工学材料力学第2章课件

本章要点（1）横截面上正应力计算公式（2）拉压虎克定律（3）拉压静不定问题求解重要概念平面假设、轴力、拉压虎克定律、拉压静不定、应力集中、拉压变形能本章要点（1）横截面上正应力计算公式重要概念1§2-1轴向拉伸和压缩的概念

所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件沿着轴线方向发生的伸长或缩短。

一、基本概念：F拉杆FF压杆F§2-1轴向拉伸和压缩的概念所谓的轴向拉21、受力特点：外力或外力合力的作用线与杆轴线重合2、变形特点：轴向伸长或缩短二、举例说明：ABBC拉杆压杆计算简图目录1、受力特点：外力或外力合力的作用线与杆轴线3§2-2-1轴向拉压时横截面上的内力和应力

一.轴力及轴力图轴力的概念（1）举例§2-2-1轴向拉压时横截面上一.轴力及轴力图轴力的概念（4因F力的作用线与杆件的轴线重合，故，由杆件处于平衡状态可知，内力合力的作用线也必然与杆件的轴线相重合。

用截面法将杆件分成左右两部分，利用轴方向的平衡可得：结论因F力的作用线与杆件的轴线重合，故，由杆件处5（2）定义：上述内力的合力N就称为轴力（其作用线因与杆件的轴线重合而得名）。

2.轴力正负号规定：②压缩时的轴力为负，即压力为负。

①规定引起杆件拉伸时的轴力为正，即拉力为正；正负（2）定义：上述内力的合力N就称为轴力2.轴力正负号规定：②6（1）作法：B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的轴力；

（2）举例：

A、用截面法求出各段轴力的大小；3.轴力图C、拉力绘在轴的上侧，压力绘在轴的下侧。（1）作法：B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵7求支反力R由整杆的平衡方程

用截面法求AB段轴力，保留1-1截面左部

同理可求出BC、CD、DE段内的轴力分别为：解、求支反力R由整杆的平衡方程用截面法求AB段轴力，保留1-18用截面法求出各段轴力用9单位：KN

选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的轴力。拉力绘在x轴的上侧，压力绘在x轴的下侧。

③根据轴力图的作法即可画出轴力图单位：KN选一个坐标系，用其横坐标拉力绘在x轴的上侧，③根10思考题在画轴力图之前，能否使用理论力学中学过的力的平移原理将力平移后再作轴力图？思考题在画轴力图之前，能否使用理论力学中学过11作图示杆的轴力图作图示杆的轴力图12二、应力

1、平面假设

实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前，先画上两条互相平行的横向线ab、cd，然后观察该两横向线在杆件受力后的变化情况。

变形前，我们在横向所作的两条平行线ab、cd，在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只是分别移至a’b’、c’d’位置。

实验现象二、应力1、平面假设实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力13

变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。

——平面假设实验结论FF平面假设拉杆所有纵向纤维的伸长相等

材料的均匀性

各纵向纤维的性质相同

横截面上内力是均匀分布的

（2-1）A——横截面面积

——横截面上的应力

变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面14

对于等直杆，当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面——危险截面。危险截面上的正应力——最大工作应力，其计算公式应为：拓展应力正负号规定

规定拉应力为正，压应力为负（同轴力相同）。对于等直杆，当有多段轴力时，最大轴力所对应15公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非均匀的。随着加载方式的不同，这点附近的应力分布方式就会发生变化。理论和实践研究表明：加力方式不同，只对力作用点附近区域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力都趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。2、圣维南原理（1）问题的提出公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作用点附近的16作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。

由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以用同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简化。（2）圣维南原理（3）圣维南原理运用｛｝｝作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力17

一横截面为正方形的砖柱分为上下两段，其受力情况，各段长度如图所示。已知P=50KN，AB段和BC段横截面尺寸分别为240mm×240mm、370mm×370mm。试求荷载引起的最大工作应力。3、举例解：（一）作轴力图如图所示一横截面为正方形的砖柱分为上下两段，其受力情18（二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下段轴力大，截面积也大，故两段横截面上的正应力都必须求出，从而确定最大的正应力。（压应力）（压应力）

由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为1.1MPa,是正应力。目录（二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下段轴力大19§2-2-2直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

上节中我们分析了拉（压）杆横截面上的正应力，这是特殊截面上的应力，现在我们来研究更一般的情况，即任一截面上的应力，对不同材料的实验表明，拉（压）杆的破坏并不都沿横截面发生，有时却是沿某一斜截面发生的。、斜截面上应力公式推导：横截面——是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面——与杆轴线不相垂直的截面。1.基本概念§2-2-2直杆轴向拉伸或压缩时上节中我们分20①全应力：②正应力：③切应力：2.公式推导（采用截面法）FFKKF——（2-3）

——（2-4）

①全应力：②正应力：③切应力：2.公式推导（采用截面法）F21二、讨论从上可知、均是的函数，所以斜截面的方位不同，截面上的应力也不同。当时，斜截面k-k成为横截面。①达最大值，同时达最小值——（2-6）

