概率论与数理统计综合练习册

综合练习一一、填空题(3×4＝12分)1.设，，，则_____________.2.设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，且，则_________.3.从标有号码1，2，…，9的9张卡片中任取2张，用ξ表示取到的号码的平均值，则_______.4.设总体，是总体样本，则________________.二、选择题(3×4＝12分)1.设是总体ξ的样本，则下列统计量中，是总体均值的最小方差无偏估计的是[].(A)；(B)；(C)；(D).2.设A，B是两个事件，则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为[].；(B)；(C)；(D)3.设随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程；(B)；(C)1；(D)4.设随机变量ξ与η相互独立，其概率分布为(A).有实根的概率为[].(A).ξ01和η01pp则下列式子中，正确的是[].；(B)；(C)三、完成下列各题(6×8＝48分)(A)；(D).1.已知10个元件中有7个合格品及3个次品，每次随机抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品都找到为止，求需要测试次数ξ的概率分布.2.设，求的概率密度.3.甲、乙、丙3门炮向某一目标射击，每次射击时，甲、乙、丙击中目标的概率分别是0.l，0.2，0.3，问3门炮需齐射多少次，方能使目标被击中的概率不小于99％？(设各炮各次射击时是否击中目标是相互独立的.)4.某厂生产的某种设备的寿命ξ(单位：年)服从指数分布，其概率密度为，工厂规定，若出售的设备在1年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备获利100元，调换1台设备厂方需花费300元，试求厂方出售1台设备净获利的数学期望.5.设某厂生产的灯泡的寿命，如要求，问σ应满足什么条件？6.设某种零件的长度服从正态分布，测得8个零件长度(单位：mm)为97，99，94，102，103，97，98，102.(1)若已知μ=100，求的置信区间；(2)未知μ，求的置信区间.(均取α=0.05)7.计算机在做加法运算时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整数误差是相互独立的，且它们都在(－0.5，0.5)上服从均匀分布，如将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？8.设总体ξ的样本观察值为，证明：是总体方差的无偏估计.四、(9分)设(ξ，η)的概率密度η是否独立；(2)求ξ，η的协方差.，(1)求ξ，η的边缘概率密度，说明ξ，五、(9分)在长度为L的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段长度之比小于的概率.六、(10分)在8件产品中，次品数从0到4是等可能的，检查其中任意4件，发现3件是合格品，l件是次品，问在剩下的4件产品中，再任取2件来检查，这2件都是合格品的概率是多少？综合练习二一、填空题(3×4＝12分)1.设事件A，B相互独立2.设，k，h为常数，，，则_____________.，，则相关系数____________.3.将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.4.将6张同排连号的电影票随机分给3个男生，3个女生，则男女生相间而坐的概率为_______________.二、选择题(3×4＝12分)1.袋中有3个白球，2个红球，现从中依次取出2个(取后不放回)，则第2次取到红球的概率为[].(A);(B);(C);(D).2.已知事件A及B的概率都是，则下列结论中，一定正确的是[].(A);(B);(C);(D).3.设随机变量，已知E(ξ)＝0.5，D(ξ)＝0.45，则n，p的值为[].(A)n=5，p=0.3;(B)n=10，p=0.05;(C)n=1，p=0.5;(D)n=5，p=0.1.4.若随机变量ξ与η满足D(ξ＋η)=D(ξ－η)，则下列式子中，正确的是[].(A)ξ与η相互独立;(B)ξ与η不相关;(C)D(ξ)=0;(D)D(ξ)·D(η)＝0.三、完成下列各题(6×8=48分)1.猎人在距离100m处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第1次未击中，则进行第2次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m，如果第2次又未击中，则进行第3次射击，这时距离变为200m，假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率.2.测量到某一目标的距离时发生的随机误差ξ(m)具有概率密度至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率.，求在3次测量中，3.每次射击时，击中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中，有180到220发炮弹命中目标的概率.4.设随机变量ξ，η相互独立，，，求ξ＋η的概率分布及P{ξ>η}.，其中θ>0，若样本观测值为5.设总体ξ的概率密度为，求θ的极大似然估计.6.