基于Matlab的ARMA模型时间序列分析法仿真

MatlabARMAARMA随机振动响应数据进行处理，从而进行模态参数识别的方法。参数模型包括自回归模型、MAARMA1969AkaikeARMANARMA2N akk0

xt

2Nk

b fk tk

(1)式(1)表示响应数据序列xt

t

的关系，其中等式的左边称为自回ARMA2N自回归模型和滑动均值模型的阶次，ak

、b分别表示待识别的自回归系数和滑k动均值系数，ft

k＝0a0

b 1。0ARMAxt

}具有唯一的平稳解为x ti0

hfi ti

(2)hi

为脉冲响应函数。x的相关函数为tR E[x

xt

] hhi k

E[

t

ft

] (3)f是白噪声，故t

i0

k02 kiE[f

t

ft

]

0 other

(4)式中：2为白噪声方差。将此结果代人式(3)，即可得R 2 hh

(5) i ii0因为线性系统的脉冲响应函数hi故由ARMA过程定义的表达式为

2N akk0

ht

2Nk

b bk tk t

(6)利用式(5)和式(6)，可以得出：2N a

h2N a

2 hb

(7)k lkk0

ii0 k

k il

iili0ARMA2Nbk(7)恒等于零，于是有

＝0。故当l>2N时，式Ri或写成

2Nk

aRk l

0, l2N (8)2N akk0

Rl

Ri

, l2N (9)L，M＝2Nl得一组方程：aR 1

aR a R2 MM 1

M1a

aR

a R R1 M2 M M 2 M2 (10)aR aR a R R1

2 L2 M LM L将式(10)方程组写成矩阵形式，则有R

R

R M M

1

1

M1RMRM

R2 a2RM2

(11) R R

a

R 或缩写为

L1

L2 LM M L[R] {R} (12)(LM)M M(LM式(12)Yule-walkerL2N用伪逆法可求得方程组的最小二乘解，即([R]T[R])1([R]T{R}) (13)由此求得自回归系数a(k1,2,,2N。k滑动平均模型系数b(k1,2,,2N可通过以下非线性方程组来求解：kb2b2b2 c0 1bb

M 0b c01 M

1 (14)bb c0 M M其中c 2N 2N ak i

Cj ki

, k0,1,2,,2N (15)i0 j0Ck

xt

的自协方差函数。MAbk

的估算方法很多，主要的有基于Newton-Raphson算法的迭代最优化方法和基于最小二乘原理的次最优化方法。当求得自回归系数ak

和滑动均值系数bk

后，可以通过ARMA模型传递函数的表达式计算系统的模态参数，ARMA模型的传递函数为H(z)

2N bkk0

zk

(16)2Nk

azkk用高次代数方程求解方法计算分母多项式方程的根：2N akk0

zk1a1

za2

z2a2N

z2N0 (17)或表示成以下形式的方程：z2Na1

z2N

2N

za2N

0 (18)求解得到的根为传递函数的极点，它们与系统的模态频率k11212kk

，和阻尼比 的关kz

exp(sk

t)exp[(k k

jk

)t]

(19)zk

exp(st)exp[(k k

jk

)t]并且由式(19)可求得模态频率k

，和阻尼比 ，即k R lnzk k

stkrk11rk11(Im(R)/Re(R))2k k

|/t (20)k为计算模态振型，需要先求出留数。设q点处激励p点响应的传递函数H (sApq

，可用下式计算留数：Akpq

limHzzk

(z)(zz)pq k

2N bkk02N ak