达到最大值，当时，②当表明在平行于杆件

时，轴线的纵向截面上无任何应力。③二、讨论从上可知、22材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。§2-3材料在拉伸和压缩时的力学性能

重要内容金属材料的材料力学性质：包括低碳钢和铸铁非金属材料的力学性质：包括混凝土、木材及玻璃钢一、材料力学性质的定义材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。§2-3材23试验设备：万能试验机：用来强迫试样变形并测定试样抗力的机器。变形仪：用来将试样的微小变形放大到试验所需精度范围内的仪器。试验设备：万能试验机：用来强迫试样变形并测定试样抗力的机器。241、低碳钢(C≤0.3%)拉伸实验及力学性能颈缩阶段标准试件（低碳钢、铸铁）σp—比例极限σe—弹性极限σs—屈服极限σb—强度极限——塑性材料的典型代表工作段长度l标距lodolo=10do或5doOσεσeσpσsσb线弹性阶段屈服阶段强化阶段σ—ε拉伸曲线《金属材料室温拉伸试验方法》GBT228-20021、低碳钢(C≤0.3%)拉伸实验及力学性能颈缩阶段标准试件25①延伸率②断面收缩率d≥5%—塑性材料d＜5%—脆性材料塑性指标l1——试件拉断后的长度A1——试件拉断后断口处的最小横截面面积①延伸率②断面收缩率d≥5%—塑性材料d＜5%—脆260petPesbABCC’DEO=E卸载曲线卸载后再加载曲线屈服极限提高：冷作硬化F0petPesbABCC’DEO=27冷作硬化现象构件处于强化阶段实施卸载。如卸载后重新加载，曲线将沿卸载曲线上升。如对试件预先加载，使其达到强化阶段，然后卸载；则，当再加载时试件的线弹性阶段将增加，同时其塑性降低。——称为冷作硬化现象冷作硬化Oσεσeσpσsσb线弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段σ—ε冷作硬化现象构件处于强化阶段实施卸载。如卸载281234102030e(%)0100200300400500600700800900s(MPa)1、锰钢2、硬铝3、退火球墨铸铁4、低碳钢材料性质：d较大，属塑性材料。

2、其它金属材料拉伸时的力学性能1234102030e(%)010020030040050029OseA0.2%Ss0.2

上述这些金属材料无明显屈服阶段，规定以塑性应变es=0.2%所对应的应力作为名义屈服极限，记作s0.2

OseA0.2%Ss0.2上述这些金属材料303、测定灰铸铁拉伸机械性能

sb强度极限：OPDLPb

sb—拉伸强度极限，脆性材料唯一拉伸力学性能指标。拉伸曲线中应力应变不成正比例，且无屈服、颈缩现象，总变形量很小且sb很低。——脆性材料的典型代表3、测定灰铸铁拉伸机械性能sb强度极限：OPDLPb312-4金属材料压缩时的力学性能

比例极限，屈服极限，弹性模量基本与拉伸时相同。①低碳钢压缩实验：es(MPa)2004000.10.2O低碳钢压缩应力——应变曲线低碳钢拉伸——应力应变曲线2-4金属材料压缩时的力学性能比例极限，32seOsb灰铸铁的拉伸曲线sbc灰铸铁的压缩曲线

sbc>sb，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成45o～55o的滑移面破坏。②铸铁压缩实验：seOsb灰铸铁的sbc灰铸铁的sbc>sb，33塑性材料

断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力强。常用指标——屈服极限，一般拉和压时的S相同。脆性材料

断裂前变形小，塑性指标低。常用指标是sb、sbc且sb《

sbc。③塑性和脆性材料变形和破坏特点塑性材料③塑性和脆性材料变形和破坏特点34非金属材料的力学性能1)混凝土近似均质、各向同性材料。属脆性材料，工程中一般用于受压构件的制作。2）木材各向异性材料。3）玻璃钢：玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料各向异性材料。优点是：重量轻，强度高，工艺简单，耐腐蚀。非金属材料的力学性能1)混凝土352-5温度和时间对材料力学性能的影响

在常温下，金属材料中原子的结合较疏松，因此弹性较好，这意味着金属能吸收较多的受外力冲击所产生的能量；在低温下，原子结合得较紧密，由于弹性差，只能吸收极少的外来能量，因此，低温下的材料容易脆断。在物理上，把使材料发生脆化的温度叫做“临界脆化温度”。不同的材料，临界脆化温度也不相同。

