量子力学课件3章-形式理论

量子力学第三章

形式理论§1.Hilbert空间§2.可观测量§3.Hermitian算符的本征函数§4.广义统计诠释§5.不确定原理§6.Dirac符号量子力学第三章§1.Hilbert空间§3.1希尔伯特空间（HilbertSpace）体系的状态用波函数表示，可观测量用算符表示。

数学上，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。因此，量子力学的自然语言是线性代数。

按照线性代数，在N维空间中，可以选择N个正交归一基矢量，一个矢量可以用其在各个基矢量方向上的分量来表示。

波函数和算符是量子理论的两块基石。§3.1希尔伯特空间（HilbertSpace）体系的状

线性变换用矩阵表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上，从而得到新的矢量。两个矢量的内积是一个复数，线性变换用矩阵表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量

在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，把每一个波函数作为一个态矢。当然，态矢并非三维空间中的几何矢量，而是物理状态的抽象描述。这个波函数必须是归一化的：

全体态矢构成态矢空间。那么，描述微观粒子运动状态的态矢空间将是由所有可归一化的态函数组成的复函数空间，是一个线性函数空间。每一个态矢量对应一个物理上可实现的客观存在的微观粒子的运动状态，把这个抽象的线性函数空间称为希尔伯特空间，它可以是有限维、无穷维、连续维的。希尔伯特空间：所有在特定区域的平方可积函数的集合所构成的矢量空间。满足在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，

技术上讲，一个希尔伯特空间是一个完备的内积空间，平方可积函数的集合（即有限的或可归一化的函数集合）只是希尔伯特空间的一个例子，每一个有限维的矢量空间都是一个希尔伯特空间。

定义两个函数和的内积：在量子力学中，波函数存在于希尔伯特空间中。技术上讲，一个希尔伯特空间是一个完备的内积空间，平方

如果一个函数与自身的内积为1，称之为归一化的；如果两个函数的内积为0，那么这两个函数是正交的；如果一组函数既是归一的也是相互正交的，称它们为正交归一的。（以xyz---xy，xyz）

如果存在一组函数，其它任意函数（希尔伯特空间中）都可以表示为这组函数的线性迭加，那么这组函数是完备的:如果函数是正交归一的，则f在fn上的投影！！如果一个函数与自身的内积为1，称之为归一化的；如果两§3.2可观测量1.厄密算符

一个可观测量的期望值：期望值应该是实数，因此有任意波函数都满足此式。因此，表示可观测量的算符有非常特殊的性质：对任何成立.这样的算符称为厄密（hermitian）算符。§3.2可观测量1.厄密算符一个可观测量的即厄密算符既可以作用于内积的右侧项，也可以作用于左侧项，结果相等。对任何都成立.结论：可观测量由厄密算符表示。证明：动量算符是厄密算符。即厄密算符既可以作用于内积的右侧项，也可以作用于左侧项，结果

结论：确定值态是的本征态，本征值就是测量值。2.确定值态

的标准差，在确定值态下应该是0，即：问题：是否能够制备一个态，使得对某一个可观测量的每一次观测都一定得到同样的值（记作）？所以:

这称为算符的本征值方程；是的本征函数，是相对应的本征值。

一个算符所有本征值的集合称为这个算符的谱。有时候两个或更多个线性独立的本征函数具有相同的本征值，称为谱的简并。结论：确定值态是的本征态，本征值就是测量值。2.确§3.3厄密算符的本征值问题

1.分立谱定理1：厄密算符的本征值是实数。证明：假设本征值是离散的，本征函数处于希尔伯特空间中，并且构成物理上可实现的态。§3.3厄密算符的本征值问题1.分立谱定理1：厄密算符1.分立谱定理2：属于不同本征值的本征函数相互正交。证明：假设如果则公理：可观测量算符的本征函数集合是完备的。（在希尔伯特空间中的）任何都可以用它们的线性组合来表示。对有限维空间可以证明，但不能推广到无限维空间。1.分立谱定理2：属于不同本征值的本征函数相互正交。证明：2.连续谱

本征值充满一个范围，本征函数是不可归一化的，不能代表可能的物理态。

例3.2求动量算符的本征值与本征函数。解：设是本征函数，是本征值。可见，动量算符的本征函数不是平方可积的，它们不位于希尔伯特空间内。然而，如果我们限定于实数本征值，可以得到一个人为的“正交归一性”。

