2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（浙江卷）试题数学【解析版】

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟(浙江卷)试题数学【解

析版】参考公式：若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A,B相互独立，则P(A8)=P(A)P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p,则〃次独立重复试验中事件4恰好发生k次的概率P“也)=C：P*(1-p)i(k=O,l,2,...,n)台体的体积公式y=」(E+斯瓦+S2M其中£肯2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高柱体的体积公式\/=5/?其中S表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式丫3其中S表示锥体的底面积，〃表示锥体的高球的表面积公式S=4nR2球的体积公式V=-7t/?33其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。TOC\o"1-5"\h\z.设集合A={2,4,8,16},8={小45},贝iJAc低B)=( )A.{2,4} B.{4,8} C.{8,16} D.{2,16}.设z=l-i(i为虚数单位)，则|z2+z|=( )A.2G B.痴 C.>/5 D.2.已知x,yeR,p,g>。，则“国<p,|y|<q"是“|x+y|<p+q”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

俯视图俯视图TOC\o"1-5"\h\zQ QA. h— B.乃+4 C.27rh— D.27r+43 3x-2y+2>0.已知实数x,y满足约束条件2x+3y+4N0,则|x-yl的最大值是( )3x+y-l<0A.1 B.2 C.3 D.4.如图，在正方体ABCD-AAG。中，点、E,尸分别是A8和4。的中点，则下列说法正确的是（）AEBAEBa.AC与所共面，AC//平面/0G b.AC与OG垂直，A。//平面FOGAC与AC与EF异面，EF_L平面FOGEF与OC1垂直，EF_L平面/0G.函数〃x）=sm（2：，+江的图象大致为（）TOC\o"1-5"\h\zc n l+. c.(工-丁n। (x+y4)Mll.7乃13万小十 /.对任意x, yeR ,恒有sinx+cosy=2sm—^+-7cosy——-,则sin—cos——等于(V24JV2 ^) 24 24a1+6 口1—V2 r>/3+y/2 八V3-5/2A. d. C. L>. 4 4 4 4.如图，正方体A£,P为平面8乃。内一动点，设二面角A-BA-P的大小为a,直线A7与平面所成角的大小为夕.若cos£=sina,则点尸的轨迹是（）A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线）B.一孚…4 D--96.已知数列｛""｝满足4=1,（6-1）疯:一个/工=。（机N2,mwN*）,）B.一孚…4 D--96147A. 2非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。.在△ABC中，。在线段AC上，2AD=BD=CD=2,ZABC=6O°,则△ABC的面积是—.212.已知aeR,函数/（》）=x—,x>0,J若/（7（1）12.已知aeR,函数/（》）=x4~—+a,xv0,X.已知多项式12（x+l）3=%（%一］）5+々4（X一］）4HO］（x—1）+4,贝|J,。3=•.在ziABC中，ZC=90°,斜边AB=6,。为8。边上一点，且BD=«,sinN84O=；,贝ljsinZADC=,AC=.7.某市有加名男教师和〃名女教师从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为一5 m名男教师和一名女教师被抽中的概率为?，则竺=,记去支教的教师中男教师的人数是则9 nE（4）=.已知点4是直线y=x在第一象限上的动点，点B是直线y=-3x在第二象限上的动点，。为原点，则tanZAOB=；当线段AB长为2时，”08面积的最大值为..已知平面向量2,b.3满足：w=w=m+4，付=2忖一4=2,则的最小值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.（本小题满分14分）已知函数f（x）=sin（x+：卜os（x-：）.

