北大高等代数2-21

第二学期第二十一次课Q[x]内多项式的因式分解定义9.12 定义Z[x]

xnaxn1

|aZ,in}。0 1 n if(xZ[x],f(x)0及1g(xh(xZ[xf(x)g(x)h(x)g(x)

f(x在Z[x可约f(x在Z[x不可约。定义9.13 设

f(x)a0

xnaxn1 a1

Z[x]，这里n1。如果

,a,...,

1f(x本原多项式。0 1 n命题Q[x]内一个非零多项式f(x)可以表成一个有理数k和一个本原多项式f(x)的乘积：f(x)kf(x)，而且k除了差一个1因子外，是被f(x)唯一决定的。证明是很简单的，可取kd/m，其中dmf(x)系数的最大公因子，而mf(x)系数的分母的一个公倍数。定理（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。证明设

f(x)

axaxn

Z),0g(x)b

1 nbxbxn

i(bZ)0 1 n i是两个本原多项式。为方便记，下面设an1

an2

0,bm1

bm2

0。又设f(x)g(x)ccx

xmn，0 1 mn如果f(x)g(x)不是本原多项式，令素数p是其系数的一个公因子。p|a(ir1),p

(rn);p|b

(js1),p

(sm)。而另一方p|c

ic

(ab

ra

jb )a

(a b

sa

b)。该式两个括rs

rs

0rs

r1

rs

rs0pp|abrs

p是素数，par

(p,ar

)1，此时应有p|b，sf(x)g(x由高斯定理，我们容易得到命题 设f(x)Q[x],degf(x)0命f)其中kQ,f(x)是一个本原f(x在Q[xf(xZ[x内可约。证明充分性是显然的。下面来证必要性。设f(x)g(x)h(x) ，其中g( x) ,h(x ) [ ] , 0 de g 。f xg( )

l( x

h( x)，l( l

Q，而g(x),h(x) 本原多项式。此时1 1f(x)kf(x)ll1

g(x)h(x)g(x)h(x为本原多项式，在由前面的命题，f(x)(g(x))h(x，这样必要性得证。作为高斯引理的又一应用，我们可得下面的重要结论（实际的证明过程与证明“因式唯一分解定理”相似，都是运用数学归纳法，详细书写见课本）定理（Z[x内多项式的因式分解）f(xZ[x内一个首项系数为正数的多项式且f(x)1f(xZ[x内可分解为1f(x)pe11

e (x)1pk1pk

p(x)flll其中p1

, ,pk

为两两不同的素数，p1

(x), ,pl

(xZ[x内两两不同，次数1且首项系数为正的不可约多项式。上述分解式除了因子的排列次序外，是唯一的。这个定理从抽象的观点可以拓展为：推论唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。爱森斯坦判别法爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果。爱森斯坦判别法 设给定n次本原多项式f(x)aaxa

xnZ[x] (n0 1 npp|ai

p

,p2n

f(x在Z[x内0不可约。证明f(xZ[x]内可约，即f(x)g(x)h(x)，其中g(x)bbx

xmZ[x],0 1 mh(x)ccxcxlZ[x].0 1 l这里0deggdegf )为方便计，下面式子中多项式

f(x),g(xh(x)的系数a,b,

的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。i i i因为an

bcm

pan

pbm

,p|c。lp|

，而a

b

p|

p|

p|

p2

|a，故pc。0

0 0 00 0 0 0 0p|b(i0,...,r1)pb(0rmp|a，而i r ra(bcbc b c)bcr 0r

1r1

r1 r0ppr0

p

,p|r

，p为素数，矛盾。由此，f(x)0Z[x]内不可约。§3 实系数多项式根的分布复系数多项式的根的绝对值的上界命题f(xaxnaxn1aC[x]，其中a

0而n1。令0 1 nAmax{|a1

|,|a2

0|, ,|a|}nf(x的任一复根，有|1A/|a|。0证明如果A0，则0，命题成立。下面设A0。如果|1A/|a0

|，那么，因为f()0，故有|an||an1a||a|||n1|a|0 1 n 1 n|n11)|n11)/(||1)现在||n1，故从上式立刻得到|anA||n/(||1)0两边消去||n，得|1A/|a0

|，矛盾。(1A/|a0

|,1A/|a0

|)。斯图姆定理名词 给定实数序列

a,a,,a1 2 n变号变号数。又给定实系数多项式的序列f(x),f1

(x), ,fn

(x) （1）aRf1

(a),f2

(a), ,fn

(a)的变号数称为多项式序列（1）在xa处的变号数，记作W(a)。相应地，我们把W(x)称为多项式序列（1）的变号数函数。定义9.14斯图姆序列） 现设f(x)是一个次数n1的无重根的实系数多项式。实系数多项式序列如果满足下列条件：

f(x)f(x),f0

(x),f2

, ,fs

(x) （2）相邻两个多项式f(x),f (x)(i,s1)没有公共根；i i1fs

(x)没有实根；fif ()f ()0；i1 i1

(x)