两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得它们的电阻(单位：Ω)如下第一批：0.143，0.142，0.143，0.137；第二批：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140.设两批导线的电阻分别服从正态分布及，其中，，，，都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差－对应于置信概率0.95的置信区间(假定=).7.为了估计灯泡使用时数的数学期望μ及标准差σ，试验10个灯泡，得到=1500h，s＝20h，设灯炮使用时数服从正态分布，求(1)求μ的置信区间；(2)求σ的置信区间.(均取α=0.05)8.设三事件A，B，C相互独立，证明A－B与C也相互独立.四、(9分)甲、乙、丙3人各自加工1个产品，检验的结果是在3个产品中发现1个次品，设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是0.1，0.2，0.3，分别求这个次品是甲、乙、丙加工的概率.五、(9分)甲、乙两人约定某日上午8:00~12:00在某地相会，设两人到达该地的时间是相互独立的，求两人相会前等待时间的数学期望及方差.六、(10分)甲、乙两人在某一局乒乓球比赛时，双方得分打成20:20平，按规定，在后面的比赛中，只有当某一方连得2分时，方能取得该局的胜利.设在后面的比赛中，甲每个球得分的概率均为0.6，乙均为0.4，各球的胜负是相互独立的，求甲在该局获胜的概率.综合练习三一、填空题(3×4=12分)1.设事件A，B，C相互独立，P(A)=0.2，P(B)=0.4，P(C)=0.7，则=_______________.2.设ξ～B(10，0.3)，则在P{ξ=m}(m=0，l，…，10)中，最大的值是_________________.3.设ξ～N(2，σ2)，P{2<ξ<4}=0.3，则P{ξ<0}=_____________.4.设ξ服从泊松分布P(λ)，抽取样本，，…，，则样本均值的概率分布为_____________.二、选择题(3×4=12分)l.从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为[].(A)；(B)；(C)；(D).2.设总体ξ～N(μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L与置信度1－α的关系是[].(A)当1－α缩小时，L缩短；(B)当1－α缩小时，L增长；(C)当1－α缩小时，L不变；(D)以上说法都不对.3.设离散型随机变量ξ的分布律为P{ξ=k}=αβk(k=1，2，…)，且α>0，则β为[].(A)；(B)；(C)；(D).4.设两个相互独立的随机变量ξ和η的方差分别为6和3，则随机变量2ξ－3η的方差是[].(A)51l；(B)21；(C)－3；(D)36.三、完成下列各题(6×8=48分)1.射击运动中，1次射击最多能得10环，设某运动员在1次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在5次独立射击中得到不少于48环的概率.2.设ξ在[－2，2]上服从均匀分布，η=ξ2，求η的概率密度及D(η).3.设二维随机变量(ξ，η)的概率密度为，其中σ>0，求随机变量U=aξ＋bη，V=aξ－bη的相关系数ruv，其中a，b为常数.4.a，b，c3个盒子，a盒中有1个白球和2个黑球，b盒中有1个黑球和2个白球，c盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a盒；若出4点，则选b盒；若出现5，6点，则选c盒.在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a盒的概率.5.某系统备有30个电子元件al，a2，…，a30，先使用al，若al损坏，立即使用a2；若a2损坏，则立即使用a3；…直至30个元件用尽.设ai的寿命(单位：h)服从参数为λ=0.1的指数分布，ξ为30个元件使用的总时间，求ξ超过350h的概率.6.设η服从参数为1的指数分布，ξ1，ξ2是0-l分布，分布及E(ξ1ξ2).；求(ξ1，ξ2)的概率7.在半径为R的圆的某一直径上任取一点，过该点做垂直于该直径的弦，求弦长的数学期望及方差.8.设随机变量ξ的数学期望为E(ξ)，方差为D(ξ)，证明对任意实数C，均有.四、(9分)化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70℃及80℃的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力(单位：kg)的数据如下70℃时，20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80℃时，17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.已知产品断裂力服从正态分布，检验(1)两种温度下，产品断裂力的方差是否相等；(取α=0.05)(2)两种温度下，产品断裂力的平均值是否有显著差异.(取α=0.05)五、(9分)设ξ，η相互独立，ξ在[0，1]上服从均匀分布，η服从参数有实根的概率.的指数分布，求方程六、(10分)甲、乙两排球队进行比赛，若有一队胜4场，则比赛结束.假定甲队在每场比赛中获胜的概率均为0.6，乙均为0.4，求比赛场数的数学期望及甲队胜4场的概率.综合练习四一、填空题(3×4=12分)1.