⑴求O的值；(2)当xe0个，求函数y=〃x)+小+：)的取值范围..（本小题满分15分）=2AB,如图，四棱锥C-ABMP中，平面M8C_L平面ABC,MB=MC,PM//AB,2PM=3AB,BC=2也,乙=2AB,(1)求证：AC1PB,(2)当MC=卡时，求直线MC与平面FC所成角的正弦值..(本小题满分15分)8已知数列｛《,｝的首项为正数，其前〃项和sn满足2sli=3azi-4s_3.(1)求实数2的值，使得｛S；+/l｝是等比数列；⑵设或=不二，求数列也;｝的前”项和.-1.(本小题满分15分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：丁=20丫5>0)的焦点为过点尸的直线交C于A,8两点(其中点A位于第一象限)，设点E是抛物线C上的一点，且满足OE_LQ4,连接E4,EB.(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程;(2)记△/$£,aAO尸的面积分别为R,S2,求SS的最小值及此时点A的坐标..(本小题满分15分)已知/(力=乂011匕+1).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(&)+/(为)=±,且占(七，证明：xl+x2>~.e e

答案参考公式：若事件A,B答案参考公式：若事件A,B互斥，则尸(A+B)=尸(A)+尸(8)若事件A,8相互独立，则尸(A8)=P(A)P(8)若事件A在一次试验中发生的概率是p,则〃次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P„也)=C>*(1-p)i(k=0,1,2,...,n)台体的体积公式丫=；(W+J啊+S1/I其中4,52分别表示台体的上、下底面积，〃表示台体的高一、选择题：本大题共10小题目要求的。1.设集合A={2,4,8,16},柱体的体积公式V=S〃其中S表示柱体的底面积，%表示柱体的高锥体的体积公式丫=」5〃3其中S表示锥体的底面积，〃表示锥体的高球的表面积公式S=4nR2球的体积公式V=-nRi3其中R表示球的半径选择题部分(共40分)每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题B={x|xW5},则Ac低B)=( )A.{2,4} B.{4,8} C.{8,16} D.{2,16}【解析】因为8={x|x45},所以QB={x|x>5},又因为4={2,4,8』6},所以则An（Q8）={8,16},故选：CTOC\o"1-5"\h\z.设z=l-i（i为虚数单位），则Iz'zb（ ）A.26 B.Vio C.y/s D.2【解析】因为z=l-i,所以z?+z= +1-i=1—2i+r+1—i=1—3i,所以|z，+z|= +（-3）。= ；故选：B.已知x,ye/?,p,q>o,则“国<p,||<g"是“|x+y|<p+g”的（ ）

