2022-2023学年数学人教A版必修一单元测试第三章 函数的概念与性质（B能力解析版）

2022-2023学年数学人教A版2019必修一单元卷第三章函数的柢念与性质能力提升渊试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(2022.广东•江门市广雅中学高一期中)下列函数为奇函数的是( )A.y=x2 B.y=x3 C. D.y=>/x【答案】B【解析】【分析】根据奇偶函数的定义判断即可：【详解】解：对于A：y=f(x)=x2定义域为R,且/(-x)=(-x)2=x?=/(x),所以y=r为偶函数，故A错误；对于B：y=g(x)=d定义域为R,Mg(-X)=(-X)3=-x3=-g(x),所以y=v为奇函数，故B正确；对于C：y= =|耳定义域为r,且〃(-X)=卜耳=耳=〃(勾,所以y=W为偶函数，故c错误；对于D：y=4定义域为［0,+8),定义域不关于原点对称，故y=«为非奇非偶函数，故D错误；故选：B(2020.山东•高考真题)已知函数/(x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数4，/，总有成立,则函数“X)一定是()W一百

A.奇函数 B.偶函数【答案】cC.增函数 D.减函数【解析】【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数X"反，总有"引一 成立,Xj-X等价于对于任意两个不相等的实数占<，所以函数/(x)一定是增函数.0，总有/(%)</(毛).故选：C3.(2022•陕西西安•高二期末(文))已知函数尸(x)=/(x)+g(x),其中〃x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数，且乂;1=19,尸⑴=9,则F(2)=( )A.3 B.8【答案】cC.9 D.16【解析】【分析】根据题意设/(x)=h,g(x)=生，则尸(x)=/(x)+g(x)=匕+”，然后由尸佶］=19,F⑴=9列方程组求出％,mx x J的值，从而可得尸(x)的解析式，进而可求出尸(2)【详解】根据题意设/(x)=H,g(x)=V,贝I］尸(x)=/(x)+g(x)=fcr+3,〜-A+3/n=19〜-A+3/n=19所以3 ,解得k+m=9k=3〃？=6所以尸(x)=3x+9,X所以尸(2)=3x2+g=9,故选：C(2022•安徽•亳州二中高二期末)已知心7)=4/+3,则〃x)=( ).A.x~—2x+4 B-f+2x C.x2—2x—1 D.f+2x+4【答案】D【解析】【分析】利用换元法求解函数解析式.【详解】令,=2x—l,则》=一，+3=/+2r+4；所以/(x)=x2+2x4-4.故选：D.(2021•全国•高考真题(文))设〃x)是定义域为R的奇函数，且/'(l+»n).若则41)=()TOC\o"1-5"\h\z5 „ 1 〃1A.一一 B.一一 C.- D.-3 3 3 3【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得;'(g)的值.【详解】由题意可得“(升小-/(I),故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.(2022•河南安阳•模拟预测(文))设函数"力=加-*-3+”，若函数〃x-l)的图象关于点(1,0)对称，则a=( )A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据〃x-l)的图象关于点(1,0)对称可得〃x)为奇函数，进而求得。即可【详解】因为函数〃x-l)的图象关于点(1,0)对称，故函数〃x)的图象关于点(0,0)对称，即/(%)为奇函数，故/'(-*)+/(X)= -(-x)3+a+ar3-x~3+a-2a=0,所以a=0.故选：B.(2022•全国•高考真题)已知函数f(x)的定义域为R,Kf(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),/(I)=1,则ff(k)=()k=\A.一3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(1),/(2),…,/(6)的值，即可解出.