二．离散型随机变量的分布列定义5.2.3：把离散型随机变量X的一切可能取的数值以及它相应的概率（ⅰ＝1，2…），列成如表5-1.………P………称此表为离散型随机变量X的概率函数或者概率分布列，简称为分布列，概率分布表。概率函数具有下列基本性质54第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量例5.2.1：袋中有2个白球3个黑球。每次从中任取一球，直到取到白球为止。设X为取到白球时的次数。在下列两种情况下，求X的分布列。1）每次取出的黑球不放回。2）每次取出的黑球仍放回去。二．离散型随机变量的分布列解：1）∵每次取出的黑球不放回，∴X＝1，2，3，455第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量X的分布列如表5-2：X1234P0.40.30.20.1二．离散型随机变量的分布列2）∵每次取出球后放回，∴X可能值为一切正整数，且每次抽球是相互独立的。X的分布列如表5-3：X123…n……P0.40.4×0.6………56第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布定义5.2.4：如果(1)在确定的条件下，可进行n次独立重复试经；(2)每次试验只有两个相互对立的结果A与；(3)这n次试验都是相互独立的，即每次试验结果与其它各次试验结果无关。则称这n次重复独立试验为n重贝努力试验，这种概率模型称为贝努力概型。设X为n次贝努力试验中,事件A发生的次数X是一个随机变量，如果事件A在每次试验中发生的概率为P，则称随机变量X服从参数为n,p的贝努力分布，记为X~B(n,p)57第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布下面讨论贝努力概型的概率计算设P(A)=p，即每次试验事件A发生的概率为P，则在n次试经中，事件A恰好发生m次的概率，记为。例如在3次重复独立试验中，事件A恰好发生两次，这要分为这样几种情况。第一次发生第二次发生，第三次不发生；第一次发生第二次没发生，第三次发生；第一次没发生，第二次发生，第三次发生。若设表示第i次事件A发生，则表示第i次事件A不发生，从而上述事件则可表示为：58第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布定理5.2.1：设一次试验中事件A发生的概率为P（0<p<1），则n重贝努力试验中事件A恰好发生k次的概率为其中，q=1-p证：设={n重贝努力试验中，事件A恰好发生K次}，表示第i次试验中事件A发生，表示第i次试验中，事件A不发生。则：右边的每一项表示在k次试验中事件A发生，而另外（n-k）次试验中事件A不发生。这种项共有个,且两两互不相容，所以，59第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布利用概率的性质可知：。即容易看出，概率，就等于二项式的展开式中x的系数，因此将贝努力分布称为二项式分布。定义5.2.5：只有两个可能取值的随机变量，所服从的分布称为两点分布。其概率函数为由两点分布的定义可知，两点分布的概率分布表为表5-4。其中，1-PPPP10XX表5－4表5－560第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布例5.2.2：某厂产品的废品率0．05，从大批产品中抽取20件，求20件中含有m（m=0,1,2,3）件废品的概率。解：设X为20见产品中的废品数。则X~B(20,0.05),由已知，q=0.9561第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布例5.2.3：一个工人维修10台同类型的机床，在一段时间内每台机床需维修的概率为0．3求：1)这段时间内有2~4台需维修的概率。2）这段时间内至少有一台丰床维修的概率。解：设X为这段时间内,需要维修的机床数，各台机床是否需维修是相互独立的。X~B(10,0.3)由已知，n=10,p=0.3,q=0.72)分析：A={至少有一台需维修}的对立事件是={所有机床都运行正常（不需要维修）}62第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布例5.2.4：掷一枚骰子，连掷3次，设X表示掷出一点的次数，求X的概率分布列。解：由已知，X的概率分布列为表5－6。63第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布例5.２.5：灯泡使用1000小时以上的概率为０.2，求三个灯泡在使用1000小时以上最多只有一只损坏的概率。解：设X为使用1000小时后坏灯泡的个数。则X~B(3,0.2)0-1分布是两点分布的特例。而两点分布又可看作二项分布的特例。64第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布例5.2.6：某商店的某副食柜台有４名售货员，２台电子称，每名售货员在一小时内大约有２０分钟使用电子称，求因电子称不够用而使顾客等待的概率。解：每个售货员使用电子称是彼此独立的。每个售货员使用电子称的概率为，设X为某段间里需要使用电子称的数。则因此,顾客因电子称不够用而需等待的概率为65第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量三．贝努力概型及二项分布例5.2.7：袋装有4个黑球，一个白球，每次任意取一个球有放回地连取3次，求取过的3个球中恰有2个黑球的概率。解：由于有放回地抽取，所以这3次抽取是相互独立的，而且是在相同条件下进行的重复试验，在每次试验中，取到黑球的概率都是,没有取到黑球，即取到白球的概率为。设取到黑球的个数为X，则66第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量四．