A.充分不必要条件A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】充分性：若W<p,|y|<q,则k+34国+帆<0+4，充分性得证;必要性：若卜+引<0+9，取x=y=p=l,q=2,满足条件，但不能得出W<P，|y|<4,故为非必要条件：综上所述，是"|x+y|<p+4”的充分不必要条件，故选：A.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）8 8A.乃+― B.tt+4 C.27rH— D.27r+43 3【解析】原三视图所对应的几何体是一个半圆柱与直三棱柱构成的组合体，如图,半圆柱的底面圆半径为1,高为2,直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2,所以几何体的体积是丫=,〃x『x2+Lx22x2=〃+4.故选：BTOC\o"1-5"\h\z2 2fx-2y+2>0.已知实数x,y满足约束条件2x+3y+420,则|x-y|的最大值是（ ）[3x+y-lW0A.1 B.2 C.3 D.4【解析】令z=|x-y|,其表示（x,y）到直线y=x距离的&倍，画出可行域如下所示：数形结合可知：当且仅当目标函数过点C（L-2）时，卜-乂取得最大值3.故选：C..如图，在正方体ABC。-A4G。中，点E,尸分别是AB和AR的中点，则下列说法正确的是（ ）A.AC与A.AC与EF共面，AC〃平面尸。GAC与E尸异面，EF_L平面尸b.AC与OG垂直，ac〃平面尸。6EF与0G垂直，£F_L平面尸0G【解析】假设E尸_1_平面尸。G,而F£）U面尸。G，则若正方体棱长为2,则尸£>=6，EF=娓,ED=s/5,显然FD2+EF、ED2，不垂直，与印_LfD矛盾，故EFJ■平面尸。6不成立，排除C、D；由ACu面ABC",EF1面ABCR=F,尸任AC,而EeEF,E£面ABC。，.••AC与E尸异面，排除A.故选：B.7.函数/（x7.函数/（x）=sm（j1+4x的图象大致为（）・Ay八/、sin(-2x)-4xsin(2x)+4x“、【解析】/(-x)=——= —=-/(x)，e e故/（幻为奇函数，故排除C,D;/sin（2;r）+4;r_4%（sin（4;r）+84_81八可二/ =£，八2乃尸一苫 二声’而野=警>笔，即/（力>/（2万），e"e?"e2jr结合x->+<»时，e，的增加幅度远大于sin2x+4x的变化幅度，故可确定J（x）=sm（2[+以在J—加时递减,由此可排除b.故选：A.l*. cl*. c.（x^y 乃、 （x+y 乃） ni,.7乃 13万科一怛有smx+cosy=2sm——-+—cos——:,则sin—cos等于k2 4； V2 ^） 24 24A*近B"亚「石+夜444x-yn_ln51X=—【解析】由方程组，2 4 ,解得，x+y乃_13"63小2 4 24y48.对任意”,yeR.如图，正方体A£,P为平面8乃。内一动点，设二面角A-BA-P的大小为a,直线A7与平面48。所成角的大小为夕.若cos/=sina,则点尸的轨迹是(A.圆 A.圆 B.抛物线 C.椭圆D.双曲线【解析】连接AC交8。于O,取耳。中点J,连接。。以0为原点，分别以OA、08、。。1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图:令正方体边长为2,则A(a,O,O),C(-^,O,O)，A(0,O,2),g(O,^,2),P=(O,y,z)面A8R的一个法向量为福=(-710,2),面明仅的一个法向量为衣=(-2四,0,0)贝iJcos（Z而贝iJcos（Z而l）=（-VI0⑵.（-20,0,0）2夜x20故二面角A-8。一q的大小为巳又二面角A-80-P的大小ai(0,叫，则1=1或&=与，由cos£=sina=亭，陕S-，可得力=2，X^P=(-V2,y,z),sinp=A^PAB,sinp=A^PAB,mjr（tAW，2）•（二^,p,z） 整理得z2+4z+20y+2&yz=O,2>[^,小2+y〜+z即y=-42(Z-—1)_逑，是双曲线.故选：D4 z+1 4.已知数列｛4｝满足q=1，(加一1)疯二一机疯'=0(Mj>2,/neN,)，且4伍=sin3巴(〃eN"),则数列｛〃,｝的前21项和为()A.-- B.」47》 C.-966 D.-962 2【解析】由题设，数列｛"瓦｝是各项恒为IxJ1=1的常数列，所以nj£=l,则可=/，又=gsin="?sin誓^,而y=sin^^周期为3的函数且y|“=I=sin,=¥.y|n=2=sin^=-^y-,y|„=3=sin2^=0,所以b,+b2+b}+...+bl9+b20+b2l=-y--[(I2-22)+(42-52)+...+(192-202)]=石cc”、G7x(3+39) 1476用比D--x(3+9+...+39)=--x = -.故选：BTOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。.在aABC中，。在线段4c上，2AD=BD=CD=2,ZABC=60°,则△ABC的面积是.IT 77T 7T【解析】由题意，设ZDBC=ZDCB=e,则/43。=1一。，ZBAD=--0S.0<Q<-f1 _ 2 r-所以，在△丽中[义大=丁笔■，则,/a：.?兀小，整理得tane=也，sinAABDsinZBADsin(--^)sin(---6) 3所以。=[,故=则= 所以Sabc=LaBAC=空.6 2 22 2x—,x>0,.已知aeR,函数f(x)=J 若/•("1))=2,则〃=.X4 4-6Z,X<0,【解析】由解析式可得：/(I)=-1, /(/(D)=/(-I)=-5+a=2,可得。=7..已知多项式X?(x+1)=%(4-1)+fl4(X—1)H Fq(x—1)+4,贝!]4)=,。3二【解析】当x=l时，23=a0=>a0=8,令f=x-lnx=f+l(r+1)?(f+2)3=a5t5+a/+a/+%/+a/+a(],故生/=产・C；•f•2?+2C；•户•2+C；•r•2°=25/故。3=25,故答案为：8；25..在aABC中，ZC=90°,斜边48=6,。为BC边上一点，且8£>="，sinNBAO=g,则sinZADC=,AC=.【解析】A•DCTOC\o"1-5"\h\zDF） AD _ 6 /T在△ABO中，由正弦定理有：-即丁，in/ADB，解得4。乙408=当，sin/BADsinZ.ADB - 3又/ADB+NADC=3所以sinNAOC=sin/AO3=Y^.由已知可得cosNB4O=延，3 3则在△ABD中，由余弦定理有：cosN8W=迎四==述=人。=3应或AO=5&，又因为2x6xAD3AB>AD,故AD=5上（舍）.所以在RzAWC中，WsinZADC=—= =—,解得47=26.AD3V2 3故答案为：,2G315.某市有川名男教师和〃名女教师（m>〃），从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为一5ni名男教师和一名女教师被抽中的概率为:，则竺= ,记去支教的教师中男教师的人数是€，则9nE©= -C12【解析】由随机抽样的概率可知，谭曰=3=>机+〃=9,且萼.=工，得〃加=20,且m>“，解得：〃?=5,〃=4,所以巴=?；4=0,1,2,Cg9 n4%=。）=务'尸（"1）=兽4,即=2）《喘，分布列如下：€012P6595Is