冷脆的原因：2-5温度和时间对材料力学性能的影响在常温下，36举例：利用脆化现象，人们发明了"低温粉碎技术"。例如，用低温来粉碎废钢铁。我们知道，炼钢时，要大量使用废钢，电炉炼钢时，废钢占原料总量的６０－８０％。废钢在投入冶炼前，先要进行破碎，以加快熔化速度。由于废钢的尺寸、厚薄、轻重相差悬殊，所以废钢的粉碎一直是个难题。传统的电弧切割法，速度慢，效率低。采用低温粉碎技术，将废钢浸泡在液氮（－１９６℃）中，或用气氮冷却（－１００℃）后，废钢就变得像玻璃那样易碎。当然，使用低温粉碎时，一定要使粉碎温度低于待粉碎材料的临界脆化温度。

举例：利用脆化现象，人们发明了"低温粉碎技术"。例如37蠕变金属材料长期在不变的温度和不变的应力作用下,发生缓慢的塑性变形的现象,称为蠕变。它与塑性变形不同，塑性变形通常在应力超过弹性极限之后才出现，而蠕变只要应力的作用时间相当长，它在应力小于弹性极限时也能出现。蠕变金属材料长期在不变的温度和不变的应力作用下,发38[工学]材料力学第2章课件39一、基本概念

1、极限应力构件在外力作用下，当内力达到一定数值时，材料就会发生破坏，这时，材料内破坏点处对应的应力就称为危险应力或极限应力。塑性材料——屈服极限作为塑性材料的极限应力。脆性材料——强度极限作为脆性材料的极限应力。

§2-6失效安全系数拉压强度计算

一、基本概念1、极限应力构件在外力作用下，402、强度条件：①塑性构件在荷载作用下正常工作条件是：

式中：

——大于1的系数，称为安全系数,1.25~2.5

。上式中，令

则：——许用应力其中，

2、强度条件：①塑性构件在荷载作用下正常工作条件是：式中：41②脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：

由此，我们得材料的强度条件为：式中,nb——大于1的系数，称为安全系数,2.5~3.0，甚至4~14.②脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：由此，我们得材料的强42确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：（1）极限应力的差异；（2）构件横截面尺寸的变异；（3）荷载的变异；（4）计算简图与实际结构的差异；（5）考虑强度储备。安全系数是构件工作的安全储备。3、安全系数：确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：（1）极限43二、强度计算

对于轴向拉压构件，因，于是根据强度条件，我们可以解决：②设计截面(构件安全工作时的合理截面形状和大小)①强度校核(判断构件是否破坏)③许可载荷的确定(构件最大承载能力的确定)二、强度计算对于轴向拉压构件，因44例1、图示空心圆截面杆，外径D＝18mm，内径d＝15mm，承受轴向荷载F＝22kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。

解：杆件横截面上的正应力为:FFDd1、强度校核：例1、图示空心圆截面杆，外径D＝18mm，内径d＝15mm，45材料的许用应力为:显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够安全工作。材料的许用应力为:显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够46例2已知F=130kNα=30°

AC为钢杆：d=30mm [σ]=160MPa

BC为铝杆：d=40mm [σ]=60MPa

试校核结构的强度。例2已知F=130kNα=30°

AC为47解：（1）求各杆轴力FNAC，FNBC

（2）求各杆应力

N/mm2N/mm2

∴安全解：（1）求各杆轴力FNAC，FNBC（2）求各杆应力N48例3：已知

求：许可载荷

2、许可载荷的确定例3：已知求：许可载荷2、许可载荷的确定49⑵求

AB杆：

解：⑴内力

CB杆：

⑵求AB杆：解：⑴内力CB杆：50§2-7-1轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形直杆在外力F作用前后的情况如图中所示：

1、轴向变形§2-7-1轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压51轴线方向线应变：

横截面上应力：

由虎克定律：

——（2-11）

提示：公式（2—11）也是虎克定律的另一种表达形式

物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l与F和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。式中：EA——杆件的抗拉（压）刚度。EA越大，l越小

轴线方向线应变：横截面上应力：由虎克定律：——（2-1522、横向变形：

从图中可看出，横向应变为：

实践表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值为一常数，即：——称为横向变形系数或泊松比，是个没有量纲的量。

’2、横向变形：从图中可看出，横向应变为：实践53因和的符号总是相反的。故可知几种常用材料的

值请见表2-1，书P103

因和的符号总是相反的。故可知几种常用材料的值请见54例4求总变形已知：A1=400mm2

L1=200mmA2=800mm2

L2=200mmE=200GPa 例4求总变形55 解：（1）求各段轴力并作轴力图（2）求各段变形及总变形

mmmmmm 解：（1）求各段轴力并作轴力图mmmmmm56§2-7-2直杆轴向拉伸或压缩时的变形能一、基本概念

大家都知道，我们用手给手表的发条上过劲后，手表的发条就能带动指针的转动，从而显示时间。在这里，我们给发条上劲的过程，实际上就是我们对发条做功的过程，在这个过程中，发条逐渐聚集了一种能量，当我们停止对发条作功后，这种能量就会被逐渐地释放出来对手表的指针做功，推动指针转动。上述提到的发条实际上就是一种弹性体。