泊松分布定义5.2.6：设随机变量X=I的概率其中λ>0，则称X从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)如果一个随机变量的取值在时间或空间上是随机的，则此随机变量服从泊松分布。在社会经济活动中，对各种服务需求或排队现象，如在某一段时间内用户对电话台的呼叫次数，候车的人数，这些在时间上是随机的，因此服从泊松分布。某一路口在一段时间中通过的汽车数。一个铸件上的砂眼数，一株果树的害虫数，一匹布上的疵点数，一页书上的差错数在空间上是随机的，也服从泊松分布。按定义计算泊松分布的概率较繁。在实际计算中可根据事先列出的表格，查表求值。67第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量四．泊松分布例5.2.8：每分钟某电话交换台收到的呼叫次数X~P(3)，求任意一分钟电话交换台收到的呼叫次数超过2次的概率。解：由已知X~P(3)，求P(X>2)法1：P(X>2)=1－P(X≤2)=1－[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]法2查表：P(X>2)=1－P(X≤2)=1－[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]=1－[0.0498+0.1494+0.2240]=0.576868第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量四．泊松分布例5.２.9：某交通路口每辆车载人数服从的泊松分布，现任意观察一辆能过该路口的汽车试求下列各种情况下概率。1)车中无人；2)车中只有２人。3)车中有５人。4)车中超过５人。解：本题中，参数已知，可根据公式直接计算概率。69第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量四．泊松分布给出二项分布和泊松分布的关系定理定理5.2.2：设随机变量X～B(n,p),则当n充分大时，记λ＝np,则X～P(λ)即这个定理说明：当n很大而P较小时可用泊松分布的计算替换二项分布的概率计算。70第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量四．泊松分布例5.2.10：用步枪射击敌机，每次命中的概率为分p=0.001,今射击6000次，试 求击中敌机两弹或两弹以的概率。解：设X为击中敌机的子弹数，则X~B(6000,0.001)因为n很大，而p较小，所以，我们用泊松分布近似计算，＝np=6∴X～P(6)本例如使用二项分布计算两个答案相比较，当精确到小数点四位后都是0.982771第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量四．泊松分布例5.２.11：已知螺丝钉生产中废品率为0.015问一盒至少装多少只才能保证每盒中有100只以上的好螺丝钉的概率不小于0.90?解：设应装100+x只，则问题就是求最小的x，使废品数不超过x只的概率大于等于90%。设X表示一盒螺丝钉废品数，则利用泊松近似，求最小的x,使：P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+…+P{X=x}查表：＝1.5P{X=0}=0.223130,P{X=1}=0.334695,P{X=2}=0.251021,P{X=3}=0.12551072第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.1离散型随机变量四．泊松分布而0.223130+0.334695+0.251021+0.125510=0.934536>0.90所以，只要在盒中放入103个螺丝钉即可。73第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量§2.2连续型随机变量一．连续型机变量的概念二．连续型随机变量密度函数的性质三．均匀分布四．正态分布五．指数分布74第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量一．连续型机变量的概念连续型随机变量可取某区间内任何一个数值。设是连续型随机变量的任意一个可能值，则X=是试验的一个基本事件。如果按照离散型随机变量定义这个事件的概率将会遇到下列两个问题，首先，X=是指在一定精度下有X=，如果精确度要求到小数点后1000位，仍有X=吗？这是根本无法回答的问题。其次，就算是在精确度到小数点后1000位仍有X=,但此处的概率是个什么数值？X对的某邻域内的x，P{X=x}又如何取值呢？仍然难以回答。还有，将连续型随机变量的一切可能值按照一定次序排列并写出来，也是一个不能逾越的障碍。75第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量一．连续型机变量的概念定义5.2.7：设随机变量X可取某个区间(c,d)内中的一切值，而且可以找到非负可积函数f(x)使得，则称X是连续随机变量。f(x)称为X的分布密度。其中(a,b)是(c,d)的一个子集。由定义可以看出，对连续型随机变量X，也就是说，连续型随机变量在任何一点的概率都为0。即76第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量二．连续型随机变量密度函数的性质1．f(x)≥0；2．3．P{a≤X≤b}=4．P{X=a}=0从而，可推出P{a<x<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}77第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量二．连续型随机变量密度函数的性质例5.2.12：设X~1）求k；

