单自由度系统受迫振动-振动力学课件

单自由度系统受迫振动主讲：殷玉枫教授太原科技大学机械电子工程学院2007-9-9单自由度系统受迫振动主讲：殷玉枫教授1教学内容单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应非周期激励的响应教学内容单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动2线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动3线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧－质量系统设外力幅值外力的激励频率振动微分方程：x为复数变量，分别与实部和虚部分别与m单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动受力分析kcx0m和相对应和相对应线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧－质量系统设外力4振动微分方程：显含时间t非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应本节内容单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动振动微分方程：显含时间t非齐次微分方程通解齐次微分方程通解5振动微分方程：设：代入，有：复频响应函数

振动微分方程：引入：振幅放大因子相位差则：

：稳态响应的复振幅静变形单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动振动微分方程：设：代入，有：复频响应函数振动微分方程：引入6代入，有：稳态响应的实振幅若：则：无阻尼情况：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动代入，有：稳态响应的实振幅若：则：无阻尼情况：单自由度系统7（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关结论：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相8线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动9稳态响应的特性以s为横坐标画出曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当s<<1（）激振频率相对于系统固有频率很低结论：响应的振幅A与静位移B相当0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性以s为横坐标画出曲线幅频特10稳态响应特性（2）当s>>1（）激振频率相对于系统固有频率很高结论：响应的振幅很小0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性（2）当s>>1（）11稳态响应特性（3）在以上两个领域s>>1，s<<1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的对应于不同值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性（3）在以上两个领域结论：系统即使按无阻尼情12稳态响应特性结论：共振振幅无穷大（4）当对应于较小值，迅速增大当但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性结论：共振振幅无穷大（4）当对应于13稳态响应特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，14稳态响应特性（6）当振幅无极值0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性（6）当振幅无极值0123012345单自由15稳态响应特性记：品质因子在共振峰的两侧取与对应的两点，带宽Q与有关系：阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性记：品质因子在共振峰的两侧取与16稳态响应特性相频特性曲线（1）当s<<1（）以s为横坐标画出曲线相位差位移与激振力在相位上几乎相同（2）当s>>1（）位移与激振力反相（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关0123090180单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性相频特性曲线（1）当s<<1（17有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右：单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右18线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动19受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加显含t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应回顾：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由20受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况假定正弦激励通解：齐次通解非齐次特解初始条件决定单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况假定正弦激励通解：齐21初始条件响应自由伴随振动强迫响应特点：以系统固有频率为振动频率单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应特点：以系统固有频率为振动频22初始条件响应自由伴随振动强迫响应如果是零初始条件自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应如果是零初始条件自由伴随振动23零初始条件(2)s>1(1)s<1稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动00稳态响应全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段零初始条件(2)s>1(1)s<1稳态受24零初始条件0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段零初始条件0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段25由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解＋＝通解：初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解＋＝通解：初始条件响26即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生实际中总是27例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解：如果要使系统响应只以为频率振动必须成立：初始条件：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解28例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解：正确？全解：由求一阶导数：由单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解29全解：因此：的全解：相同不同单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段全解：因此：的全解：相同不同单自由度系统受迫振动/受迫振30例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动全解：如果要使系统响应只以为频率振动初始条件：＝0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动全解：如果31若激励频率与固有频率十分接近令：ε小量考虑零初始条件，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近令：ε小量考虑零初始条件，32代入：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段代入：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段33可看作频率为但振幅按规律缓慢变化的振动这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”0拍的周期：图形包络线：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段可看作频率为但振幅按34当随t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形0响应曲线单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段当随t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形0响应曲35讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应初始条件响应自由伴随振动强迫响应利用前述相同的方法，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应初始条件响应自由伴36初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动自由伴随振动强迫响应0强迫响应全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消37初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件：单自由度系统38线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动39简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比例坐标：动力学方程：基座位移规律：x1相对基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫40动力学方程：回顾：令：有：其中：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动动力学方程：回顾：令：有：其中：单自由度系统受迫振动/410.250.50.751.02.010100190180幅频曲线相频曲线单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动0.250.50.751.02.0101042有阻尼的单自由度承受支撑运动支撑运动：系统固有频率从左到右：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动有阻尼的单自由度承受支撑运动支撑运动：系统固有频率从左到右：43若以绝对位移x为坐标其中：则有：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移x为坐标其中：则有：xfkcmx0mkxxf44单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动45代入：无阻尼情况：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动代入：无阻尼情况：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫46幅频曲线010100.10.250.350.51.0可看出：当时，振幅恒为支撑运动振幅D当时，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动幅频曲线010100.10.250.350.51.47例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为m1=1000kg空载时为m2=250kg悬挂弹簧的刚度为k=350kN/m阻尼比在满载时为车速为v=100km/h路面呈正弦波形，可表示为求：拖车在满载和空载时的振幅比l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为m1=48解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：l=5m因此：得：c、k为常数，因此与成反比因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：因为有：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：l=5m因此49满载时频率比记：满载时振幅

