2023届高考数学练习（湖南）-考点01平面向量的概念（解析版）

考点01 平面向量的概念一、单选题(共12小题)1•设Z,E为单位向量，且la-bl=l,贝i»a+2b1=()A.V3 B.V? c.3 D.7【答案】B【分析】通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可.【解答】解：；，石为单位向量，且lZVl=l,可得；2-2之用+萨=1，可得a・b=/,Ia+2b1=Va2+4a-b+4b2=^1+2+4=夜-故选：B.【知识点】向量的概念与向量的模、平面向量数量积的性质及其运算.设a,b为单位向量，且.a-bl=1,贝11a+2b=( )A.3 B. C.7 D.y/l【答案】D【分析】通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可.【解答】解：a,E为单位向量，且所以$一2；兀+萨=1，所以。E得，所以1：+2工=V；2+4I-b+4b2=Vl+2+4=V7.故选：D.【知识点】向量的概念与向量的模、平面向量数量积的性质及其运算.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )• • • • 9 1 . • •A.AB=3BCB.AC=2BC C. D.AC=2CB【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论.【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点,AB=3CB=-3BC，所以选项A错误；AC=2CB=-2BC,所以选项B和选项C错误，选项D正确.故选：D.【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算.下列关于向量的命题正确的是（ ）若|a|=lbI，则a=b B.若Ia1=IbI，则IaI"IbIa=b,b=c,则a=c D.若a//b,b//c,则a"c【答案】C【分析】根据向量的定义即可判断A错误，根据向量长度的定义即可判断B错误，C显然正确，对于选项D,当5=万时，便得不出；4V即得出选项D错误.【解答】解：A.向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出即该选项错误：B.长度不能相互平行，.•.该选项错误；C・Z=E, 显然可得出a=c,・••该选项正确；a//b,EI晨得不出；R；比如彳，W不共线，且5=万，...该选项错误・故选：C.【知识点】向量的概念与向量的模、平行向量（共线）.设向量a,b不共线，向量a+b与2a-kb共线，则实数k=（ ）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算和共线定理，利用向量相等列方程求出k的值.【解答】解：向量a,b不共线，向量a+b与2a-kb共线，则2a-kb=入（a+b）,（2-X）a-（k+入）b=0,f2-X=01k+人=0,解得入=2,k=-2.故选：A.【知识点】平行向量（共线）

.已知平面向量；=(i,m),己=(-1,y)，且Ia-b1=Ia+bI，贝iJm=( )A.3区 B.1 c.V3 D.3>/33 3【答案】B【分析】根据G-EI=|Z+EI即可得出；・E=0,然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值.【解答】解：•••l=l；+EI，,•(a-b)=(a+b)»即a+b-2a・b=a+b+2a・b'a•b=-l+V3m=0,解得o故选：B.【知识点】向量的概念与向量的模TOC\o"1-5"\h\z7.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且标=Z,AD=b,则血=( )A, A tD fC一L TL r T1-A.b--^-a B.b+=a C.a+=b D.a-=b2 2 2 2【答案】A【分析】由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得【解答】解：由题意可得，BE=BA+AD+DE=-a+b+±a=b-3a,2 2故选：A.【知识点】向量的概念与向量的模8.下列说法正确的是(8.下列说法正确的是( )A.若|>后I，则C.若@=1>,则a,b共线B.若|a|=|bI,贝Ua=bd.若ZwE,则Z,E不共线【答案】C【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析、判断正误即可.