【详解】因为/(x+y)+/(x_y)=〃x)/(y),令x=l,y=0可得，2/(1)=/(1)/(0),所以"0)=2,令x=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y),BP/(y)=/(-y),所以函数/'(力为偶函数,令y=i得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知/(x+2)=_/(x_l),/(x-l)=-/(x-4),故f(x+2)=〃x-4),即/(x)=/(x+6),所以函数/(x)的一个周期为6.因为〃2)=〃1)一〃0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以一个周期内的/⑴+/(2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,所以£/仕)=〃1)+〃2)+〃3)+/(4)=1-1-2-1=-3.k=\故选：A.(2022•河南省兰考县第一高级中学模拟预测(理))已知定义在R上的函数f(x)在［-L”)上单调递增,若"2)=0,且函数〃*-1)为偶函数，则不等式的解集为()A.(2,+oo) B.(-4,-l)u(0,+oo)C.(-4.+(») D.(-4,0)u(2,+oo)【答案】D【解析】【分析】分析可知函数/(X)的图象关「“线x=-l对称，可得出函数/(X)的单调性，分析/(X)的符号变化，山

/、 x<0 x>0"）>。可得M）<0或m）>0,解之即可.【详解】因为函数/（X—1）为偶函数，则y（-x-l）=/（x-l）,故函数/（X）的图象关于直线x=_l对称，因为函数f（X）在上单调递增，故函数f（X）在上单调递减，因为"2）=0,则〃-4）=0,所以，由/（x）<0可得T<x<2,由/（x）>0可得x<T或x>2,,、 [x<0 [x>0解不等式方>（x）>0,可得j/（0<o或1/（力>0,解得T<x<0或x>2,故不等式MV）>0的解集为（<0）52，包）.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（2022•安徽•高一期中）下列各图中，可能是函数图象的是（）【答案】ACD【解析】【分析】利用函数的概念选出正确答案.【详解】B选项，x>0时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象.故选：ACD.（2022•广东•新会陈经纶中学高一期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）A.y=¥与y=l B.y=4-产与丫=1「 (4)2匕、，_X X3+Xc-%X多一(石)2 D.尸八卢yX【答案】CD【解析】【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：函数y=区的定义域为xwO,函数y=l定义域为R,两函数定义X对卜B：函数y="(x-l)2定义域为R，化简可得y=|x-l|,与y=x-l解为对于C：函数y=£空定义域为x>0,化简可得y=l(x>0),函数7y=l(x>0),故为同一函数；对于D:函数y=。!*定义域为R,化简可得丁=不与y=x为同一函数X'+1故选：CD(2022.广东•汕头市潮阳区河溪中学高一期中)具有性质：=变换的函数，下列函数中满足''倒负"变换的函数是()A.f(x)—2'—x2 B.y(x)—x— C.f(x)=xh—D.f(x)=1【答案】BD【解析】【分析】对各选项中的函数逐个检验后可得正确的选项.【详解】对于A选项，x=0在定义域内，不满足“倒负”变换；对于B选项，/(：)=：一》=-［一：)=-〃*)，满足"倒负”变换；对于C选项，/^=|.-/(2)=-1,/(g卜-”2),不满足“倒负”变招对于D选项，当0<x<l时，->1,此时/(j卜-T=t=-/(x)；X —X当x=l时，1=1,此时/(1)=0=_/(1)；域不同，故不是同一函数；〒式不同，故不是同一函数；节■定义域为x>0,化简可得)的函数，我们称为满足“倒负”x,0<x<1,0,x=l,11—,x>1X当x>l时，0<1<1,此时/L=-=-/(x),/(X)满足“倒负”变换.x yxyx故选：BD.12.