上述例子的物理意义：弹性体在外力作用下会产生变形。在变形过程中，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。当外力逐渐减小，变形逐渐消失时，弹性体又是将释放能量而作功。上面所提到的这种能量，因为是在弹性体变形过程中产生的，因此我们就称其为变形能。1、引例§2-7-2直杆轴向拉伸或压缩时的变形能一、基本概念57L12、定义

在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形能或应变能。

则：设直线的斜率为k3、变形能的计算杆件的上端固定，下端作用一外力F，F由零逐渐增加到F。在比例极限的范围之内，关系见图。L12、定义则：设直线的斜率为k3、变形能58L1当外力加到F1时，杆件的伸长量用L1表示。当外力加到F1+F1时，杆件的伸长量用L1+d(L1)表示。

由于F1为无穷小量，在区间(a,b)内我们可近似地认为F1为常量，则在这个区间内外力作的功为：

L1当外力加到F1时，杆件的伸长量用L1表示。当外力加到59从上图中可看出：dW在数值上等于阴影部分abcd的面积，当我们把拉力F看作是一系列dF1的积累时，则拉力F所作的总功W应为上述微分面积的总和。即W等于F~L线下与水平轴之间区域的面积。

即：

根据功能原理可知：拉力F所作的功应等于杆件所储存的变形能。（缓慢加载，动能忽略，热能微小，也可忽略）杆件的变形能用U表示，则：从上图中可看出：dW在数值上等于阴影部分ab60由虎克定律：可知：

由于整个杆件内各点的受力是均匀的，故每单位体积内储存的变形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示。——比能

单位：比能的单位为：J/m3由虎克定律：可知：由于整个杆件内各点的受61解：例5：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的位移A

。已知F=10kN,杆长l=2m，杆径d=25mm,

=30°，材料的弹性模量E=210GPa。FABCaa12解：例5：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A62而FABCaa12而FABCaa1263例6利用功能原理求A点的垂直位移δ已知：F=10kNα=45°杆（1）为钢杆E1=200GPa，A1=100mm2，L1=1000mm杆（2）为木杆E2=10GPa，A2=4000mm2，L2=707mm例6利用功能原理求A点的垂直位移δ64解：（1）求轴力kN（2）求位移（视作弹性杆系）Vε=WkN=1.18mm

解：（1）求轴力kN（2）求位移（视作弹性杆系）kN=1.165一、静定与超静定的概念：1、静定问题

仅利用静力学平衡方程就可求解出全部未知力的问题称为静定问题。相应的结构称静定结构。2、超静定问题

仅利用静力学平衡方程无法确定全部未知力的问题称为超静定问题或静不定问题。相应的结构称超静定结构或静不定结构。§2-8拉（压）超静定问题特点：未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程数目。特点：未知力的个数多于独立的平衡方程数目。一、静定与超静定的概念：1、静定问题2、超静定问题§2-866二、静不定次数（——超静定次数）=未知力数目—独立平衡方程的数目。三、求解步骤：

（1）通过分析多余未知力的数目和独立平衡方程的数目，判明是否属静不定问题，若是静不定问题，属几次静不定问题。（2）建立静力学平衡方程。（3）根据构件之间的变形关系，找出几何方程。（4）根据虎克定律建立物理方程。（5）根据静力平衡方程、几何方程、物理方程求解出全部求知力。[注：关键步骤：找几何方程]二、静不定次数（——超静定次数）=未知力数目—独立平三、求67四、静不定问题的解法举例：（1）建立静力学平衡方程（2）寻找几何方程（3）建立物理方程(1)PBAC(3)(2)PABC四、静不定问题的解法举例：（1）建立静力学平衡方程（2）寻找68（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调条件（或称相容方程、补充方程）(4)（5）联立方程（1）、（4），即可求解未知力解题关键点：找几何方程、建立协调条件方程。（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调(4)（5）联立方程691、如图所示结构中，1，2杆抗拉刚度为E1A1，3杆抗拉刚度为E3A3，求各杆内力?解：1）取A结点研究，作受力图如图所示（1）由于未知力个数是2个（N1和N3），而平衡方程数只有1个，故为一次超静定问题。五、解题举例A123FLF2）建立静力学平衡方程（2）1、如图所示结构中，1，2杆抗拉刚度解：1）取A结点研究，作703）几何方程由结构、材料、荷载的对称性4）物理方程123LA（3）（4）5）变形协调条件（5）联立（3）、（4）3）几何方程由结构、材料、荷载的对称性4）物理方程123LA716）联立（1），（5）即可求得未知力如下6）联立（1），（5）即可求得未知力如下722、列出求解图示静不定结构的静力学平衡方程、几何方程和物理方程。解：1）静力学平衡方程2）几何方程123LaaFAB刚体F2、列出求解图示静不定结构的静力学平衡方程、几何方程解：1）73§