【解答】解：对于A,向量是矢量，不能比较大小，；.A错误；对于B,向量相等时，模长相等且方向相同，...B错误；对于C,若a=b时，a与b方向相同，则a、b共线，C正确;对于D,若aWb时，也可能a与b方向相同或相反，即a、b可能共线，D错误.故选：C.【知识点】向量的概念与向量的模9.下列说法正确的是（ ）A.零向量没有方向B.向量就是有向线段C.只有零向量的模长等于0D.单位向量都相等【答案】C【分析】根据零向量，单位向量、有向线段的定义即可判断出结论.【解答】解：零向量的方向是任意的，故A选项错误：有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模长等0,故C选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误.故选：C.【知识点】向量的概念与向量的模10.已知点P是AABC的中位线EF上任意一点，且EF平行BC,实数x,y满足证+*而刊同=3，设△ABC,△PBC,APCA,ZkPAB的面积分别为S,Si,S2,S3,若Si=CS,S2=X2S,S3=X3S,则一•入3取最大TOC\o"1-5"\h\z值时，xy的值为（ ）A.— B.— C.— D.—3 4 5 6【答案】B【分析】由题意，先用面积表示出入广入3,再利用基本不等式计算出入的最大值，根据基本不等式等号成立的条件判断出P是中点，再取点M是BC的中点，结合平面基本向量定理得出x,y的值，得出正确选项.【解答】解：由题意，点P在中位线上，故Si=/s,即人产方，S2+S3=/s,Sn So S9S0 1 So+Sq , 1 1 , 1A2.x3^_£x-i=—（—_-）2=-4rX（4s）2=-r~,等号当且仅当Sz=S Ss2 s2 2s2 4 16Sa时成立，即入2•入3取最大值ug,TOC\o"1-5"\h\z・•• • ・ • • 1 ■・•♦ •由于s2=s3,所以P点是EF的中点，取BC的中点为M,贝IJPB+PC=2PM,AP=PM=方（PB+PC）又X+x丽+y同=3,即屈=x而+y同，故万（PB+PC）=x^4y同，故x=y=《，即xy的值为\o"CurrentDocument"2 4故选：B.【知识点】平面向量的基本定理、平行向量（共线）.在AABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有（ ）A.一组 B.二组 C.三组 D.四组【答案】A【分析】根据相等向量的定义，找出大小相等，方向相同的向量.【解答】解：AABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，在如图所示的向量中，相等向量是质和瓦，有1组.故选：A.【知识点】平行向量（共线）.已知点A（3,2）,B（5,1）,则与旋反方向的单位向量为（ ）A.（ ,-在）B.（-2^5（在）c.（-逅,D.（在，-2VS）5 5 5 5 55 5 5【答案】B【分析】根据单位向量的定义，运算求解即可.【解答】解：由题，屈=（2,-1）,:.-AB=（-2>1）,二与标反方向的单位向量为：一==-1一===即（一选，逅）.V（-2）2+l2V（-2）2+l25 5故选：B.【知识点】向量的概念与向量的模二、填空题（共8小题）13.已知ir=(-2,1),n=(6,y),若2it+h与it-2H平行，则|2ir+n|=.【分析】利用平面向量坐标运算法则求出2m+n=(2,2+y),m-2n=(-14,1-2y),再由2it+h与ir-2n平行，求出y=-3.从而2m+r)=(2,-1),由此能求出|2ir+rd.【解答】解：・・・彳=(-2,1),n=(6,y),.*•2m+n=(2,2+y),m-2n=(-14,1-2y),,**2ir+ri与n-2n平行，2X(1-2y)-(-14)X(2+y)=0,解得y=一3./.2m+n=(2,-1),•*-l2ir+nl=^22+(-i)2=V5.故答案为：娓.【知识点】平行向量(共线)14.如图，正六边形ABCDEF的边长为1,则|正-而|=.【分析】连接AE,EC,利用正六边形的性质和余弦定理即可得出菽与血的夹角为60°,求得AC的长度,再利用数量积的定义即可得出.【解答】解：连接AE,EC,则AAEC是等边三角形，正与丽的夹角为60°,•正六边形ABCDEF的边长为1,AB=1,ZABC=120°,在AABC中，由余弦定理可得|菽|2=[2+]2_2xixiXcosl20°=3,IACi-1iBDI=AC*BD=V3XV3Xcos60°=看.*—，♦ •一 . •-・•，• o则lAC-BDl2=(AC-BD)2=IACl2-2AC-BD+IBDI2=3-2X-^+3=3.则I菽-前l=V3.故答案为：M.【知识点】向量的概念与向量的模.