2）求X落入（－3，0.5）内的概率。解：1)求k2)求P{0≤X≤1},由1)78第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量三．均匀分布定义5.2.8：设连续型随机变量

,则称X服从均匀分布。其中。记为：X~U[a,b]均匀分布的密度曲线如图5-10所示。若X~U[a,b]，则X取值落于某区间的概率与区间长(d-c)成正比，而与区间在[a,b]中的位置无关。事实上，[a,b]之外的概率为零，即在数值计算中，假定在小数点后k位四舍五入，用X表示舍去误差，则显然，落在79第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量四．正态分布定义5.2.9：设连续型随机变量X的概率密度为则称随机变量X是服从参数为的正态分布，记为X~N()特别地，当时，X~N(0,1)称为标准正态分布。标准正态分布的密度函数，记为，即80第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量四．正态分布正态分布密度函数的图像如图5-11所示，从的图象中看出，密度函数具有下列性质。1．关于直线x=μ对称。在（－∞，μ）单调增，在（μ，＋∞）单调减。是密度函数的最大值。2．σ刻划X取值的分散程度。σ越小，取值的分散程度越小，取值越聚集，图像越陡峭；反之，σ越大，取值的分散程度越大，取值越分散，图像越平缓。81第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量四．正态分布3．与图象以X轴为渐近线，x=μ-σ与x=μ+σ为曲线的拐点。正态分布为连续型随机变量，当然具有连续型随机变量密度函数的性质。例如≥0,82第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量除具有一般概率密度的性质以外还有下列性质：1．有各阶导数；2．是偶函数，即，的图象关于y轴对称。3．在严格递增，在严格递减，为的最大值4．在处有两个拐点；5．，即x轴是曲线的水平渐近线。四．正态分布83第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量四．正态分布定义5.2.10：设连续型随机变量X的概率密度为，其中λ>0，则称随机变量X是服从参数为λ的指数分布，记为X~E(λ)。指数分布的密度函数f(x)的曲线如图5-12所示。指数分布常用作各种寿命分布的近似，动物的寿命，无线电元件的使用寿命，电话中的通话时间，随机服务系统中的服务时间等。84第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.2连续型随机变量四．正态分布例5.2.14：已知某电子元件的寿命求这种电子元件能使用1000小时以上的概率。解：85第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