2－9装配应力和温度应力1、装配应力的求解（举例说明）

装配应力（对于一个静不定结构，结构装配过程中产生的应力）和温度应力（对于一个静不定结构，温度变化导致构件内产生的应力）问题均为静不定问题中的一种，属特殊的静不定问题。因此，该两种问题的求解方法与前述静不定问题的求解方法一致。如图所示，3杆因制造误差，比设计尺寸短了，求强行装配之后，各杆内产生的装配应力。A123L§2－9装配应力和温度应力1、装配应力的求解（举例说明）742）建立静力学平衡方程（根据受力图）3）建立几何方程（根据几何变形图）AA1）取A点为研究对象，画受力图和几何变形图如图所示（1）（2）2）建立静力学平衡方程（根据受力图）3）建立几何方程（根据几754）物理方程5）变形协调条件（3）（4）6）联立（1），（4）即可求得未知力4）物理方程5）变形协调条件（3）（4）6）联立（1），（476例钢杆①②③A=200mm2，L=1000mm，E=210GPa，δ=0.8mm，AC为刚性杆，求：装配后的FN1、FN2、FN3例钢杆①②③A=200mm2，L=1000mm，E=277解：装配后的变形如图示（1）平衡方程

（a）（2）变形协调条件 （b）（3）物理条件：

式（c）代入式（b）得补充方程

联解式（a）式（d）得FN1=5.33kNFN2=10.66kNFN3=5.33kN（c）（d）解：装配后的变形如图示（c）（d）781）平衡方程2）几何方程为引起的压缩变形2、温度应力的求解（举例说明）LALABLA如图所示静不定结构，求其温度由时，构件内部的应力值。解1）平衡方程2）几何方程为引起的压缩变形2、温度应力的求解（794）变形协调条件

5）由变形协调条件可直接求得杆端约束反力3）物理方程——线胀系数进而求得构件横截面上温度应力为4）变形协调条件5）由变形协调条件可直接求得杆端约束反力380§2-10应力集中的概念

应力集中现象：由于构件截面突然变化而引起的局部应力发生骤然变化的现象。FFdbmaxFFFmax§2-10应力集中的概念应力集中现象：由于构件截面突然81

静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。

动载下，塑性和脆性材料均需考虑。

应力集中程度与外形的突变程度直接相关，突变越剧烈，应力集中程度越剧烈。理想应力集中系数:其中：——最大局部应力——名义应力（平均应力）目录静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的82本章要点（1）横截面上正应力计算公式（2）拉压虎克定律（3）拉压静不定问题求解重要概念平面假设、轴力、拉压虎克定律、拉压静不定、应力集中、拉压变形能本章要点（1）横截面上正应力计算公式重要概念83§2-1轴向拉伸和压缩的概念

所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件沿着轴线方向发生的伸长或缩短。

一、基本概念：F拉杆FF压杆F§2-1轴向拉伸和压缩的概念所谓的轴向拉841、受力特点：外力或外力合力的作用线与杆轴线重合2、变形特点：轴向伸长或缩短二、举例说明：ABBC拉杆压杆计算简图目录1、受力特点：外力或外力合力的作用线与杆轴线85§2-2-1轴向拉压时横截面上的内力和应力

一.轴力及轴力图轴力的概念（1）举例§2-2-1轴向拉压时横截面上一.轴力及轴力图轴力的概念（86因F力的作用线与杆件的轴线重合，故，由杆件处于平衡状态可知，内力合力的作用线也必然与杆件的轴线相重合。

用截面法将杆件分成左右两部分，利用轴方向的平衡可得：结论因F力的作用线与杆件的轴线重合，故，由杆件处87（2）定义：上述内力的合力N就称为轴力（其作用线因与杆件的轴线重合而得名）。

2.轴力正负号规定：②压缩时的轴力为负，即压力为负。

①规定引起杆件拉伸时的轴力为正，即拉力为正；正负（2）定义：上述内力的合力N就称为轴力2.轴力正负号规定：②88（1）作法：B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的轴力；

（2）举例：

A、用截面法求出各段轴力的大小；3.轴力图C、拉力绘在轴的上侧，压力绘在轴的下侧。（1）作法：B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵89求支反力R由整杆的平衡方程

用截面法求AB段轴力，保留1-1截面左部

同理可求出BC、CD、DE段内的轴力分别为：解、求支反力R由整杆的平衡方程用截面法求AB段轴力，保留1-190用截面法求出各段轴力用91单位：KN

选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的轴力。拉力绘在x轴的上侧，压力绘在x轴的下侧。

③根据轴力图的作法即可画出轴力图单位：KN选一个坐标系，用其横坐标拉力绘在x轴的上侧，③根92思考题在画轴力图之前，能否使用理论力学中学过的力的平移原理将力平移后再作轴力图？思考题在画轴力图之前，能否使用理论力学中学过93作图示杆的轴力图作图示杆的轴力图94二、应力

1、平面假设

实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前，先画上两条互相平行的横向线ab、cd，然后观察该两横向线在杆件受力后的变化情况。