(2022•山西省长治市第二中学校高二期末)已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件小且函数丫=小-5)为奇函数，下列有关命题的说法正确的是()A./(外为周期函数 B.f(x)为R上的偶函数C.f(x)为R上的单调函数 D.f(x)的图象关于点(-jo］对称【答案】ABD【解析】【分析】由偶函数的单调性的特点可判断C,由奇函数的对由周期性的定义可判断A,由奇偶性的定义可判断B,由偶函数的单调性的特点可判断C,由奇函数的对【详解】对于A：；函数/=”(x+3)=-/(x+j，f(x)=〃x+3)rj(x)是周期为3的函数，故A正确；又/(x)的周期为3,= 令x+[=，，则/⑺=〃T)・・・/(，)是偶函数，即/(x)是偶函数，故B正确;对于C：由B知/（X）是偶函数，，/（X）在（-oo,0）和（0,+00）上的单调性相反,・J（x）在R上不单调，故C错误：对于D：•.・函数y= 为奇函数，y=/1-目的图象关于点（0,0）对称，・•丫=/卜-1）的函数图象是由y=/（x）的图象向右平移5个单位得到的，•.y=/（x）的函数图象关于点（-右（/）对称，故D正确.故选：ABD三.填空题本题共4小题，每小题5分，共20分（2022•广东•深圳科学高中高一期中）若幕函数y=（>-m-1）/为偶函数，则机=.【答案】2【解析】【分析】利用幕函数和偶函数的定义即可求解.【详解】:函数y=（济-加-1卜”为幕函数，**•加一加一1=1,解得m=2或m=-l,又二尸/为偶函数,/n=2,故答案为：2.（2014•全国•高考真题（理））已知偶函数/（x）在［0,+oo）单调递减，"2）=0.若/（x-l）>0,则x的取值范围是.【答案】（-L3）【解析】【详解】因为/（X）是偶函数，所以不等式/（犬-1）>0。/（|*-1|»八2）,乂因为/（X）在［0,用）匕单调递减，所以|x-1|<2,解得-l<x<3.考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.15.（2022.江西景德镇.三模（理））周期为4的函数/（力满足/3=/（4-》），且当840,2］时/3=2-1,则不等式“X）40在［-2,2］上的解集为；【答案】［-1,1］【解析】【分析】由周期性及已知确定函数是偶函数，再说明函数在。2］是增函数，然后利用奇偶性与单调性解不等式.【详解】f(x)周期是4,则f(x)=/(4-x)=〃-x),所以周x)是偶函数,xe［0,2］时，f(x)=x3-l是增函数，且/⑴=0,不等式“X)40化为人即＜/(I),所以|乂＜1,一14x41.故答案为：(2022•重庆长寿•高二期末)已知定义在R上的函数f(x)和函数g(x)满足〃x)=g(x)-g(-x),且f(x)+〃—x-4)=-6对任意xeR都成立，则/(2022)=.【答案】3033【解析】【分析】由题可得/(刈为奇函数，进而得到了(x+4)=/(x)+6,结合条件即得.【详解】由题意知f(x)定义域为R,/(x)=g(x)-g(-x),可得f(r)=g(r)-g(x)=-/(x),所以/(X)为奇函数，又/(x)+f(-x-4)=-6/.f(-x-4)=-/(x)-6=-f(x+4),则/(x+4)=/(x)+6,又/(一2)+〃2-4)=-2/(2)=-6,即"2)=3,所以/(2022)=/(2+4x505)=/(2)+6x505=3033.故答案为:3033.四.解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〃 Q(2022.湖北荆州.高一期中)已知函数/(x)=2x-7且/⑵=7(1)求实数。的值并判断该函数的奇偶性；(2)判断函数/(x)在(1,+oo)上的单调性并证明.【答案】(1)。=一1，函数f(x)=2x+，为奇函数X⑵“X)在(1,400)上是增函数，证明见解析【解析】【分析】(1)根据/(2)=g,代入函数解析即可求解：(2)利用函数单调性的定义证明即可.(1)a 9 a9Vf(x)=2x--,且f(2)='.・.4-：=1,x 2 22a=1；所以〃x)=2x+J,定义域为卜|工¥0}关于原点对称，'/f(-x)=2(-x)+—=-2x--=-(2x+-)=-/(x),-XXX，函数f(x)=2x+4为奇函数.X⑵函数/(X)在上是增函数，证明：任取士,王€(1,+00),设X1<X2，则1 1 1 1 k_y/(七)一/(%)=2天+ (2x)-\—)=2(x2-x))+( )=2(/-%|)+(― -)Xj X} XjX, XjXj/、C1\(七一xJQmw-1)=(x2-X1)(2 )=———! - xtx2 xix2・.,菁,马«1,+00),且凡<工2，/.x2—x］>0,2x)x2—1>O,XjX2>0.•.fc>o,即/(々)>/a),/(X)在(l,+«0上是增函数.