取，有---称为Driac正交归一性。2.连续谱本征值充满一个范围，本征函数是不可归一化的，不能本征函数集合是完备的，任何（平方可积的）函数都可以写成：

------傅立叶展开动量的本征函数加上时间因子，就是平面波，其波长为------正是德布罗意公式如果厄密算符的谱是连续的,本征函数是不可归一化的，它们不在希尔伯特空间内,并且不能代表可能的物理态；但是，具有实数本征值的本征函数具有狄拉克正交归一性，并且是完备的。积分代替求和k为波数（周期密度）本征函数集合是完备的，任何（平方可积的）函数都可如果的谱是分立的，得到与正交归一本征函数相应的本征值的概率是§3.4广义统计诠释

对于一个处于态的粒子，测量可观测量，其结果一定是厄密算符的某一个本征值。

如果的谱是连续的，具有实数本征值及狄拉克正交归一的本征函数，则得到结果在范围的概率是测量之后，波函数“坍塌”于相应的本征态。

如果的谱是分立的，得到与正交归一本征函数相应§3.4广义统计诠释的期望值：§3.4广义统计诠释的期望值：对粒子位置的测量

所以，得到结果处于某一范围的概率就是，这正是原先的统计诠释。对粒子动量的测量动量算符的本征函数---动量空间波函数测量动量得到结果在范围的概率是：对粒子位置的测量所以，得到结果处于某一范围的概率就§3.5不确定原理1.不确定原理的一般性证明：

对于任意一个可观测量（厄米算符），有对于另外一个任意的可观测量，有

由Schwarz不等式，有§3.5不确定原理1.不确定原理的一般性证明：对于任意量子力学课件3章-形式理论对于任意一个复数z，有令

类似有对于任意一个复数z，有令因此----不确定原理

举例：

-----此即最初的海森伯不确定原理

因此----不确定原理举例：-----此即最初的海森伯不讨论：1、两个可观测量的算符不对易，它们存在不确定原理，称为不相容可观测量。

不相容可观测量没有共同的完备的本征函数系。相反，相容的（可对易的）可观测量有共同的本征函数系。

2、不确定原理在实验室是怎么起作用的？

——为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？

当测量一个粒子的位置时，测量本身使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果紧接着测量动量，使这个态坍塌为一个长正弦波，具有确定的波长，但此时位置是不确定的。

只有波函数同时是两个力学量的共同本征态时，测量这两个量同时得到确定值，又不改变状态。讨论：1、两个可观测量的算符不对易，它们存在不确定原理，称为3.能量-时间不确定原理在相对论力学中，坐标-动量不确定原理必然伴随时间-能量不确定原理

在非相对论力学中，时间-能量不确定原理有完全不同的理解：

坐标、动量和能量都是动力学变量——是体系在任何时刻都可观测的量。但是时间本身不是动力学变量，不会像测量坐标和能量一样去测量一个粒子的“时间”。时间是一个独立变量，动力学量是它的函数。能量-时间不确定原理中的不是对时间测量所收集数据的标准差。的含义是什么？

3.能量-时间不确定原理在相对论力学中，坐标-动量不确定原通常算符不显含时间，所以算符期望值的变化率决定于算符与哈密顿量的对易式。如果与对易，则是常量不随时间变化，称是一个守恒量。当测量一个体系变化有多快时，求某个可观测量的期望值对时间的导数，由薛定谔方程通常算符不显含时间，所以算符期望值的变化率决定于算符与哈密顿在广义不确定原理中，令和，并且假设不显含时间：定义：则有:----能量-时间的不确定原理在广义不确定原理中，令和，并且假设由于

的期待值变化单位标准差时所需的时间。

完全依赖于你所关心的那个可观测量（）—有的可观测量变化较快，而有些较慢。但是，如果很小的话，则所有的可观测量的变化速率一定是非常平缓的；或者，换言之，假如任一可观测量变化很快的话，能量的“不确定”必定很大。的含义：由于的期待值变化单位标准差时所需的时间。完例题3.5在定态的特殊情况下，能量值可以被唯一地确定，所有可观测量的期待值不随时间变化（）。要使期待值变化，至少需要两个定态的迭加，比如说：如果，，和，是实数，振荡的周期是。粗略来说，例题3.5在定态的特殊情况下，能量值可以被唯一地确定，例题3.7粒子在自发分裂之前大约能够生存10-23秒。假如你对所有的质量测量做分布图，就可以得到一个中心在1232MeV/c2的喇叭形曲线,其宽度大约是120MeV/c2。那么为什么静止能量（mc2）有时大于1232，而有时又小于1232呢？难道是这个实验有误差？其实不是，因为：而sec。因此的离散大约和不确定原理所允许的值一样小。

