2023年考研数学基础阶段过关测试及答案-数学一

基础阶段过关测试数学(一)一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设-1)力，g(x)=sinx",当xf0时,/(x)和g(x)是同阶无穷小，则正整数〃=().TOC\o"1-5"\h\z(A)1 (B)2 (C)3 (D)4…〜Lvlarctan—,x#0 4 ,(2)设/(x)=fx,则/(x)在x=0处().[o, x=0(A)不连续 (B)连续，但不可导(C)可导，且/'(0)=1 (D)可导，且/'(O)H1(3)设曲线积分Jj/(x)-e*)sin/Zx-/(x)cos/(y与路径无关，其中/(x)具有一阶连续导数，且/(0)=0,则/(x)等于().e1+e^x ex+e(C)——-1 (D)l---(4)设函数/*(x)在x=x0的某邻域内存在二阶导数，且1面血=”0,XT与X-Xo则存在点(x°J(x。))的左、右邻域与。+，使得( ).(A)曲线歹=/(x)在内是凹的，在。+内是凸的(B)曲线歹=/(》)在内是凸的，在a内是凹的(02⑷一1(C)曲线y=/(x)在a与a内都是凹的①)曲线歹=/a)(02⑷一11267+4b+3c+203=1,则1 3 5-14-2 0 2(5)若行列式ab(5)1(Q-2

为其3个解,(6)四元非齐次线性方程组Zx=Z>,«4)=3,ax,a为其3个解,a,=(l,2,3,4)r,a2+a3=(0,l,2,3)r,则下列不是线性方程组4c=b的通解的是().(⑷c(l,1,2,|)r+(0,1,2,3)「 (B)c(l,I，2,|)r+(1,2,3,4)r1 1T对应的特征向量分别为%=o(C)c(2,3,4,5)r+(1,2,3,4)r (0c(2,3,4,5)r+(0,T对应的特征向量分别为%=o(7)设三阶方阵/的特征值是1,2,3,a,=2,a,=0,则矩阵4=( ).'010、‘0or'100、'300、(⑷200网020(O020(D)020、°03)、300,、003)。b(8)设随机变量(X,y)服从二维正态分布，且止0,DX=\,EY=0,DY=4,X与丫的相关系数p=L,已知在公y的条件下，X也服从正态分布，则该分布必为().(A)N(0,l) (B)N(0,4) (C)N(%,4) (D)阳卜,$(9)一批产品共10个，其中一等品6个，二等品2个，次品2个.现在从中任取2个，x,丫分别表示取出的一等品与二等品的个数，则c°v(x,y)=().(A)--(A)--75(D)1675(10)设-1,1,-1,1,0,0,-1,-1是来自总体X的样本，X的概率分布为X-1 0 1P26 6 1-3。其中，则参数。的矩估计和极大似然估计分别是().3-41-,4二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，将答案写在答题纸指定位置上.无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供

(11)lim[(x+2)ex-x]=(12)曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的法线方程为.(13)函数z=Y+y2在点J2)处沿从点(1,2)到点(2,2+百)的方向的方向导(15)设%=,。2=与四=,儿= 是线性空间尺2的两组基，则从基%,到基自，色的过渡矩阵为.(16)设随机变量(乂,、?，…，、,,)是来自二项分布总体8(100,01)的简单随机样本，犬=一之乂和$2=——之(X-*分别为样本均值和样本方差，统计量〃海»-1,=1T=X-S2,则E(7)=.三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设函数歹=武为由参数方程y=ln(l—确定，其中x(f)是初值问题xL=o=o(18)(本题满分12分)设函数/(x)在值句上连续，在(凡b)内可导,且〃a)・/@)>0,学)<0.证明：在(。/)内至少存在一点自，使得/e)+)'C)=o.(19)(本题满分12分)计算曲面积分JJ(z2+x)"/z+(x2-2)公方，其中2为曲面Z=-(》2+y2),介于平面z=0及z=2之间的部分的外侧.00/_求暴级数工旦一/”的收敛域及和函数."=]2/7—1(21)(本题满分12分)设向量组四=(1,1,1,3),%=(-1,-3,5,l),a3=(3,2,-1,4+2),。4=(-2,-6,10,左)，问：(D%为何值时，向量组电,。2，。3，。4线性无关？此时，将向量a=(4,l,6,10)用线性表出？(II)%为何值时，向量组％,。2,%，。4线性相关？此时，求其秩和一个极大无关组.(22)(本题满分12分)设二维随机变量(x,y)的概率密度为r,\上，0<y<x,