B1，空载时振幅B2有：满载时阻尼比空载时阻尼比空载时频率比因此满载和空载时的振幅比：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz满载时频率比记：满载时振幅B1，空载时振幅B2有：满载时50例：已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计支座B不动求：质量m的稳态振动振幅单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离支座A产生微小竖直振动ambAB解：固有频率：简化图在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度mk：因yA的运动而产生的质量m处的运动动力学方程：振幅：例：已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计支座B不动求51支承运动小结相对位移基座位移规律：绝对位移xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动支承运动小结相对位移基座位移规律：绝对位移xfkcmx052高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为x：机器离开平衡位置的垂直位移则偏心质量的垂直位移：由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：简化图形mxce单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动McxMcxem高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋53me

：不平衡量：不平衡量引起的离心惯性力设：得：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动Mcxme：不平衡量：不平衡量引起的离心惯性力设：得：单自由54B又写为：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动B又写为：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫55例：偏心质量系统共振时测得最大振幅为0.1

m由自由衰减振动测得阻尼系数为假定求：（1）偏心距e，（2）若要使系统共振时振幅为0.01m，系统的总质量需要增加多少？mxce单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动Mcx例：偏心质量系统共振时测得最大振幅为0.1m由自由衰减振动56解:（1）共振时测得最大振幅为0.1

m由自由衰减振动测得阻尼系数为共振时最大振幅（2）若要使系统共振时振幅为0.01mmxce单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动Mcx解:（1）共振时测得最大振幅为0.1m由自由衰减振动测得阻57单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动mxceMcxMcxem偏心质量小结解1：解2：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动mxceM58线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动59机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比动力学方程：：输入：输出代入，得：复频响应函数根据定义，位移阻抗：单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性机械60位移阻抗与复频响应函数互为倒数，也称为导纳

输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗

速度阻抗加速度阻抗机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应、、分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳位移阻抗与复频响应函数互为倒数，也称为导61位移阻抗速度阻抗加速度阻抗机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻尼系数等参数及其它动力特征单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳位移阻抗速度阻抗加速度阻抗机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系62复频响应函数又可写为：模及幅角：同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳复频响应函数又可写为：模及幅角：同时反映了系统响应的幅频特63记实部和虚部为：实频特性曲线和虚频特性曲线单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳发生共振时近似取最大值10101记实部和虚部为：实频特性曲线和虚频特性曲线单自由度64还可以用频率比s或相对阻尼系数作参变量，把画在复平面上，这样得到的曲线称为乃奎斯特图（Nyquictplot）粘性阻尼系数的Nyquict图是一个近似的图，并且在共振点附近，曲线弧长随s的变化率是最大的Nyquict图在结构动力分析上有很多用处-6-4-20246-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳还可以用频率比s或相对阻尼系数作参变量，把画在65单自由度系统受迫振动主讲：殷玉枫教授太原科技大学机械电子工程学院2007-9-9单自由度系统受迫振动主讲：殷玉枫教授66教学内容单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应非周期激励的响应教学内容单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动67线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动68线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧－质量系统设外力幅值外力的激励频率振动微分方程：x为复数变量，分别与实部和虚部分别与m单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动受力分析kcx0m和相对应和相对应线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧－质量系统设外力69振动微分方程：显含时间t非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应本节内容单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动振动微分方程：显含时间t非齐次微分方程通解齐次微分方程通解70振动微分方程：设：代入，有：复频响应函数