(2022•黑龙江•哈尔滨市第一二二中学校高一期中)已知定义在［-2,2］的函数“X)在［0,2］单调递减，且/。-加)</(加).⑴若/(x)是奇函数，求，”的取值范围；⑵若/(力是偶函数，求，”的取值范围.【答案】⑴一1，£|⑵"【解析】【分析】(1)根据奇函数，得到单调性，进而解不等式，求出答案；(2)根据偶函数，对不等式进行变形，进而得到不等式组，求出答案.(1)\-m>m若/(X)是奇函数，则f(x)在［-2,2］上单调递减，收一241-帆42,解得：me 故,"的取值范围TOC\o"1-5"\h\z-2<m<2 1为口3⑵若/(X)是偶函数，因为/(X)在［0,2］上单调递减，故在［-2,0)上单调递增，由-〃?)<"/«)得:〕1-向〉网 r 、/(|l-w|)</(|m|),故<-241-m42,解得：me-1,-L-2<m<2 L故〃，的取值范围为T，；).(2022•安徽・亳州二中高二期末)已知事函数〃x)=(4-3a+3)x"为偶函数，⑴求函数"X)的解析式；⑵若函数g(x)=〃x)+⑵〃-l)x-3在［-1,3］上的最大值为2,求实数，"的值.【答案】(l)f(x)=/(2),“=_：或/«=一［【解析】【分析】(I)根据幕函数的定义及性质求出参数。，即可得解：(2)首先得到g(x)的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值；(1)解：因为/(x)=(/-3a+3)x"为幕函数，所以〃2-3。+3=1，解得。=2或a=l因为〃x)为偶函数，所以4=2,故"X)的解析式f(x)=x2：⑵1_解：由(1)知g(x)=f+(2帆-1.一3,对称轴为x=—^―,开口向上，当彳%q即由2-；时，g(x)a=g(3)=3+6/n=2,即〃?=-，；当即机<一工时，g(x)a=g(T)=T-2«i=2,即/n=-|；1 3综上所述：机=-二或机=-：.6 220.(2022・贵州・遵义市南白中学高一期末)已知函数/。卜/7以.⑴若函数/(x)在xe[2,4]是增函数，求”的取值范围；⑵若对于任意的xe[2,+8),〃x)>-l恒成立，求”的取值范围.【答案】小5(2)«<-O【解析】【分析】(1)由函数可知对称轴为x=2a,由单调性可知2a<2,即可求解；(2)整理问题为丁-4依+1>0在x«2,+e)时恒成立，设g(x)=J-4办+1,则可转化问题为g(x)1nm>0在xe[2,+e)时恒成立，讨论对称轴x=2a与x=2的位置关系，进而求解.因为函数/(8)=幺-4at,所以对称轴为x=2«,因为f(x)在xe[2,4]是增函数，所以2«W2,解得a41因为对于任意的x42,+8),/(x)>7恒成立，即x2-4ax>-1在xe[2,+oo)时恒成立，所以f-4ar+l>0在xe[2,+<»)时恒成立，设g(x)=x?-4ar+l,则对称轴为x=2«,即8仁[而>0在xw[2,+(»)时恒成立，当2a<2,即a<l时，g0O*=g(2)=4—弘+1>0,解得a<|；当2〃22,即aNl时，=^(2a)=4a"-8n"+1>0,解得一■^〈。〈](舍去)，』 5故4Vd.O21.(2022•江苏•南京师大附中高二期末)已知y(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且70)=1,当a,be[-l,1],a+厚0时，有/(“)+*)>0成立.a+b(1)判断月x)在区间[-1,1]上的单调性，并证明；(2)若4x)3n2-2Gn+l对所有的ad[—1,1]恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递增，证明见解析(2){m\m=0,或脸2,或壮一2}【解析】【分析】(1)任取X，，X2€[—1,1],且X/VX2,再根据题意分析/内)一/(X2)的正负即可；(2)由(1)有用把1,再将题意转化为，/一加定0对所有的4日-1，1]恒成立，进而构造函数g(a)=一

2ma+m2,分类讨论分析即可凡目在区间［-1，1］上单调递增.证明如下:任取X/,X2G［—I,1］,且X/VX2,则一X2W[—1,1].：外)为奇函数,：.J(Xl)—j(X2)=J(Xl)+j(—X2：.J(Xl)—j(X2)=J(Xl)+j(—X2)=/(xJ+Xf)%+(F)G-w).由已知条件得/(3)+〃-三)

%+(一与)>0.又X/-X2〈o，・・・凡盯)一/(X2)VO,即人0)〈人立).・・・段)在区间［-1,1］上单调递增.•・7U)=1,段)在区间［一1,1］上单调递增，J在区间［-1,1］上，*.9