一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.2.在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为_____________________.3.ξ的分布函数则ξ的分布列为_________________________.4.ξ与η独立，且都服从N(0，32)分布，ξ1，ξ2，…，ξ9和η1，η2，…，η9分别是来自于总体ξ和η的随机样本，则统计量服从______________分布.二、选择题(3×4=12分)1.对于任意两个事件A，B，有P(A－B)=[].(A)P(A)－P(B)；(B)P(A)－P(B)＋P(AB)；(C)P(A)－P(AB)；(D)P(A)＋P()－P(A).2.设随机变量ξ~N(μ，σ2)，则随σ的增大，P{|ξ−μ|<σ}[].(A)单调增加；(B)单调减小；(C)保持不变；(D)增减不定.3.设两个随机变量ξ与η相互独立，且服从同分布P{ξ=－1}=P{η=－1}=，P{ξ=1}=P{η=1}=，则下面各式中，成立的是[].(A)P{ξ=η}=；(B)P{ξ=η}=1；(C)P{ξ+η=0}=；(D)P{ξη}=.4.设ξ和η的方差存在且不为零，则D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)是ξ和η[].(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)独立的充分条件，但不是必要条件；(C)不相关的充分必要条件；三、完成下列各题(6×8=48分)(D)独立的充分必要条件.1.设有一群高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，今有一架敌机入侵领空，欲以99％的概率击中它，问需要多少高射炮射击.2.把4个球随机地放入3个盒子中去，设ξ，η可分别表示第1个、第2个盒子中的球数，求(l)(ξ，η)的分布；(2)边缘分布；(3)已知η=1时ξ的条件分布.3.做一件事情，一次成功的概率p=0.1，若进行100次重复独立试验，问事情最可能成功多少次，并求出其概率.4.设ξ服从泊松分布P{ξ=k}=(k=0，1，2，…)，问当k取何值时，P{ξ=k}为最大.5.已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2)，求这本书印刷错误的总数不超过70的概率.6.已知高度表的误差的标准差σ=15m，求飞机上应该有多少这样的仪器，才能使得以概率0.98保证平均高度的误差的绝对值小于30m？假定高度表的误差服从正态分布.7.求抛硬币多少次，才能使子样均值落在0.4和0.6之间的概率至少为0.9？8.设(ξ，η)在区域D：0<x<1，|y|<x内服从均匀分布，求(1)关于ξ的边缘分布密度；(2)η=2ξ+l的方差．四、(9分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现在从中随机抽取1件，记(i＝l，2，3)试求(1)ξ1和ξ2的联合分布；(2)ξ1和ξ2的相关系数.五、(9分)设ξ，η独立，证明D(ξ－η)=D(ξ)+D(η).六、(10分)某城市每天的耗电量不超过100万kW·h，每天的耗电量与百万kW·h的比值称为耗电率，设该城市的耗电率为ξ，其分布密度为如果发电厂每天的供电量为80万kW·h，问任意一天供电量不足的概率为多少？综合练习五一、填空题(3×4=12分)1.已知P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=，则A，B，C全不发生的概率为_________________.2.设ξ的密度，则ξ的期望为_______________，方差为_____________________.3.设ξ服从参数为1的指数分布，则=_______________________________.4.设ξ1，ξ2，ξ3相互独立，其中ξ1在[0，6]上服从均匀分布，ξ2服从正态分布N(0,22)，ξ3服从参数λ=3的泊松分布，记η=ξ1+2ξ2+3ξ3，则D(η)=_________________________.二、选择题(3×4=12分)1.设A，B为任意两个事件，且，P(B)>0，则下列选项中，必然成立的是[].(A)P(A)＜P(A|B)；(B)P(A)≤P(A|B)；(C)P(A)＞P(A|B)；(D)P(A)≥P(A|B).2.设两个相互独立的随机变量ξ和η分别服从正态分布N(0,1)和N(1,l)，则[].(A)P{ξ+η≤0}=；(B)P{ξ+η≤1}=；(C)P{ξ－η≤0}=；(D)P{ξ－η≤1}=.3.设两个相互独立的随便机变量ξ和η的方差分别为4和2，则3ξ－2η的方差是[].(A)8；(B)16；(C)28；(D)44.4.设x1，…，xn是母体ξ的n个子样.，，，则[].(A)s是σ的无偏估计量；(B)s是σ的极大似然会计量；(C)s是σ的一致估计量；(D)s与相互独立.三、完成下列各题(6×8=48分)1.任取两个真分数，求它们乘积不大于下的概率.2.设ξ在上服从均匀分布，求η=cosξ的概率密度.3.一电子仪器由两个部件构成，以ξ和η分别表示两个部件的寿命(单位：h)，已知ξ和η的联合分布函数为问(1)ξ与η是否独立；(2)求两个部件的寿命都超过100h的概率．4.在长为L的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望及均方差.5.