E⑶=0x'+lx'+2陪吟.故答案为:：；y16.已知点A是直线y=x在第一象限上的动点，点B是直线y=-3x在第二象限上的动点，。为原点，则tanZAOB=；当线段A8长为2时，aAOB面积的最大值为.【解析】设直线y=x的倾斜角为a,则tana=l,直线y=-3x的倾斜角为夕，贝l]tan4=-3,TOC\o"1-5"\h\z、 tanZ?-tana -3-1 .依题意得408=〃一a,所以t-ZAO蚱tan（夕-尸田1f=g^=2；因为tan4OB=sm〃。一=2,即■sinZAOB=cos^AOB,cosZAOB25 4所以sin2NAO8+cos2NAOB=-sin2/AO8=l,解得sit?NAO8=—，因为0<ZAO8</r,5i Zc所以sinZAOB= ,cosZAOB=—sinZAOB=——，2 5在4AOB中，由余弦定理得IA邦=|。4|2+|Ofi|2-2\OA\-\OB\cosZAOB,54-752则4=|QA『+|OB|2-^-\OA\-\OB\>10~^|OA|-\OB\,所以|。4|.\OB\<.54-752当且仅当|。小=|08|=生叵时，等号成立，所以aAOB的面积S"AOB=g|OA|・|O印SinNAO84g・笥叵•苧=柠叵，所以aAOB的面积的最大值为叵丑，故答案为：2,在里2 217.已知平面向量£,b，2满足：|a|=|*|=|a+*|,|c|=2|a-c|=2,则@-c|的最小值是.【解析】【解析】如图在直角坐标系中，igc=OC=（2,0）,a=ft4,a-c=C4,•.•同=2|万-4=2,.^.A的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，^tb=OB,a+b=OE,由何=回=恒+可可知<万万>=/4。8=12(1,设/004=。,/4(^7=。,/80尸=60-a,则|C4|=1JCD|=cosejA£)|=sinaO(2-cosaO),A(2-8sasin。)，sina=巴sin。OD\=1——sina=巴sin。OD\=1——r，cosa= I网OA|~|OA|2-cos0,设B（%,%），则x(ix(i=-10A|cos60—tz)=—|OA|,—cosa-i-——sina=_|例y-cos。\OA\~=_|例y-cos。\OA\~29~\O^1+—sin6>--cos6>\