变形前，我们在横向所作的两条平行线ab、cd，在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只是分别移至a’b’、c’d’位置。

实验现象二、应力1、平面假设实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力95

变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。

——平面假设实验结论FF平面假设拉杆所有纵向纤维的伸长相等

材料的均匀性

各纵向纤维的性质相同

横截面上内力是均匀分布的

（2-1）A——横截面面积

——横截面上的应力

变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面96

对于等直杆，当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面——危险截面。危险截面上的正应力——最大工作应力，其计算公式应为：拓展应力正负号规定

规定拉应力为正，压应力为负（同轴力相同）。对于等直杆，当有多段轴力时，最大轴力所对应97公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非均匀的。随着加载方式的不同，这点附近的应力分布方式就会发生变化。理论和实践研究表明：加力方式不同，只对力作用点附近区域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力都趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。2、圣维南原理（1）问题的提出公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作用点附近的98作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。

由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以用同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简化。（2）圣维南原理（3）圣维南原理运用｛｝｝作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力99

一横截面为正方形的砖柱分为上下两段，其受力情况，各段长度如图所示。已知P=50KN，AB段和BC段横截面尺寸分别为240mm×240mm、370mm×370mm。试求荷载引起的最大工作应力。3、举例解：（一）作轴力图如图所示一横截面为正方形的砖柱分为上下两段，其受力情100（二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下段轴力大，截面积也大，故两段横截面上的正应力都必须求出，从而确定最大的正应力。（压应力）（压应力）

由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为1.1MPa,是正应力。目录（二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下段轴力大101§2-2-2直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

上节中我们分析了拉（压）杆横截面上的正应力，这是特殊截面上的应力，现在我们来研究更一般的情况，即任一截面上的应力，对不同材料的实验表明，拉（压）杆的破坏并不都沿横截面发生，有时却是沿某一斜截面发生的。、斜截面上应力公式推导：横截面——是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面——与杆轴线不相垂直的截面。1.基本概念§2-2-2直杆轴向拉伸或压缩时上节中我们分102①全应力：②正应力：③切应力：2.公式推导（采用截面法）FFKKF——（2-3）

——（2-4）

①全应力：②正应力：③切应力：2.公式推导（采用截面法）F103二、讨论从上可知、均是的函数，所以斜截面的方位不同，截面上的应力也不同。当时，斜截面k-k成为横截面。①达最大值，同时达最小值——（2-6）

达到最大值，当时，②当表明在平行于杆件

时，轴线的纵向截面上无任何应力。③二、讨论从上可知、104材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。§2-3材料在拉伸和压缩时的力学性能

重要内容金属材料的材料力学性质：包括低碳钢和铸铁非金属材料的力学性质：包括混凝土、木材及玻璃钢一、材料力学性质的定义材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。§2-3材105试验设备：万能试验机：用来强迫试样变形并测定试样抗力的机器。变形仪：用来将试样的微小变形放大到试验所需精度范围内的仪器。试验设备：万能试验机：用来强迫试样变形并测定试样抗力的机器。1061、低碳钢(C≤0.3%)拉伸实验及力学性能颈缩阶段标准试件（低碳钢、铸铁）σp—比例极限σe—弹性极限σs—屈服极限σb—强度极限——塑性材料的典型代表工作段长度l标距lodolo=10do或5doOσεσeσpσsσb线弹性阶段屈服阶段强化阶段σ—ε拉伸曲线《金属材料室温拉伸试验方法》GBT228-20021、低碳钢(C≤0.3%)拉伸实验及力学性能颈缩阶段标准试件107①延伸率②断面收缩率d≥5%—塑性材料d＜5%—脆性材料塑性指标l1——试件拉断后的长度A1——试件拉断后断口处的最小横截面面积①延伸率②断面收缩率d≥5%—塑性材料d＜5%—脆1080petPesbABCC’DEO=E卸载曲线卸载后再加载曲线屈服极限提高：冷作硬化F0petPesbABCC’DEO=109冷作硬化现象构件处于强化阶段实施卸载。如卸载后重新加载，曲线将沿卸载曲线上升。如对试件预先加载，使其达到强化阶段，然后卸载；则，当再加载时试件的线弹性阶段将增加，同时其塑性降低。——称为冷作硬化现象冷作硬化Oσεσeσpσsσb线弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段σ—ε冷作硬化现象构件处于强化阶段实施卸载。如卸载1101234102030e(%)0100200300400500600700800900s(MPa)1、锰钢2、硬铝3、退火球墨铸铁4、低碳钢材料性质：d较大，属塑性材料。

2、其它金属材料拉伸时的力学性能1234102030e(%)0100200300400500111OseA0.2%Ss0.2

上述这些金属材料无明显屈服阶段，规定以塑性应变es=0.2%所对应的应力作为名义屈服极限，记作s0.2

OseA0.2%Ss0.2上述这些金属材料1123、测定灰铸铁拉伸机械性能

sb强度极限：OPDLPb

sb—拉伸强度极限，脆性材料唯一拉伸力学性能指标。拉伸曲线中应力应变不成正比例，且无屈服、颈缩现象，总变形量很小且sb很低。——脆性材料的典型代表3、测定灰铸铁拉伸机械性能sb强度极限：OPDLPb1132-4金属材料压缩时的力学性能