为了确定事件A的概率，需要进行一系列的试验，在100次试验中，A发生了36次；如果取频率0.36作为A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率.6．要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005(Ω)，今在生产的一批导线中取样品9根，测得s＝0.007(Ω)，设总体服从正态分布，问在水平α=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大.7.过半径为R的圆周上的一点，任意做圆的弦，求这些弦的平均长度.8.从南郊乘汽车前往北郊火车站乘火车，有两条路线可走．第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N(50,102)；第二条路沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(60,42)，若有70min时间可用，问应走哪条路？四、(9分)2台同样的自动记录仪，每台记录仪无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中1台，当其发生故障时，停用，而另1台自动开动．试求2台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．五、(9分)设总体ξ服从指数分布，其密度(a>0为常数)求子样均值的分布．六、(10分)设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布，试求(1)相继两次故障的时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8h的情况下，再无故障运行8h的概率.综合练习六一、填空题(3×4=12分)1.已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,以及P(B|A)=0.8,则P()=____________.2.若ξ在(1,6)上服从均匀分布,则x2+ξx+1=0有实根的概率是______________.3.某灯泡使用时数在1000h以上的概率为0.2,今3个灯泡在使用1000h以后最多只坏1个的概率为________.4.设由来自正态总体ξ~N(μ,σ2),容量为9的简单随机样本得样本均值=5,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___________________________.二、选择题(3×4=12分)1.若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0,则[].(A)A和B互不相容;(B)AB是不可能事件;(C)AB未必是不可能事件;(D)P(A)=0或P(B)=0.2.设随机变量ξ的密度函数φ(x),且φ(－x)=φ(x),F(x)是ξ的分布函数,则对任意数a,有[].(A)F(－a)=1－;(B)F(－a)=1－;(C)F(－a)=F(a);(D)F(－a)=F(a)－1.3.设随机变量ξ与η相互独立,其概率分布为ξ－11和η－11pp则下式中,正确的是[].(A)ξ=η;(B)P{ξ=η}=0;(C)P{ξ=η}=;(D)P{ξ=η}=1.4.设x1,…,xn是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,是平均值,记;;;.则服从自由度为n－1的t分布的随机变量是[].(A);(B);(C);(D).三、完成下列各题(6×8=48分)1.第一箱中有10个球,其中有8个白球和2个黑球.第二箱中有20个球,其中有4个白球和16个黑球.现从每箱中任取1球,然后从这两球中任取1球.问取到白球的概率是多少？2.某种型号的电子管的寿命ξ(单位：h)具有以下的概率密度:子,任取5只,问其中有2只寿命大于1500h的概率是多少？现有一大批此种管3.某工厂生产过程中,出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批.检查产品质量时,在每批中任取一半来检查,若发现次品不多于1个,则认为这批产品是合格的,求一批产品被认为是合格的概率.4.点随机地落在中心在原点,半径为R的圆周上,并且对弧长是均匀分布的.求这点的横坐标的概率密度.5.设和分别是取正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两组子样(x1,…,xn)和(y1,…,yn)的均值,试确定n,使两组子样的均值之差超过σ的概率大约为0.01.6.某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试求有10个或更多终端在使用的概率.7.某转炉炼某特种钢,每一炉钢的合格率为0.7,现有若干个转炉同时冶炼,若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99％,问同时至少要有几个转炉炼钢？8.对某一目标连续射击,直到命中n次为止,设每次射击的命中率为p,求子弹消耗量的数学期望.四、(9分)设二维随机变量(ξ,η)的密度为(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度.五、(9分)设总体ξ~P(λ),抽取样本x1,…,xn,求样本均值的概率分布、数学期望及方差.六、(10分)设随机变量ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,相互独立,且同分布.P(ξi=0)=0.6,P(ξi=1)=0.4(i=1,2,3,4),求行列式的概率分布.