§2.3分布函数一．分布函数的概念二．正态分布的分布函数及概率计算86第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念定义5.2.11：设X是一个随机变量，x为任意实数,称函数F(x)=P{X≤x}为X的分布函数。F(x)就是事件“”的概率，是x的一个实函数。对任意实数有：故因此若已知X的分布函数F(x)，就能知道X在任何一个区间上取值的概率。从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量变化情况。87第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念F(x)具有下列性质：1．对一切成立；2．F(x)是不减函数；3．；４．F(x)至多有可列个间断点，而在其间断点上也是右连续的。88第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念例5.2.15：离数型随机变量的分布列如表５-７所示：0.10.30.40.2P3210X1)求X的分布函数2)画出F(x)的图象3)求P{x≤0.5}；P{0.5≤X≤2.1}；P{1.5≤X≤4.1}。解：1)求X的分布函数x<0时F(x)=P{X≤x}=00≤x<1时F(x)=P{X≤x}=0.2；1≤x<2时F(x)=P{X≤x}=0.62≤x<3时F(x)=P{X≤x}=0.9；3≤x时F(x)=P{X≤x}=189第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念2．F（x）的图象如图5-13所示3．求P{x≤0.5},P{0.5≤X≤4.1P{x≤0.5}=F(0.5)=0.2，P{0.5≤X≤2.1}=F（2.1）－F（0.5）=0.9－0.2=0.7P{1.5≤X≤4.1}=F(4.1)－F(1.5)=1－0.6=0.4离散型随机变量的分布函数图象是一条形如阶梯形的曲线。曲线在左端点处右连续，在右端点处间断，跳跃递增。90第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念定义5.2.12：设F(x)是随机变量X的函数。若存在非负函数f(x),对任意实数x有,则称X为连续型随机变量。f(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数。91第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念连续型随机变量X分布函数F(x)具有下述性质；1．F(x)≥02．F(－∞)=0,F(+∞)=13．非降性(广义递增性),若，则F()≤F()4．连续性：连续型随机变量的分布函数F(x)的图像是一条连续曲线。5．若X～f(x),X为连续型随机变量，则：F’(x)=f(x),即连续型随机变量分布函数的导数是密度函数。6．F’(x)=f(x),即连续型随机变量分布函数的导数是密度函数。92第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念例5.2.16：X是连续型随机变量1)求K；2）求分布函数F(x)并画出F(x)的图像3）求P{0.5≤X≤1.5},P{1.2≤X≤1.8},P{1.5≤X≤2.8}解：1）求K。2）求分布函数F(x)并画出F(x)的图像x<1时，1<x≤2时，x>2时93第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念F(x)的图像如图5-14所示。3）求P{0.5≤X≤1.5}，P{1.2≤X≤1.8}，P{1.2≤X≤1.8}94第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念例5.2.17：向半径为R圆形靶射击，击中点落在靶新为圆心，r为半经的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不含发生的脱靶的情形，设X表示击中点与靶心的距离。求X的分布函数。解：设X的分布函数为F(x)=P(X≤r)∵不会发生脱靶∴X的一切可能值在区间[0,R]上。当r<0时F(r)=0当0≤r<R时依题意，F(r)=P(X≤r)=∵F(x)是连续函数，∴F(R)==1∴∴F(x)的分布函数为：95第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念例5.2.18：设随机变量X具有概率密度1）确定系数k；2）求分布函数F(x)；3)求P{－1<x<1}解：1）确定系数k；2）求分布函数F(x)96第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

一．分布函数的概念3)求P{－1<x<1}97第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

二．正态分布的分布函数及概率计算若X~N(0,1),则，X的分布函数记为，即因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，,从而有。这个结论由定积分的几何意义，一目了然，如图5-15。98第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

二．正态分布的分布函数及概率计算正态分布的概率计算，若由定义难且繁。在实际计算时，查表求值。这类计算分为两种不同的情况。１．设X~N(0,1)求概率，直接查表求值。即２．已知，求相应事件的概率定理5.2.3：若，令，则Y～N(0,1)。可推出：若，则99第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

二．正态分布的分布函数及概率计算例5.2.19：设X～N(0,1)求：1)P{X≤1.2}

,

2)P{X≤－0.5},3)P{|X|≤1.96},4)P{X≤5}解：查表1)P{X≤1.2}=

φ(1.2)

=0.8849,

2)P{X≤－0.5}=1－φ(0.5)

=1－0.6915=0.3085P{|X|≤1.96}=P{－1.96≤X≤1.96}=φ(1.96)－φ(－1.96)=φ(1.96)－[1－φ(－1.96)]=2φ(1.96)－1=2×0.9750－11=0.954)P{X≤5}=φ(5)=1100第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.3分布函数

二．正态分布的分布函数及概率计算例5.2.20：设X～N(1,4)求：1）P{0≤X≤1.6},2)P{5<X<7.2},3)P{X≥2.3}解：由已知μ=1101第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.４随机变量的函数一．连续型随机变量X的概率分布二．连续型随机变量函数的概率分布§2.４随机变量的函数102第五章概率论第二节随机变量与概率分第五章概率论第二节随机变量与概率分§2.４随机变量的函数一．连续型随机变量X的概率分布定义5.2.13：设f(x)是定义在随机变量X上的一切可能值x的集合上的函数。如果X对于x的每一个可能取值x，有一个随机变量Y的相应取值y=f(x)，则称Y为X的函数,记为Y=f(X)我们常常遇到一些随机变量，它们的值测量较难（例如球体的体积）但是与它们有关系的量例如球体的直径测量较易。因此我们可以通过研究球体