八”)[。，其它.，求：(I)条件概率密度G*(巾)；(n)p{x4i|y《i}；(ni)z=x+y的概率密度.基础阶段过关测试答案数学(一)一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)C(2)C(3)A(4)A(5)D(6)A(7)C(8)D(9)A(10)A二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，将答案写在答题纸指定位置上.(11)3 (12)y=-x+l(13)1+2a/3 (14)2\[xarcsinVx+2>/l-x+C三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)z/y 解先求解微分方程3-2用工=0,即e-成=2"，两边不定积分得-e-x=/+C即得通解为x=-ln(T?-C).又由必句=。知C=-l,则x(f)=-ln(l").则参数方程为x=则参数方程为x=-ln(l-/2),于是由参数方程求导公式得2zln(l-f2)（18）（本题满分12分）证由于函数/（x）在口,巴7］上连续，且呼）＜0,根据零点定理得，在（。，一）内至少存在一点分使得/6）=（）.又〃办/3）＞0,则有/（与力等）＜0.同理，〃x）在［等刈上应用零点定理知，在（（涉）内至少存在一点刍，使得/④）=0.令尸（x）="（x）,则尸（X）在&，匐上连续,在6，刍）内可导，且尸（《）=尸（刍）=0,由罗尔定理知，存在一点火&，刍）u（a,b）,使得产'0=0,即/）+“'©=0.解添加曲面之:：；解添加曲面之:：；2<4上侧，曲面弓在xoy平面的投影区域为D={(x,j)|x2+y2<4}.由高斯公式知件(z2+x)dydz+(x2-z)dxdy=JJJ[1+(-Vj\dxdydz=0,Z+Zi c又JJ(z2+x)dydz+(x2-z)dxdy=Jj，-2)dxdy%%=jj(x2-2)dxdy==JJx2dx力一JJ2dxdy=—|j(x2+y2JJ(z2+x)dydz+(x2-z)dxdy=Jj，-2)dxdy%%dd20 20 0则(z2+x)dydz-l-(x2-z)dxdy=作(z?+x)dydz4-(x2-z)dxdy-jj(z24-x)dydz+(x2-z)dxdy=0-(一4乃)=47r.解limn—><x>=limn—>oo(-1)”/+22〃+l㈠严一2/7-1-=x2,又比值判别法知，当时，级数绝对收敛，当炉＞1时，级数发散，当f=l,即》=±1时，级数为雪f收敛,设和函数为S(x)=Zn=\需一,xe[-l,l].则S(x)=D] =X'(x),00/I 00其中S,(x)=^^-x2n-1,两边逐项求导得S；(x)=E(T)"T--2

n=\2〃-1 II

i+7则sg)=J0£ +5)(0)=arctanx,所以S(x)=xarctanx,xg[-1,1].无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取-120-1200-2、口000、4->01020001001000;3110解对矩阵(卬02，。3，。4，。)施行初等行变换:(ava2,a3,a4,a)=q11T-35132k+2-2-610k4、16必—>00~1-2643-1-4k-1-2-412k+64、-32-2,-13-24)<]-13-24A0-2-1-4-302143T->()0-70-7001010zr-9k-2-8)(。00k-21-Z(1)当％r2时，r(apa2,a3,a4)=4,向量组%。2，a3,。4线性无关.3r1-13-24、q0-12-244、3021431al9a2,a3,a49a)->00101—00101000k-2\-k.00011-kk—2,P-10-21、p0002、0002我一402042010210100—k—200101T00101T001010001—k0001—k1—1—001\-k1k—2)k-2,0k—2J3k-4\-k则a=2a+—-ar+OCi+-a4.k一7k—2(2)当左=2时，尸(四,。2，％・cr4)=3<4,向量组a”。2。3明线性相关.0(6.乌⑷->0、0则厂(四,4,。3，。4)=3＞其极大线性无关组为|tZ|,a2，a3，aJ=|tZ|,a2，a3，aJ=0=相关；a3,a41*0<=>无关.无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取

（22）（本题满分12分）解（I）先求x和丫的边缘概率密度，得到xe~x0,x>0,x<0,力（歹）=卜'

u，y>0,”0.源（木）=«—,0℃,x0,其它.(II)P{X<1,r<l}=j('dx£'e-vdy=1-2e-1,

P{Y<1}=£/(y)dy