综合练习七一、填空题1.已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,以及P(B|A)=0.8,则P()=____________.2.设事件A，B，C相互独立，P(A)=0.2，P(B)=0.4，P(C)=0.7，则=_______________.3.一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.4.将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.5.设X～N(2，σ2)，P{2<X<4}=0.3，则P{X<0}=_____________.6.设X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0,22)，X3服从参数λ=3的泊松分布，记Y=X1+2X2+3X3，则D(Y)=_________________________.7.在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为_____________________.二、选择题1.对于任意两个事件A，B，有P(A－B)=[].(A)P(A)－P(B)；(B)P(A)－P(B)＋P(AB)；(C)P(A)－P(AB)；(D)P(A)＋P()－P(A2.设随机变量X在[0，5]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为[].；(B)；(C)1；(D)3.设随机变量X与Y相互独立,其概率分布为).(A).Xp－11和Y－11p则下式中,正确的是[].(A)X=Y;(B)P{X=Y}=0;(C)P{X=Y}=;(D)P{X=Y}=1.4.设A，B为任意两个事件，且，P(B)>0，则下列选项中，必然成立的是[].(A)P(A)＜P(A|B)；(B)P(A)≤P(A|B)；(C)P(A)＞P(A|B)；(D)P(A)≥P(A|B).5.设两个相互独立的随便机变量X和Y的方差分别为4和2，则3X－2Y的方差是[].(A)8；(B)16；(C)28；(D)44.6.若随机变量X与η满足D(X＋Y)=D(X－Y)，则下列式子中，正确的是[].(A)X与Y相互独立;(B)X与Y不相关;(C)D(X)=0;(D)D(X)·D(Y)＝0.7.设总体X～N(μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L与置信度1－α的关系是[].(A)当1－α缩小时，L缩短；(B)当1－α缩小时，L增长；(C)当1－α缩小时，L不变；(D)以上说法都不对.8.设随机变量，已知E(X)＝0.5，D(X)＝0.45，则n，p的值为[].(A)n=5，p=0.3;(B)n=10，p=0.05;(C)n=1，p=0.5;(D)n=5，p=0.1.三、完成下列各题1.a，b，c3个盒子，a盒中有1个白球和2个黑球，b盒中有1个黑球和2个白球，c盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a盒；若出4点，则选b盒；若出现5，6点，则选c盒.在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a盒的概率.2.某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试求有10个或更多终端在使用的概率.3.已知(X,Y)的概率密度函数为，求：（１）相关系数；（２）判断X与Y的独立性。4.为了估计灯泡使用时数的数学期望μ及标准差σ，试验10个灯泡，得到=1500h，s＝20h，设灯炮使用时数服从正态分布，求(1)求μ的置信区间；(2)求σ的置信区间.(均取α=0.05)5.化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70℃及80℃的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力(单位：kg)的数据如下70℃时，20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80℃时，17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.已知产品断裂力服从正态分布，检验(1)两种温度下，产品断裂力的方差是否相等；(取α=0.05)(2)两种温度下，产品断裂力的平均值是否有显著差异.(取α=0.05)6.设总体X的概率密度为是取自总体X的简单随机样本。求：（1）的矩估计量；（2）的方差。综合练习八一、填空题1.设，，，则_____________.2.设事件A，B相互独立，，则_____________.3.某灯泡使用时数在1000h以上的概率为0.2,今3个灯泡在使用1000h以后最多只坏1个的概率为________.4.从标有号码1，2，…，9的9张卡片中任取2张，用X表示取到的号码的平均值，则E(X)=______.5.X的分布函数6.设X的密度则X的分布列为___________________.，则X的方差为_____________________.7.若X在(1,6)上服从均匀分布,则x2+Xx+1=0有实根的概率是______________.二、选择题1.已知事件A及B的概率都是，则下列结论中，一定正确的是[].(A);(B)2