有如此短暂寿命的粒子没有很好定义的质量。

粒子质量的测量分布例题3.7粒子在自发分裂之前大约能够生存10-23秒。§3.6狄拉克符号表象：量子力学中态和可观测量的具体表示方式称为表象。

态的表象二维空间的矢量量子力学中态函数是希尔伯特空间里的矢量，也可以用不同的基来表示它。

§3.6狄拉克符号表象：量子力学中态和可观测量的具体表示方坐标表象动量表象能量表象坐标表象动量表象能量表象bm与an分量之间的关系由算符矩阵元表示bm与an分量之间的关系由算符矩阵元表示量子力学课件3章-形式理论量子力学课件3章-形式理论

狄拉克符号

狄拉克建议把内积的括号记号劈为两个部分，分别称之为左矢和右矢。

右矢是一个矢量。左矢是什么？当它从左边和右边一个矢量结合在一起时，生成一个（复）—内积，在这个意义上，它是矢量的一个线性泛函。

在一个函数空间里，右矢是个函数，左矢是一个对积分的指令：与右矢结合，即将右矢所表示的函数填入到省略号里。狄拉克符号狄拉克建议把内积在有限维矢量空间里，右矢被表示成列矩阵：相应的左矢表示成行矩阵：所有的左矢集合构成另外一个矢量空间—称为对偶空间。内积是左矢空间的一个矢量与右矢空间的一个矢量按矩阵相乘。在有限维矢量空间里，右矢被表示成列矩阵：相应的左矢表示成行矩投影算符投影算符1、坐标表象坐标算符的本征函数集合作为基矢量：体系的态用坐标算符的本征函数集合展开：--------坐标表象中的波函数展开系数：

是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在y→y+dy范围内的概率。1、坐标表象坐标算符的本征函数集合作为基矢量：体系的态用坐2、动量表象动量本征函数：

组成完备系，任一状态Ψ可按其展开C(p,t)物理意义：|C(p,t)|2dp是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p→p+dp范围内的概率。展开系数:-----动量表象中的波函数2、动量表象动量本征函数：组成完备系，任一状态Ψ可按其展3、任一可观测量Q表象设算符Q的本征值为:q1,q2,...,qn,…

相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开：|an|2

表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得qn的概率。在Q表象中，Ψ(x,t)态可表示为：3、任一可观测量Q表象设算符Q的本征值为:q1,归一化条件：可写为：归一化条件：可写为：

可观测量的矩阵表示坐标表象：Q表象：假设Q只有分立本征值，基矢为{un(x)}。将Φ,Ψ按{un(x)}展开：两边左乘u*n(x)并对x积分Q表象下，可观测矩阵变换前后，基矢系数之间的关系。变换后的系数是变换前系数的线性组合。可观测量的矩阵表示坐标表象：Q表象：假设Q只有分立本征值Q表象的表达方式F在Q表象中是一个矩阵，Fnm是其矩阵元Φ=FΨ简写成写成矩阵形式量子力学中表示可观测量的算符是一种线性变换，它们把一个矢量变换成另一个。每一个算符对应一个矩阵，选择不同的基矢量可以得到不同的矩阵元。

Q表象的表达方式F在Q表象中是一个矩阵，Φ=F作业习题:3.2,3.3,3.4,3.6,3.7,3.8，

3.10,3.11,3.12,3.13,3.15,3.17,3.18,3.22,3.23,3.24作业量子力学第三章

形式理论§1.Hilbert空间§2.可观测量§3.Hermitian算符的本征函数§4.广义统计诠释§5.不确定原理§6.Dirac符号量子力学第三章§1.Hilbert空间§3.1希尔伯特空间（HilbertSpace）体系的状态用波函数表示，可观测量用算符表示。

数学上，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。因此，量子力学的自然语言是线性代数。

按照线性代数，在N维空间中，可以选择N个正交归一基矢量，一个矢量可以用其在各个基矢量方向上的分量来表示。

波函数和算符是量子理论的两块基石。§3.1希尔伯特空间（HilbertSpace）体系的状

线性变换用矩阵表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上，从而得到新的矢量。两个矢量的内积是一个复数，线性变换用矩阵表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量

在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，把每一个波函数作为一个态矢。当然，态矢并非三维空间中的几何矢量，而是物理状态的抽象描述。这个波函数必须是归一化的：

