2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点三十余弦定理、正弦定理

三十余弦定理、正弦定理基础落实练 3。分钟6()分一、单选题(每小题5分，共20分)2△/回的内角Z,B,。的对边分别为a,b,c,已知己=或，c=2,cosA=~,则b等o于(). B.4 C.2D.3OA【解析】选D.在△46。中，由余弦定理得a°=Z/+d—26ccos4即5=厅'+4—勺，解得6=3或Z?=—1（舍去）..在△/J比中，a=2小,6=2斓，6=45°,贝|力为（ ）A.60°或120° B.60°C.30°或150° D.30°【解析】选A.在中，由正弦定理得仁=七'所以sin公安2保门2保门45°_理

2^2 —2又a>b,所以4>6,所以力=60°或4=120JI.在△月优中，内角4B,。所对的边分别是a,b,c.若c?=(a—6)2+6,C=~,则△4比o的面积是()A.3B.半C.平D.3^3【解析】选C.因为「2=(a—6)?+6,所以g=言+6—2a6+6.①JI因为c=—,由余弦定理得JIc=a+t/—2abcos-=a~+tf—ab.（2）由①②得一勖+6=0,即ab=6.TOC\o"1-5"\h\zgr-pici,.r1、/「、/ 3^\/5所以s4ABe=;absinC=-X6X-V=-±-.乙 乙 乙 乙.在△?!应■中，sin2J^sin2^+sin2C-sin^sinC,则力的取值范围是（ ）（吟 「71 -A-2 旬 B.仁，HC〔3旬 D.卬n【解析】选C.由正弦定理及sinZWsin夕+sirT。一sin夕sinC得a2Z?2+c—be,即If+c1-3 be1 ji一由余弦定理得cosA= - 2工厂=7，又0V力V”,所以0<A^~.所be 2.be2 3以力的取值范围是（0，y.二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）5.（2022•石家庄模拟）在中，a,b,c分别为N44B,NC的对边，下列叙述正确的是（）A.若sin4=cosB,则△月宽为直角三角形a bB.若——-=——-,则△/比为等腰三角形COSDCOSA—cosAsinBcosCmlA、f心「一人》C.若 =一一= ,则△46。为等腰直角二角形abcjiD.右a=bsinC+ccosB,贝ijC=—【解析】选CD,因为sinA=cosB,所以sinZ=sin（万一，TOC\o"1-5"\h\zji n所以/一5+8=2Aii或1+5~B=2kn+n,ji.、 ji所以A+B=2k^+~或A—B=2kx+~,又0V4+夕Vji, — ji <A-B< n ,所以 或,A 错;ab sin A sin B因为「CGR=rn« A '所以rev R =rne A'COSDCOS n COS D COS Zi所以sin24=sin2B,所以24+26=24n+n或2力-28=24n,71又0V4+6Vn,-n<A-B<n,所以1+6=万或1-6=0,所以△力胸为等腰三角形或直角三角形，B错；、，cosAsinBcosCTOC\o"1-5"\h\z因为 =-7—= ，a b c,cosA sin B cos C所以"" 4=""n= ，sinA sin B sin C所以tanJ=tan 0=1,又 0V4Vn,0<T<n,71所以,所以△力回为等腰直角三角形，c对；因为a=bsinC+ccosB,所以sinJ=sinBsin<7+sinCcosB,所以sin(3+0=sinBsinC+sinCcosB,所以sinBcosC=sinBsinC,又sin#0,所以tanC=l,又OVCVn,ji所以%"，D对.(2022•烟台模拟)在中，角4B,。所对的边分别为a,b,a且(a+b)：(a+c):(b+c)=9：10：11,则下列结论正确的是( )sinA：sinB：sinC=4：5：6是钝角三角形△/回的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△力宓外接圆半径为呼【解析】选ACD.不妨设d+6=9x,a+c=10x,b+c=llx9解得a=4x,b=5x,c=6x(x>0),根据正弦定理可知sinAIsinB：sinC=4：5：6,选项A描述正确；由。为最大边，故C为最大角，a+t)-c +25x-36x 1 an且山立3pH皿^二十会cosC=z-7 —~■三 =p>0,即C为锐角，选项B描述不正确；Lab 2•4x•5x8