2 21.cosa——sina22—cos。1sin。OA\2\OA\-sin^+—cos=^-s\n0---co:=^-s\n0---co:一方+V3=-sini9+—cos/9=>(%-6)I=sin2^+—cos20+^-sinGeos。②►s^=>(xn+1)2=—sin+—cos2^- sin0cos0①v07 4 4 2①+②得：（/+1）2+（%-6）2=1,则B的轨迹是以G（一l,6）为圆心，1为半径的圆,则p-WT词=|cb|n|gc|-1=26-1.故答案为：26-1三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本小题满分14分）当xel0，?，2x+^e弓,,,sin卜-^,1,所以yeg,l+当.已知函数/（x）=sincositx+一4⑴求了71的值;o，T,求函数y=f(x)+f71XH 4的取值范围.解法二：/(x)=sin2⑵已知函数/（x）=sincositx+一4⑴求了71的值;o，T,求函数y=f(x)+f71XH 4的取值范围.解法二：/(x)=sin2⑵f(x)=sin271/(%)+/【解析】（1）解法一:sin cos—=cos'—=871.3kn71X4--|=—l-cos|2x+—7t71XH—4t,n1+COS4_2+V28712=—(l+sin2x)=1+—(sin2x+cos2x)=1+1+sin2x),则/1 .711+sin—42+V2L2J4[44JI4j2 |_2 219.(本小题满分15分)如图，四棱锥C-ABMP中，平面MBC_L平面ABC,MB=MC,PM//AB,2PM=3AB,AC=2AB,BC=2+,乙ABC=%.(1)求证：AC1PB；(2)当MC=6时，求直线MC与平面P4C所成角的正弦值.【解析】(1)取8C中点。，连接MO,因为用B=MC,所以MO_L8C,因为平面M8C_L平面ABC,因为平面M8CCI平面A8C=8C,MOu平面MBC,所以OMJ•平面ABC,如图建立空间直角坐标系，则4(2,-6,0),B(0,-6,0),C(0,6,0)，设M(O,O,/i),则P(3,0,〃)所以/=(-2,26,0),丽=(-3,->/1-〃)，AC-PB=-2x(-3)+2-73x^->/3j+Ox/i=0,所以AC_LP8(2)因为MC=#，且MO'OC?=叱2,即*+(6)-=(而‘，所以"=G，所以碇=(0,0,一代)，AP=(l,>/3,>/3),衣=(-2,26,0)-. . n-AC=-2x+2\/3y=0设平面PAC的法向量为〃=(x,y,z), 一「 「 ，令x=>/L则y=l,z=-2,所以[nAP=x+>j3y+y/3z=0n=(5/3,l,-2),设直线MC与平面PAC所成角为6,所以

., ।\MC-n\3Gsin0=cos<MC,〃>|=/■-r=--1 %悯娓乂2垃3所以直线MC与平面PAC所成角的正弦值为「20.（本小题满分15分）8已知数列｛。,,｝的首项为正数，其前”项和S”满足2S,,=3a“-不^⑴求实数2的值，使得｛5；+/1｝是等比数列；（2）设"=七一，求数列｛〃｝的前〃项和.8【解析】（1）当〃=1时，2a,=3a,-一，$=",解得5：=a：=8；%当"22时，把4=S,-S,t代入题设条件得：5：=953+8,即S：+1=9（S，+1）,很显然代+1｝是首项为8+1=9,公比为9的等比数列，,4=1；⑵由（1）知｛5；+1｝是首项为S：+l=9x0,公比g=9的等比数列，所以S2-9I八一”—=lx（9--l）-（9--l）=ip___1_A「其" ，"（9n-l）（9n+1-l）8（9"-1）（9""-1） 819"-l9n+1-l）故数列｛4｝的前〃项和为：9292-192-193-193-194-1+若一高卜翳焉L（本小题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：d=2py（p>0）的焦点为F（0,£|,过点尸的直线交C于A,8两点（其中点A位于第一象限），设点E是抛物线C上的一点，且满足O