)如果f(xf(xf1

x的一个充分小的邻域内为递增函数，则称序列（2）为f(x)的一个斯图姆序列。斯图姆定理）设f(x)是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列2以W(xabf(xabf(x)在区间(ab内实根的个数等于W(aW(b。证明将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如aa1

a。k因为在区间(,a),(a,a )(ik1),(a

中任一多项式都无实根，1 i i1 k因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内，W(x)为常数。下面我们只要证明：ai

不是f(x)的根，则在ai

左右两边W(x)的函数值相等；ai1。

是f(x)的根，则在ai

左端W(x的函数值比ai

右端W(x)的函数值大对每个ai

，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段：ai

不是（2）中t个连续多项式f (x),f (x), ,f (x) （3）j1 j2 jt的根(t2)ai

的一个邻域(ai

,ai

内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数为常数。ai

是（3）

(x)(0js)的根，考察（3）的小段jf (x),f(x),f (x) （4）j1 j j1（（iiai

(x)和f

j1

(x

(a)i

j1

(a)0iai

的一个邻域(ai

,ai

(x)

j1

(x)0，于是在此邻域内（4）的变号函数恒等于1，也是常数。现设a不是f(x)的根。这时序列（2）中任意两个相邻多项式f (x)f (x)或属于i j1 j1类型（3）的小段，或属于类型的小段，又由斯图姆序列的条件知这两类型的小段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同，根据上面a（b）的讨论在每个小段变号数函数在邻域(ai

,ai

)（）的变号数函数为每个小段变号数函数之和，ai

的邻域(ai

,ai

内W(x为常数，即ai

左端与ai

右端W(x)的函数值相等。如果ai

f(x的根。这时序列f(x),f1

(x)不属于上述3（4）类型，故只需考察序列f(x),f1

的变号数在ai

iv，f(x

(x

的某邻域(a

,

f(a

(a)0，故在a1 i i i i 1 i if(x),f1

(x)异号，即有一个变号，而在ai

f(xf1

(x)同号，即无变号。现在不管a(ai

,ai

)内W(x)的值没有影响。由此知此时ai

左端W(x)的值比右端的大1。x从a向bf(x的一个实根时，W(x1，在其他情况下W(x的值不变。故在(abf(x的实根个数为W(aW(b)。斯图姆序列的构造方法设 f(x) 是一个无重根的实系数多项式，取f(x)f(x),f0

(xf(x)(设degf(x1)f1

(x)f0

(x)，得f(x)q0

(x)f1

(x)r(x),1r(x或degr(xdeg

(x)1 1 1r(x0f1

(xr(xf1

(xf1

(x)，得f(x)q1

(x)f2

(x)r2

(x),r(x)0或degr2

(x)degf2

(x).r(x0，过程到此结束。否则，取f2

(x)r2

(xf3

(x)去除f2

(x)，，经过若干步后，我们有

f (x)q(x)f(x)s1 s s我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是f(x)f(x是一个有重根的实系数多项式序列，设其素因式标准分解式为f(x)a0

p(x)k111

p(x)krrrf(xp1

(x) pr

(x)的实根分布就可以了。§4 单变量有理函数域域上的一元有理分式域的定义R为一整环，命S{(ba|abRa0}S中规定为(b,a)(d,c)bcad逐一验证“反身性为一等价关系。用(ba表示与(ba)等价的元素的全体。现记S关于的等价类的集合为S，则(baS中的元素。下面在S上定义二元运算：(a,b)(c,d)(adbc,bd)d)(ac,bd)可以验证：,是良定义的，即与等价类代表元的选择无关；(S对加法构成交换群，(S{0}对乘法也构成交换群，且加法和乘法满足分配律。(SR的分式域商域，将(S中的元素(ab记为a，则(S ,中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。b 定义9.15 域上的一元有理分式域）若RK[x]，则记(S,为K(x)，并将其称之为域上的一元有理分式域，其元素形如

g(x)(f(x)0)。f(x)有理分式的准素分解式定义9.16准素分式在K(x)内的一个分式q(x)p(x)k如果其中p(x)是首一不可约多项式，而degq(x)degp(x)，则称之为准素分式。定理 K(x)内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。证明g(xK(xf(xg(x))1,degg(xdegf(xf(x的1f(x)1素因子标准分解式为：则存在u(x),v(x)K[x]，使得

f(x)p1

(x)e

sp(x)essssu(x)p1于是

e

v(x)(p12212

(x)e

p(x)es

)1 1g(x) (u(x) 1

(x)e

v(x)(

(x)e

p(x)e

))g(x)12sf(x) p12s2s12s

e p(x)e1ss1s u(x)g(x)

v(x)g(x)归纳的做下去)2p(x)e22

p(x)esss

p(x)e1q11qq=1q

(x) q

(x)

(x)

(且不难得degq(x)degp(x)e)ii1p(x)e11

p(x)e222

p(x)e i isssq(x表成q(xK[x线性组合：ii iiq(