已知向量a=(4,3),贝!!|a：=.【答案】5【分析】根据平面向量的模长公式，计算即可.【解答】解：由向量；=(4,3),所以al=^42+32=5-故答案为：5.【知识点】平面向量的坐标运算、向量的概念与向量的模, ,Q.在aABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90°,D在边BC上，延长AD到P,使得AP=9.若PA=mPB+(―2-m)同(m为常数)，则CD的长度是.t分析】以A为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标,再把笆的坐标用m表示.由AP=9列式求得m值，然后分类求得D的坐标，则CD的长度可求.【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0),C(0,3),由PA=mPB+(5-m)PC,^PA=m(PA+AB)+(^—m)(PA+AC)>整理得：PA=-2mAB+(2m-3)AC=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9).由AP=9,得64m'+(6m-9)2=81,解得田=：右或m=0.25当m=0时，p^=(O,-9)，此时C与D重合，|CD=0；当m=E时，直线PA的方程为丫=邑詈:25 8m直线BC的方程为亳专=1，联立两直线方程可得x=^m,y=3-2m.or7221即D(篇令)，2525—符超旨喑...CD的长度是。或孕.5故答案为：0或单.5【知识点】向量的概念与向量的模.已知向量彳=(1,x+i),t=(x,2)＞若满足a"b，且方向相同，则x=【答案】1t分析】由题意利用两个向量共线的性质，求出x的值.【解答】解：•••向量；=(1,x+1),b=(x,2)＞若满足Z//E，且方向相同,...工=左支，求得x=l,或x=-2(此时a=-且，不合题意，舍去),x2 2故答案为：1.【知识点】平行向量(共线).已知AB=a+2b,BC=-5a+6b.CD=7a-2b,则点A、B、C、D中一定共线的三点是【答案】A、B、D【分析】先求出向量菽，观察其与向量司是否共线，再求出向量丽观察其与向量屈是否共线，若两向量过同一点且共线则两表示两向量的有向线段的端点是共线的.【解答】解：•.•菽=标+前=-4；+8总找不到一个实数X使得菽=人而成立，故A,C,D三点不共线.VBD=BC+CD=2a+4b=2(a+2b)=2AB,.•.而与或共线，...三点A、B、D共线故应填A、B、D.【知识点】平行向量(共线).点C在线段AB上，且售=输，则AC= AB,BC=- AB.Cd2【分析】利用黑■=]■,及其向量共线定理即可得出.CB2【解答】解：唔=:，CB2/.AC=-^-AB,BC=-AB.TOC\o"1-5"\h\z5 5故答案为：w5 5A C 'B【知识点】平行向量(共线).向量a=(-1.2),b=(m,4),若向量2a+b与a-2b平行，贝！Im=.【答案】-2【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值.【解答】解：,向量a=(-1.2),b=(m,4),若向量2a+b与a-2b平行，向量2a+b=(-2+m,8),a-2b=(-1-2m,-6),(-2+m)(-6)-8(-1-2m)=0,求得m=-2,故答案为：-2.【知识点】平行向量(共线)三、解答题(共8小题).设A,B,C,D为平面直角坐标系中的四点，且A(2,-2),B(4,1),C(1,3).(1)若标=而，求D点的坐标及|标；(2)设向量：=标，b=BC,若k；-E与二+3石平行，求实数k的值.【分析】(1)可设D(x,y),然后根据而=而即可得出D(3,6),进而可得出向量方的坐标，进而求出|而|的值；(2)可求出kZ-E=(2k+3,3k-2)'I+3b=(-7.9)>然后根据与？+3三平行即可求出k的值.【解答】解：⑴设D(x,y),则而=(x-l,y-3)»且屈二(2,3)»AB=CD,・•・(2,3)=(x-1,y-3),.,Jx-1=2,解得卜=3,ly-3=3Iy=6(3,6)>AD=(1,8)»AD|=V65>2)a=(2,3),b=(-3,2)-ka-b=(2k+3,3k-2),a+3b=(-7,9),且ka-b与a+3b平行，二9(2k+3)+7(3k-2)=0,解得k].o【知识点】平行向量(共线)、平面向量共线(平行)的坐标表示22.已知@=(1,2)»b=(~l>3)»c=(3,-2)-(1)求向量a与a+2b所成角的余弦值；(2)若G+2E)力G+kW),求实数k的值.