振动微分方程：引入：振幅放大因子相位差则：

：稳态响应的复振幅静变形单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动振动微分方程：设：代入，有：复频响应函数振动微分方程：引入71代入，有：稳态响应的实振幅若：则：无阻尼情况：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动代入，有：稳态响应的实振幅若：则：无阻尼情况：单自由度系统72（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关结论：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相73线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动74稳态响应的特性以s为横坐标画出曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当s<<1（）激振频率相对于系统固有频率很低结论：响应的振幅A与静位移B相当0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性以s为横坐标画出曲线幅频特75稳态响应特性（2）当s>>1（）激振频率相对于系统固有频率很高结论：响应的振幅很小0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性（2）当s>>1（）76稳态响应特性（3）在以上两个领域s>>1，s<<1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的对应于不同值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性（3）在以上两个领域结论：系统即使按无阻尼情77稳态响应特性结论：共振振幅无穷大（4）当对应于较小值，迅速增大当但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性结论：共振振幅无穷大（4）当对应于78稳态响应特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，79稳态响应特性（6）当振幅无极值0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性（6）当振幅无极值0123012345单自由80稳态响应特性记：品质因子在共振峰的两侧取与对应的两点，带宽Q与有关系：阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性记：品质因子在共振峰的两侧取与81稳态响应特性相频特性曲线（1）当s<<1（）以s为横坐标画出曲线相位差位移与激振力在相位上几乎相同（2）当s>>1（）位移与激振力反相（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关0123090180单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应特性相频特性曲线（1）当s<<1（82有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右：单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右83线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动84受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加显含t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应回顾：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由85受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况假定正弦激励通解：齐次通解非齐次特解初始条件决定单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况假定正弦激励通解：齐86初始条件响应自由伴随振动强迫响应特点：以系统固有频率为振动频率单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应特点：以系统固有频率为振动频87初始条件响应自由伴随振动强迫响应如果是零初始条件自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应如果是零初始条件自由伴随振动88零初始条件(2)s>1(1)s<1稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动00稳态响应全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段零初始条件(2)s>1(1)s<1稳态受89零初始条件0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段零初始条件0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段90由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解＋＝通解：初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解＋＝通解：初始条件响91即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生实际中总是92例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解：如果要使系统响应只以为频率振动必须成立：初始条件：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解93例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解：正确？全解：由求一阶导数：由单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动解：的全解94全解：因此：的全解：相同不同单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段全解：因此：的全解：相同不同单自由度系统受迫振动/受迫振95例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动全解：如果要使系统响应只以为频率振动初始条件：＝0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动全解：如果96若激励频率与固有频率十分接近令：ε小量考虑零初始条件，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近令：ε小量考虑零初始条件，97代入：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段代入：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段98可看作频率为但振幅按规律缓慢变化的振动这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”0拍的周期：图形包络线：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段可看作频率为但振幅按99当随t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形0响应曲线单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段当随t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形0响应曲100讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应初始条件响应自由伴随振动强迫响应利用前述相同的方法，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应初始条件响应自由伴101初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动自由伴随振动强迫响应0强迫响应全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消102初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件：单自由度系统103线性系统的受迫振动

简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动104简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比例坐标：动力学方程：基座位移规律：x1相对基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫105动力学方程：回顾：令：有：其中：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动动力学方程：回顾：令：有：其中：单自由度系统受迫振动/1060.250.50.751.02.010100190180幅频曲线相频曲线单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动0.250.50.751.02.01010107有阻尼的单自由度承受支撑运动支撑运动：系统固有频率从左到右：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动有阻尼的单自由度承受支撑运动支撑运动：系统固有频率从左到右：108若以绝对位移x为坐标其中：则有：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移x为坐标其中：则有：xfkcmx0mkxxf109单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动110代入：无阻尼情况：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动代入：无阻尼情况：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫111幅频曲线010100.10.250.350.51.0可看出：当时，振幅恒为支撑运动振幅D当时，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动幅频曲线010100.10.250.350.51.112例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为m1=1000kg空载时为m2=250kg悬挂弹簧的刚度为k=350kN/m阻尼比在满载时为车速为v=100km/h路面呈正弦波形，可表示为求：拖车在满载和空载时的振幅比l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为m1=113解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：l=5m因此：得：c、k为常数，因此与成反比因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：因为有：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：l=5m因此114满载时频率比记：满载时振幅

B1，空载时振幅B2有：满载时阻尼比空载时阻尼比空载时频率比因此满载和空载时的振幅比：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz满载时频率比记：满载时振幅B1，空载时振幅B2有：满载时115例：已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计支座B不动求：质量m的稳态振动振幅单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离支座A产生微小竖直振动ambAB解：固有频率：简化图在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度mk：因yA的运动而产生的质量m处的运动动力学方程：振幅：例：已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计支座B不动求116支承运动小结相对位移基座位移规律：绝对位移xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动支承运动小结相对位移基座位移规律：绝对位移xfkcmx0117高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为x：机器离开平衡位置的垂直位移则偏心质量的垂直位移：由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：简化图形mxce单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动McxMcxem高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要