2010年辽宁名校数学模拟卷分类汇编六：数列

2021年优秀模拟试卷分类汇编第六局部：数列1.〔2021丹东二模〕数列中，，．〔I〕假设，设，求证数列是等比数列，并求出数列的通项公式；〔II〕假设，，，用数学归纳法证明：．2.〔2021抚顺模拟〕数列{}为等差数列，且有，．〔Ⅰ〕求数列{}的通项及其前项和；〔Ⅱ〕记数列{}的前项和为，试用数学归纳法证明对任意N*，都有．3.〔2021东北育才、大连育明二模〕等比数列中，，，等差数列中，，且．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕求数列的前项和．4.〔2021预测〕等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．〔1〕求与；〔2〕求数列的前项和。〔3〕假设对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．5.〔2021银川一中二模〕在数列中，，，．〔1〕证明数列是等比数列；〔2〕设数列的前项和，求的最大值。6.〔2021吉林市质检〕在公比为实数的等比数列中，，且，,成等差数列.〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕设数列的前n项和为，求的最大值.7.〔2021长春市三模〕等差数列满足．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设等比数列各项均为正数，其前项和，假设，求．8.〔2021海南五校联考〕根据如下图的程序框图，将输出的a，b值依次分别记为其中〔I〕分别求数列的通项公式；〔II〕令9.〔2021海口市调研〕设数列的前项和为，且，．〔Ⅰ〕求,,,并求出数列的通项公式;〔Ⅱ〕设数列的前项和为，试求的取值范围．10.〔2021大连双基测试〕 函数，数列满足〔1〕求证：当时，不等式恒成立；〔2〕设为数列的前项和，求证：。11.〔2021模拟〕设数列满足：．〔I〕证明：对恒成立；〔II〕令，判断与的大小，并说明理由．12.〔2021鞍山一中六模〕各项均为正数的数列｛｝的前次和，，，2〔〕,,＞＞。〔1〕求和的值；〔2〕，记数列｛｝的前项和为，求。13.〔2021丹东高三阶段测试〕定义在上的函数和数列满足以下条件：，，，…，，，，…，假设，，令．〔I〕证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；〔II〕设，，求使取最大值时的值．14.〔2021丹东高三阶段测试〕数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有、、成等差数列．〔I〕求数列的通项公式；〔II〕设，数列的前项和是，求证：．2021年优秀模拟试卷分类汇编第六局部：数列详解答案1.〔I〕证明：∵，…………〔2分〕∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，…………〔4分〕∴，即，得，所以．…………〔6分〕〔II〕证明：〔i〕当时，∵，∴，∴，∴，不等式成立；…………〔8分〕〔ii〕假设当时，成立，那么，当时，去证明∵，∴；∵，∴；∴，所以不等式也成立，由〔i〕〔ii〕可知，不等式成立．…………〔12分〕2.〔Ⅰ〕解：因为{}为等差数列，且3+15=6+12，所以，得，……2分由及联立解得，……2分因此得，……2分〔Ⅱ〕证明：，〔1〕当时，，关系成立……1分〔2〕假设当时，关系成立，即，那么……1分，即当时关系也成立……3分根据〔1〕和〔2〕知，关系式对任意N*都成立……1分3.解：〔Ⅰ〕因为，所以…………2分又因为，所以，故公比…………4分所以………6分〔Ⅱ〕设公差为，所以…8分由，可知，……10分所以……分4.【解析】〔1〕设的公差为，的公比为，那么为正整数，，依题意有，即，解得或者〔舍去〕，故。〔4分/〔2〕。，，两式相减得，所以。〔8分〕〔3〕，∴，〔10分〕问题等价于的最小值大于或等于，即，即，解得。〔12分〕5.证明：〔Ⅰ〕由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．=故n=1，最大0．6.解：〔Ⅰ〕设数列的公比为q(q∈R)，依题意可得2(),〔2分〕即2(),整理得， 〔4分〕∵q∈R，∴q2，.∴数列的通项公式 〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，∴ ∴〔10分〕∵n≥1，∴≥，∴≤3∴当时，有最大值3.〔12分〕7.解：〔1〕设等差数列首项为a，………………3分解得………………5分………………6分〔2〕设各项均为正数的等比数列即………………8分解得………………10分或………………12分8.解：〔I〕依框图得， …………1分即是首项为1，公差为2的等差数列 …………2分 …………3分又 …………4分即是首项为3，公比为3的等比数列…………5分 …………6分〔II〕由〔I〕得 …………7分①…………8分②………9分将①—②得：…………10分………………11分 …………12分9.解：〔Ⅰ〕由 得 所以，数列是以1为首项，4为公差的等差数列。…………3分 …………7分〔求出给3分，猜出通项公式给5分〕〔Ⅱ〕 ……9分 又，易知单调递增，故 ，即得取值范围是…………12分10.证明：〔1〕①令， 当时，∴在上是减函数， 所以，∴恒成立； 2分 ②令， 设的根为，即． ∵在上是减函数， 所以时，，为增函数； 时，，为减函数；． ∵，∴恒成立， 即． 综上：当时，不等式恒成立； 6分〔2〕由条件知，， 由〔Ⅰ〕得，即， 由可知数列为递增数列， 所以．8分 由得， ∴ ． 综上：〕成立， 当时，等号成立。 12分11.解：〔1〕证法一：当时，，不等式成立，假设时，成立 〔2分〕，当时，．〔5分〕时，时成立综上由数学归纳法可知， 对一切正整数成立 〔6分〕证法二：当时，，结论成立；假设时结论成立，即〔2分〕 当时，由函数的单增性和归纳假设有 〔4分〕,因此只需证：，而这等价于，显然成立，所以当是，结论成立；综上由数学归纳法可知， 对一切正整数成立 〔6分〕证法三：由递推公式得， 〔2分〕上述各式相加并化简得 〔4分〕又时，显然成立， 故〔6分〕〔2〕解法一：〔8分〕 〔10分〕又显然，故成立 〔12分〕解法二： 〔由〔1〕的结论〕〔8分〕 〔10分〕所以 〔12分〕 解法三： 〔8分〕 〔10分〕 故，因此 〔12分〕12.解：〔1〕时，2〔∴=或∵=2,＞＞,∴,≥2时,2〔=〔〔那么有=〔〕〔〕,(≥2)∵＞0∴〔≥2〕∴∵=2021∴=1〔2〕由〔1〕∴=∵=+++∴++∴=+〔++=1-∴13.解：〔I〕∵，∴，∴∴数列是等比数列，……………〔4分〕∵∴．……………〔6分〕〔II〕方法1：，∵，∴数列是递减的等差数列，……………〔8分〕令得，∵，∴………〔10分〕∴数列的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，∴时，取最大值．……………〔12分〕方法2：，∵，∴数列是等差数列，……………〔8分〕，对称轴直线，∵，∴，……………〔10分〕∵，∴时，取最大值．…………〔12分〕14.解：〔I〕由∴，得∴，