全体态矢构成态矢空间。那么，描述微观粒子运动状态的态矢空间将是由所有可归一化的态函数组成的复函数空间，是一个线性函数空间。每一个态矢量对应一个物理上可实现的客观存在的微观粒子的运动状态，把这个抽象的线性函数空间称为希尔伯特空间，它可以是有限维、无穷维、连续维的。希尔伯特空间：所有在特定区域的平方可积函数的集合所构成的矢量空间。满足在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，

技术上讲，一个希尔伯特空间是一个完备的内积空间，平方可积函数的集合（即有限的或可归一化的函数集合）只是希尔伯特空间的一个例子，每一个有限维的矢量空间都是一个希尔伯特空间。

定义两个函数和的内积：在量子力学中，波函数存在于希尔伯特空间中。技术上讲，一个希尔伯特空间是一个完备的内积空间，平方

如果一个函数与自身的内积为1，称之为归一化的；如果两个函数的内积为0，那么这两个函数是正交的；如果一组函数既是归一的也是相互正交的，称它们为正交归一的。（以xyz---xy，xyz）

如果存在一组函数，其它任意函数（希尔伯特空间中）都可以表示为这组函数的线性迭加，那么这组函数是完备的:如果函数是正交归一的，则f在fn上的投影！！如果一个函数与自身的内积为1，称之为归一化的；如果两§3.2可观测量1.厄密算符

一个可观测量的期望值：期望值应该是实数，因此有任意波函数都满足此式。因此，表示可观测量的算符有非常特殊的性质：对任何成立.这样的算符称为厄密（hermitian）算符。§3.2可观测量1.厄密算符一个可观测量的即厄密算符既可以作用于内积的右侧项，也可以作用于左侧项，结果相等。对任何都成立.结论：可观测量由厄密算符表示。证明：动量算符是厄密算符。即厄密算符既可以作用于内积的右侧项，也可以作用于左侧项，结果

结论：确定值态是的本征态，本征值就是测量值。2.确定值态

的标准差，在确定值态下应该是0，即：问题：是否能够制备一个态，使得对某一个可观测量的每一次观测都一定得到同样的值（记作）？所以:

这称为算符的本征值方程；是的本征函数，是相对应的本征值。

一个算符所有本征值的集合称为这个算符的谱。有时候两个或更多个线性独立的本征函数具有相同的本征值，称为谱的简并。结论：确定值态是的本征态，本征值就是测量值。2.确§3.3厄密算符的本征值问题

1.分立谱定理1：厄密算符的本征值是实数。证明：假设本征值是离散的，本征函数处于希尔伯特空间中，并且构成物理上可实现的态。§3.3厄密算符的本征值问题1.分立谱定理1：厄密算符1.分立谱定理2：属于不同本征值的本征函数相互正交。证明：假设如果则公理：可观测量算符的本征函数集合是完备的。（在希尔伯特空间中的）任何都可以用它们的线性组合来表示。对有限维空间可以证明，但不能推广到无限维空间。1.分立谱定理2：属于不同本征值的本征函数相互正交。证明：2.连续谱

本征值充满一个范围，本征函数是不可归一化的，不能代表可能的物理态。

例3.2求动量算符的本征值与本征函数。解：设是本征函数，是本征值。可见，动量算符的本征函数不是平方可积的，它们不位于希尔伯特空间内。然而，如果我们限定于实数本征值，可以得到一个人为的“正交归一性”。

取，有---称为Driac正交归一性。2.连续谱本征值充满一个范围，本征函数是不可归一化的，不能本征函数集合是完备的，任何（平方可积的）函数都可以写成：

------傅立叶展开动量的本征函数加上时间因子，就是平面波，其波长为------正是德布罗意公式如果厄密算符的谱是连续的,本征函数是不可归一化的，它们不在希尔伯特空间内,并且不能代表可能的物理态；但是，具有实数本征值的本征函数具有狄拉克正交归一性，并且是完备的。积分代替求和k为波数（周期密度）本征函数集合是完备的，任何（平方可积的）函数都可如果的谱是分立的，得到与正交归一本征函数相应的本征值的概率是§3.4广义统计诠释

对于一个处于态的粒子，测量可观测量，其结果一定是厄密算符的某一个本征值。

如果的谱是连续的，具有实数本征值及狄拉克正交归一的本征函数，则得到结果在范围的概率是测量之后，波函数“坍塌”于相应的本征态。

如果的谱是分立的，得到与正交归一本征函数相应§3.4广义统计诠释的期望值：§3.4广义统计诠释的期望值：对粒子位置的测量

所以，得到结果处于某一范围的概率就是，这正是原先的统计诠释。对粒子动量的测量动量算符的本征函数---动量空间波函数测量动量得到结果在范围的概率是：对粒子位置的测量所以，得到结果处于某一范围的概率就§3.5不确定原理1.不确定原理的一般性证明：