比例极限，屈服极限，弹性模量基本与拉伸时相同。①低碳钢压缩实验：es(MPa)2004000.10.2O低碳钢压缩应力——应变曲线低碳钢拉伸——应力应变曲线2-4金属材料压缩时的力学性能比例极限，114seOsb灰铸铁的拉伸曲线sbc灰铸铁的压缩曲线

sbc>sb，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成45o～55o的滑移面破坏。②铸铁压缩实验：seOsb灰铸铁的sbc灰铸铁的sbc>sb，115塑性材料

断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力强。常用指标——屈服极限，一般拉和压时的S相同。脆性材料

断裂前变形小，塑性指标低。常用指标是sb、sbc且sb《

sbc。③塑性和脆性材料变形和破坏特点塑性材料③塑性和脆性材料变形和破坏特点116非金属材料的力学性能1)混凝土近似均质、各向同性材料。属脆性材料，工程中一般用于受压构件的制作。2）木材各向异性材料。3）玻璃钢：玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料各向异性材料。优点是：重量轻，强度高，工艺简单，耐腐蚀。非金属材料的力学性能1)混凝土1172-5温度和时间对材料力学性能的影响

在常温下，金属材料中原子的结合较疏松，因此弹性较好，这意味着金属能吸收较多的受外力冲击所产生的能量；在低温下，原子结合得较紧密，由于弹性差，只能吸收极少的外来能量，因此，低温下的材料容易脆断。在物理上，把使材料发生脆化的温度叫做“临界脆化温度”。不同的材料，临界脆化温度也不相同。

冷脆的原因：2-5温度和时间对材料力学性能的影响在常温下，118举例：利用脆化现象，人们发明了"低温粉碎技术"。例如，用低温来粉碎废钢铁。我们知道，炼钢时，要大量使用废钢，电炉炼钢时，废钢占原料总量的６０－８０％。废钢在投入冶炼前，先要进行破碎，以加快熔化速度。由于废钢的尺寸、厚薄、轻重相差悬殊，所以废钢的粉碎一直是个难题。传统的电弧切割法，速度慢，效率低。采用低温粉碎技术，将废钢浸泡在液氮（－１９６℃）中，或用气氮冷却（－１００℃）后，废钢就变得像玻璃那样易碎。当然，使用低温粉碎时，一定要使粉碎温度低于待粉碎材料的临界脆化温度。

举例：利用脆化现象，人们发明了"低温粉碎技术"。例如119蠕变金属材料长期在不变的温度和不变的应力作用下,发生缓慢的塑性变形的现象,称为蠕变。它与塑性变形不同，塑性变形通常在应力超过弹性极限之后才出现，而蠕变只要应力的作用时间相当长，它在应力小于弹性极限时也能出现。蠕变金属材料长期在不变的温度和不变的应力作用下,发120[工学]材料力学第2章课件121一、基本概念

1、极限应力构件在外力作用下，当内力达到一定数值时，材料就会发生破坏，这时，材料内破坏点处对应的应力就称为危险应力或极限应力。塑性材料——屈服极限作为塑性材料的极限应力。脆性材料——强度极限作为脆性材料的极限应力。

§2-6失效安全系数拉压强度计算

一、基本概念1、极限应力构件在外力作用下，1222、强度条件：①塑性构件在荷载作用下正常工作条件是：

式中：

——大于1的系数，称为安全系数,1.25~2.5

。上式中，令

则：——许用应力其中，

2、强度条件：①塑性构件在荷载作用下正常工作条件是：式中：123②脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：

由此，我们得材料的强度条件为：式中,nb——大于1的系数，称为安全系数,2.5~3.0，甚至4~14.②脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：由此，我们得材料的强124确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：（1）极限应力的差异；（2）构件横截面尺寸的变异；（3）荷载的变异；（4）计算简图与实际结构的差异；（5）考虑强度储备。安全系数是构件工作的安全储备。3、安全系数：确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：（1）极限125二、强度计算

对于轴向拉压构件，因，于是根据强度条件，我们可以解决：②设计截面(构件安全工作时的合理截面形状和大小)①强度校核(判断构件是否破坏)③许可载荷的确定(构件最大承载能力的确定)二、强度计算对于轴向拉压构件，因126例1、图示空心圆截面杆，外径D＝18mm，内径d＝15mm，承受轴向荷载F＝22kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。

解：杆件横截面上的正应力为:FFDd1、强度校核：例1、图示空心圆截面杆，外径D＝18mm，内径d＝15mm，127材料的许用应力为:显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够安全工作。材料的许用应力为:显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够128例2已知F=130kNα=30°

