专题07 三角恒等变换

专题07三角恒等变换（知识点串讲）知识网络重难点突破知识点一两角和与差公式的基本应用.=(由点的象限决定,).例1．（1）（2019·山东高一期末）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由诱导公式，所以选择A（2）（2019·安徽高三月考）若，则（）A．3 B．-3 C．2 D．-2【答案】C【解析】因为，解得故选C【变式训练1-1】、（2018·广东高一期末）（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.【变式训练1-2】、已知，，那么（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，知识点二两角和与差公式的变形应用与逆向应用例2.（1）已知sinθ＝，则cos(450°＋θ)的值是()A． B．－C．－ D．【答案】选B【解析】cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－.（2）（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，，且、均为锐角，则______.【答案】【解析】由得，所以，∴，由于、均为锐角，所以.故答案为：.【变式训练2-1】、已知sinα，cos（α+β），且α，β∈（0，），则sin（α﹣β）的值等于．【答案】【解析】∵α，β∈（0，），∴2α∈（0，π），α+β∈（0，π）∵sinα，∴cos2α＝1﹣2sin2α，∴sin2α，∵cos（α+β），∴sin（α+β），∴sin（α﹣β）＝sin[2α﹣（α+β）]＝sin2αcos（α+β）﹣cos2αsin（α+β）（）﹣（），【变式训练2-2】、已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为()A． B．－C．或－ D．－或【答案】B【解析】由一元二次方程根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，∴tanα＜0，tanβ＜0.∴tan(α＋β)＝＝＝.又∵－＜α＜，－＜β＜，且tanα＜0，tanβ＜0，∴－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－.知识点三二倍角与半角公式的应用..例3．（1）（2017·北京高一期中）__________；__________．【答案】【解析】；．（2）（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）下列各式中，值为的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于选项A：；对于选项B：；对于选项C：；对于选项D：；故选C【变式训练3-1】、函数的最大值为（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】B【解析】因为，而，所以当时，取得最大值5，选B．【变式训练3-2】、（2020·全国高三其他）若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，又，所以，故选B.【变式训练3-3】、（2020·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与相等的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A：，由解得，即，解得，故A错误；对于B：因为所以，故B正确；对于C：对于D：故选：BC知识点四三角函数的图像变换由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法例4．（1）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，将函数的图象向右平移个单位得，由该函数为偶函数可知，即，所以的最小正值是为．（2）．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是A．是奇函数B．的周期是C．的图象关于直线对称D．的图象关于点【答案】D【解析】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，为偶函数，排除A；的周期为，排除B；因为，所以不关于直线对称，排除C；故选D．【变式训练4-1】、将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B【解析】将的图象向有右移个单位长度后得到，即的图象，令，，化简可得，，即函数的单调递增区间为，，令．可得在区间上单调递增，故选B．【变式训练4-2】、将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（）A．B．C．0D．【答案】B【解析】将函数y=sin(2+)的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B．知识点五三角函数的综合应用例5．设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．【解析】（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，．故，，又，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以．因为，所以，当，即时，取得最小值．【变式训练5-1】、已知函数．(Ⅰ)求的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论在区间[]上的单调性．【解析】(Ⅰ)的定义域为．所以的最小正周期．令函数的单调递增区间是由，得设，易知．所以，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．【变式训练5-2】、某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．