对于任意一个可观测量（厄米算符），有对于另外一个任意的可观测量，有

由Schwarz不等式，有§3.5不确定原理1.不确定原理的一般性证明：对于任意量子力学课件3章-形式理论对于任意一个复数z，有令

类似有对于任意一个复数z，有令因此----不确定原理

举例：

-----此即最初的海森伯不确定原理

因此----不确定原理举例：-----此即最初的海森伯不讨论：1、两个可观测量的算符不对易，它们存在不确定原理，称为不相容可观测量。

不相容可观测量没有共同的完备的本征函数系。相反，相容的（可对易的）可观测量有共同的本征函数系。

2、不确定原理在实验室是怎么起作用的？

——为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？

当测量一个粒子的位置时，测量本身使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果紧接着测量动量，使这个态坍塌为一个长正弦波，具有确定的波长，但此时位置是不确定的。

只有波函数同时是两个力学量的共同本征态时，测量这两个量同时得到确定值，又不改变状态。讨论：1、两个可观测量的算符不对易，它们存在不确定原理，称为3.能量-时间不确定原理在相对论力学中，坐标-动量不确定原理必然伴随时间-能量不确定原理

在非相对论力学中，时间-能量不确定原理有完全不同的理解：

坐标、动量和能量都是动力学变量——是体系在任何时刻都可观测的量。但是时间本身不是动力学变量，不会像测量坐标和能量一样去测量一个粒子的“时间”。时间是一个独立变量，动力学量是它的函数。能量-时间不确定原理中的不是对时间测量所收集数据的标准差。的含义是什么？

3.能量-时间不确定原理在相对论力学中，坐标-动量不确定原通常算符不显含时间，所以算符期望值的变化率决定于算符与哈密顿量的对易式。如果与对易，则是常量不随时间变化，称是一个守恒量。当测量一个体系变化有多快时，求某个可观测量的期望值对时间的导数，由薛定谔方程通常算符不显含时间，所以算符期望值的变化率决定于算符与哈密顿在广义不确定原理中，令和，并且假设不显含时间：定义：则有:----能量-时间的不确定原理在广义不确定原理中，令和，并且假设由于

的期待值变化单位标准差时所需的时间。

完全依赖于你所关心的那个可观测量（）—有的可观测量变化较快，而有些较慢。但是，如果很小的话，则所有的可观测量的变化速率一定是非常平缓的；或者，换言之，假如任一可观测量变化很快的话，能量的“不确定”必定很大。的含义：由于的期待值变化单位标准差时所需的时间。完例题3.5在定态的特殊情况下，能量值可以被唯一地确定，所有可观测量的期待值不随时间变化（）。要使期待值变化，至少需要两个定态的迭加，比如说：如果，，和，是实数，振荡的周期是。粗略来说，例题3.5在定态的特殊情况下，能量值可以被唯一地确定，例题3.7粒子在自发分裂之前大约能够生存10-23秒。假如你对所有的质量测量做分布图，就可以得到一个中心在1232MeV/c2的喇叭形曲线,其宽度大约是120MeV/c2。那么为什么静止能量（mc2）有时大于1232，而有时又小于1232呢？难道是这个实验有误差？其实不是，因为：而sec。因此的离散大约和不确定原理所允许的值一样小。

有如此短暂寿命的粒子没有很好定义的质量。

粒子质量的测量分布例题3.7粒子在自发分裂之前大约能够生存10-23秒。§3.6狄拉克符号表象：量子力学中态和可观测量的具体表示方式称为表象。

态的表象二维空间的矢量量子力学中态函数是希尔伯特空间里的矢量，也可以用不同的基来表示它。

§3.6狄拉克符号表象：量子力学中态和可观测量的具体表示方坐标表象动量表象能量表象坐标表象动量表象能量表象bm与an分量之间的关系由算符矩阵元表示bm与an分量之间的关系由算符矩阵元表示量子力学课件3章-形式理论量子力学课件3章-形式理论

狄拉克符号

狄拉克建议把内积的括号记号劈为两个部分，分别称之为左矢和右矢。

右矢是一个矢量。左矢是什么？当它从左边和右边一个矢量结合在一起时，生成一个（复）—内积，在这个意义上，它是矢量的一个线性泛函。

在一个函数空间里，右矢是个函数，左矢是一个对积分的指