AC为钢杆：d=30mm [σ]=160MPa

BC为铝杆：d=40mm [σ]=60MPa

试校核结构的强度。例2已知F=130kNα=30°

AC为129解：（1）求各杆轴力FNAC，FNBC

（2）求各杆应力

N/mm2N/mm2

∴安全解：（1）求各杆轴力FNAC，FNBC（2）求各杆应力N130例3：已知

求：许可载荷

2、许可载荷的确定例3：已知求：许可载荷2、许可载荷的确定131⑵求

AB杆：

解：⑴内力

CB杆：

⑵求AB杆：解：⑴内力CB杆：132§2-7-1轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形直杆在外力F作用前后的情况如图中所示：

1、轴向变形§2-7-1轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压133轴线方向线应变：

横截面上应力：

由虎克定律：

——（2-11）

提示：公式（2—11）也是虎克定律的另一种表达形式

物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l与F和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。式中：EA——杆件的抗拉（压）刚度。EA越大，l越小

轴线方向线应变：横截面上应力：由虎克定律：——（2-11342、横向变形：

从图中可看出，横向应变为：

实践表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值为一常数，即：——称为横向变形系数或泊松比，是个没有量纲的量。

’2、横向变形：从图中可看出，横向应变为：实践135因和的符号总是相反的。故可知几种常用材料的

值请见表2-1，书P103

因和的符号总是相反的。故可知几种常用材料的值请见136例4求总变形已知：A1=400mm2

L1=200mmA2=800mm2

L2=200mmE=200GPa 例4求总变形137 解：（1）求各段轴力并作轴力图（2）求各段变形及总变形

mmmmmm 解：（1）求各段轴力并作轴力图mmmmmm138§2-7-2直杆轴向拉伸或压缩时的变形能一、基本概念

大家都知道，我们用手给手表的发条上过劲后，手表的发条就能带动指针的转动，从而显示时间。在这里，我们给发条上劲的过程，实际上就是我们对发条做功的过程，在这个过程中，发条逐渐聚集了一种能量，当我们停止对发条作功后，这种能量就会被逐渐地释放出来对手表的指针做功，推动指针转动。上述提到的发条实际上就是一种弹性体。

上述例子的物理意义：弹性体在外力作用下会产生变形。在变形过程中，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。当外力逐渐减小，变形逐渐消失时，弹性体又是将释放能量而作功。上面所提到的这种能量，因为是在弹性体变形过程中产生的，因此我们就称其为变形能。1、引例§2-7-2直杆轴向拉伸或压缩时的变形能一、基本概念139L12、定义

在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形能或应变能。

则：设直线的斜率为k3、变形能的计算杆件的上端固定，下端作用一外力F，F由零逐渐增加到F。在比例极限的范围之内，关系见图。L12、定义则：设直线的斜率为k3、变形能140L1当外力加到F1时，杆件的伸长量用L1表示。当外力加到F1+F1时，杆件的伸长量用L1+d(L1)表示。

由于F1为无穷小量，在区间(a,b)内我们可近似地认为F1为常量，则在这个区间内外力作的功为：

L1当外力加到F1时，杆件的伸长量用L1表示。当外力加到141从上图中可看出：dW在数值上等于阴影部分abcd的面积，当我们把拉力F看作是一系列dF1的积累时，则拉力F所作的总功W应为上述微分面积的总和。即W等于F~L线下与水平轴之间区域的面积。

即：

根据功能原理可知：拉力F所作的功应等于杆件所储存的变形能。（缓慢加载，动能忽略，热能微小，也可忽略）杆件的变形能用U表示，则：从上图中可看出：dW在数值上等于阴影部分ab142由虎克定律：可知：

由于整个杆件内各点的受力是均匀的，故每单位体积内储存的变形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示。——比能

单位：比能的单位为：J/m3由虎克定律：可知：由于整个杆件内各点的受143解：例5：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的位移A

。已知F=10kN,杆长l=2m，杆径d=25mm,

=30°，材料的弹性模量E=210GPa。FABCaa12解：例5：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A144而FABCaa12而FABCaa12145例6利用功能原理求A点的垂直位移δ已知：F=10kNα=45°杆（1）为钢杆E1=200GPa，A1=100mm2，L1=1000mm杆（2）为木杆E2=10GPa，A2=4000mm2，L2=707mm例6利用功能原理求A点的垂直位移δ146解：（1）求轴力kN（2）求位移（视作弹性杆系）Vε=WkN=1.18mm

解：（1）求轴力kN（2）求位移（视作弹性杆系）kN=1.1147一、静定与超静定的概念：1、静定问题

仅利用静力学平衡方程就可求解出全部未知力的问题称为静定问题。相应的结构称静定结构。2、超静定问题

仅利用静力学平衡方程无法确定全部未知力的问题称为超静定问题或静不定问题。相应的结构称超静定结构或静不定结构。§2-8拉（压）超静定问题特点：未