25%+36%—25%+36%—16x 32•5x•6x4由题意，力为最小角，。为最大角，cosA=——―-由24 (0,ji),可得24=。，选项C描述正确;若°=6,若°=6,可得2〃=竦呼，△/胸外接圆半径为平，选项D描述正确.三、填空题（每小题5分，共10分）（2021•全国乙卷）记的内角4B,。的对边分别为a,b,c,面积为小，4=60°,a2+c2=3ac,则b=.【解析】S^abc=2acsin4 ，所以己。=4.由余弦定理，得万二才+犬一ac=3ac—ac=2ac=89所以b=2y[2.答案：2小8.已知△/回的内角A,B,。的对边分别为a,6,c,且asinA+bsinB+yf2bsinA=csinC,a=2,b=2y/2,则sinB=.【解析】因为asinA+bsinB+y[2bsinA=csinC9所以 ab=d.由余弦定理得cosC=~—=一半,Zab z又OVCVn,所以°=牛.c=a+Z?2-2aZ?cosC=^+（2^2）2-2X2X2^2X=20,所以c=2/.由正弦定理得W7j由正弦定理得W7j,即域=&L•n，值14IT>nsinB sinB2答案：害5四、解答题（每小题10分，共20分）2ji9.（2021•北京高考）已知在△46。中，c=2bcosB,C=—.o（1）求6的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△44。存在且唯一确定，并求出比边上的中线的长度.①c=/b；②周长为4+24；③面积为&胸=乎.【解析】（1）由已知及正弦定理，sinC=2sinBcos5=sin2B,n所以C=28(舍去)或C+2B=n,所以B=—；b(2)由(1)及已知，c=/b,所以不能选①.选②，BC=AC=2x,则46=24x,故周长为(4+24)x=4+2小，解得x=l,即比三力a2,AB=2y[3,设a'中点为〃，则在△力龙中，由余弦定理得cosBAS+B0-A012+1—4,_立―2XABXBD~~4^3—-2'解得止木.选③，设BC=AC=2x,则4B=2小x,故8做=)X(2x)X(2x)Xsin120°=y/3x=^-~,解得x=^,即BC=AC=y[3,AB乙 q 乙设比1中点为〃则在△?!曲中,由余弦定理得cosAE+B”A廿由余弦定理得cosAE+B”A廿B= 2XABXBD9+""'N3m 2解得AD=^9+""'N3m 2解得AD=^~.10.(2022•邯郸模拟)已知在△力宛中，内角4B,C所对的边分别为a,b,十小ccosB+c=0.(1)求角B；(2)若6=2,求/c+2a的取值范围.【解析】⑴因为6sin,ccosB+c=0,由正弦定理可得sinBsinf+^/3,sinCcosB+sinC—0,因为sin今0,则sinB+小cos8+1=0,即sin8+小cosB=—l,即2sin(5+可)=—1,所以sin(4+高=-g，又0V8Vn,ji ji 4n则kV6+w<—,o o o~n7n/.5H所以8+可=—,解得6=7一.(2)由正弦定理知：=~^7=4,sinAsindsinc所以［5c+2a=4(/sinC+2sinA)sinI——Jl+2sinA=41/5小osA—~~sin力+2sinA=4"T-COSJ+-sinA\=4sin ,冗 一一ji ji n因为OVIVW,所以<A+—<—,b 3 3 2所以乎<sin,+可")〈I，所以2小<4sin（力<4,所以/c+2a的取值范围为（24，4）.'素养提升练 2（）分钟4。分.在△43。中，内角4B,。所对的边分别是a,b,c,若c-acosB=（2a—Z?）cosA,则△4%的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【解析】选D.因为c—acosB—（2a—6）cosA,C=n—（/+囱，所以由正弦定理得sinC-sinAcos8=2sinAcosA-sinBcosA,所以sinAcos5+cosAsin6—sinAcosB—2sinAcos4—sinBcosA,所以cos/（sin6—sinA）=0,所以cos力=0或sin3=sinA,n所以力=5或B=A或6=n-4（舍去），所以△力a'为等腰或直角三角形..（多选题）（2022•潍坊模拟）在△力比1中，角月，B,。的对边分别为a,b,c,2bsinA=y[5acosB,AB=2,AC^2y[6,〃为a1中点，£为〃'上的点，且如为N46C的平分线，下列结论正确的是（）A.cosX.BAC=—B.S△威=C.BE=2 D.AD=y[5【解析】选AD.由正弦定理可知：2sinBsinA—y]5sinAcosB,因为sinIWO,所以2sinB=y15cosB,XsivcB+eos1B=1,所以sin夕,cosB=~:,o o在△46。中，AC=AR+BG—2AB・BCcos6得比-6（负值舍去）.