【分析】(1)可求出；+2*=(-1,8)>可设：与Z+2E所成角为o,然后即可根据cos8=要奔警•即laIla+2bI可求出向量a与a+2b所成角的余弦值：(2)可求出；+2石=(-1,8)，E+kW=(3k-l,3-2k)，然后根据(；+2E)//6+k3)即可求出k的值.【解答】解：(1),**a=(l,2)，b=(~l»3)» a+2b=(-l,8)•设向量a与a+2b所成角为。，则cos8.。6+2芯)_ 15 =则cos8laIla+2bIV5XV6513...向量；与Z+24所成角的余弦值为双亘.13⑵a+2b=(-l»8)，b+kc=(3k-l,3-2k)>又(a+2b)“(b+kc),二(-1)X(3-2k)-8(3k-1)=0,解得22【知识点】平行向量(共线)、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角23.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).⑴求3a+b-2c；(2)若(a+kc)//(2b-a))求实数k.【分析】(1)根据题意，由向量的坐标计算公式计算即可得答案.(2)根据题意，求出(Z+k3)和(25-a)的坐标，由向量平行的坐标计算公式可得2义(3+4k)-(-5)X(2+k)=0,解可得k的值，即可得答案.【解答】解：(1)根据题意，向量a=(3,2),b=(-L2),c=(4,1),则3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6)；(2)向量a=(3,2),b=(-1.2),c=(4,1),则(a+kc)=(3+4k,2+k),(2b-a)=(-5,2),若(a+kc)//(2b-a).贝U2X(3+4k)-(-5)X(2+k)=0,解可得k=-；!：上bi— 16故—亘【知识点】平面向量的坐标运算、平行向量(共线).设两个非零向量届不共线，ab=7?+27Z,66=217+8^,00=77-2^-(1)求证：A、B、D共线;（2）试确定实数k,使k3+4司和4+k6共线•【分析】（1）利用向量的加法法则求出而，得到前=3瓦，利用向量共线充要条件知三点共线.（2）利用向量共线充要条件设出参数X,利用平面向量基本定理，在基底上的分解是唯一的列出方程组求出k.【解答】证明：⑴•.,两个非零向量二■^不共线，AB=T+2^,BC=2l7+8^Z,CD=I7-2Z-BD=BC+CD=377+6T*=3AB,ele2・・・A、B、D共线（2）要使k%7+43和％7+k£共线，只需存在实数人使得卜17+43=入（％7+kgp；.••产，14=k入.'.k=2或-2.【知识点】平行向量（共线）.已知向量a=(4,3cosa),b=(L2tana).(1)关a"求sina的值；—f TT TT(2)若&_1卜且a£(-k，0),求cos(2a+—)的值.2 3【分析】(1)结合向量平行的坐标表示及同角平方关系即可求解，(2)结合向量垂直的坐标表示及二倍角公式，和角公式即可求解.【解答】解：(1)Va=(4,3cosa),b=(1,2tana),若a〃b,则8tana-3cosa=0,.".8sina=3cos2a=3-3sin2a,.\3sin2a+8sina-3=0,即(3sina-1)(sina+3)=0,・.1..sina=一,3(2)Va±b,且aw(--5-,0),2—♦一:.a-b=4+6cosatana=0,9 Jr..sina= ,cosa=JL±l,3 3/.cos2a=2cosa-1=—,9Acos(2a+工)=3及＞＜返=上迎92 9 2 18【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平行向量(共线)26.已知向量a=(1.2),b=(-3,2).(1)当k为何值时，向量kZ+E与；+3石垂直？(2)当k为何值时，向量ka+b与a+3b平行？【分析】(1)向量kZ+E与W+3E垂直，则(kZ+E)・(Z+3E)=0,解方程即可；(2))向量kZ+E与Z+3E平行时，-8(2k+2)=8(k-3),解方程即可.【解答】解：•••向量：=(1,2),b=(-3,2),ka+b=(k-3,2k+2),a+3b=(-8,8)•(1)当ka+b^a+3b垂直时，(ka+b)•(a+3b)=-8(k-3)+8(2k+2)=0,•\k=-5；(2)向量ka+揖a+3b平行时，-8(2k+2)=8(k-3),Ak=—.J【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平行向量(共线)27.如图，平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,AB的中