TOC\o"1-5"\h\zAE+Ad-BG4+24-36 a/6COSZ.BAC^-„TT= 7=—―„;2AB.AC 2X2X2寸6 6AB•BCsin X2X6X坐=2/；,左丁八心—工一乙AEAB1 \/6C.由角平分线性质可知：—=—=-,所以力£=王-,BR=AR+AR-2AB、AE'cos,BR=AR+AR-2AB、AE'cos,3乖4=4+/-2X2X-^-1R,所以旗=9D.在A4BD中,AB=A#+B”2AB•BD。cos^=4+9~2X2X3X-=5,所以力〃=乖.o.在△46。中，三个内角力，B,。的对边分别为a,b,c,若gbcosA=sinB,且a=24，6+c=6,则的面积为.【解析】由题意可得:abcosA=asinB,所以:asinBcos1=sinAsinB,1 i- ji所以tanA=~a=yj3,所以/1=—.利用余弦定理有cos4=，=Lbc(b+c)'—甘-2bc2bc =2，结合a=2，5,6+c=6可得％=8,则S^bc=\besinX8X平=2小.答案:2小.(能力挑战题)在△月比'中，NQ60°"4=2,"是比'的中点,4/=24,RiJAC=；cosZ_MAC=.【解析】由题意作出图形，如图所示：

BB因为N6=60°,所以cos,因为44=2,AJf=2y[3,在△力冽/中，由余弦定理可得：AN+BV-A材_1-2AB•BM=2,22+^~(2^3)2国2X2«BM因为〃是比1的中点,所以6c=2瓜仁8.由余弦定理可得:AB^BC-AC

由余弦定理可得:AB^BC-AC

2AB•BCJ.2TOC\o"1-5"\h\zO2_|_O2一4/ 1即=5，解得2m,zXZXoZ ycri, ，八所以cos^MAC=2AMtA(J2^39=13(2#)2+(22^39=13答案：2回噜5.b+csinA5.b+c2a+c’^sin8-sinCa+c'③2S=一小威•瓦1三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△/鸵中，角4B,。的对边分别为a,b,c且,若,且S△值=乎,求a+c的值.pncR h【解析】选①， =-9।,BP(2a+c)cosB=cos6 Za-rc—bcosC,由正弦定理.刘：=——~ 得：(2sinJ+sin6)cos8=-sinBcosC,smAsinBsin6化简得：2sinAcosB=-(sinBcosC+sinCcosB),因为sin夕cosC+sinCcos3=sin(B+0=sinA,所以2sinAcos5=-sinA；又因为Z£(0,冗)，所以sin4W0,化简得：cosB=_r,因为BG(0,冗)，所以B=^~,因为b=y/13,所以cosB= =一$,化简得：(a+c)~=13+ac,又因为&侬=~^一，TOC\o"1-5"\h\zLac / 4即5acsinX乙 乙ac=~~,所以ac=3,代入(a+c)'=13+ac中，(a+c)JT j(0,JT),所以,又因为,所以才+<?=13—JT j(0,JT),所以,又因为,所以才+<?=13—ac,即(a+c)~=13+ac,因为j&45c但，即:3CsinB=\X坐a「=包^,所以ac=3,代入(a+c)'=13+zc中，(a+c)2=13+3=16,因为a>0,c>0,所以a+c=4.选③，2S=一小曲•比，即2xgacsinB=一第\BA•\~BC|•cosB,其中|威|=c9\~BC\=a9化简得：acsinB=—y13accosB,即tan6=一小，因为四(0,n),所以8=手，又因为6=打，由余弦定理可得：cos1+d—I) 1 3a/3 1B=- =-w，所以才+/=13—ac,即(a+c)'=13+ac,因为5k.=膏~,即彳acLac Z 4 zsinA b+c ,十……皿abc a b+c □口选②，-" 7 ' =—jZ— '由正弦定理-" j =—" „=—" 7,得：-7 =一工- 9即sin5—sinC a+c sin AsinB sin Cb-c a+c“2_|_「2_12 ia(a+c)=(6+c)(b—c),化简得：e=6—ac,则cosB= =—~,因为8仁lac 2sinB=~: ac=~~",所以ac=3,代入(a+c)2=13+ac中，(a+c)2=13+3=16,因为a>0,c>09所以a+c=4.综上所述：选①②③时，结果一样，a+c=4.B 力6.现给出两个条件：①2c—小a=2bcosA,②2asin2-+26cos2-—b+c.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题