计算方法-第3章数据拟合法

问题的提出：插值法与数据拟合函数插值问题回设已知某个函数关系yf(x在某些离散点上的xxyx0y0xnynxnyn

yf(x),xxi,i,的函数值f(x)，或计算函数的一阶、二阶导数数据（曲线）拟和的概数据拟合法不要求曲线通过所有的节点，而是根生物：青蛙的腿的粗细和眼睛大小有什么关化学：反应物的量和生成物的量有什么关。。例1某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表表3-123456789数据散9876强度y43210

6拉伸倍数

12设 这时各坐标值大体满足方程a1.9ba2b

选ab使到的程与际合最简单法就3.2中任意出两个方 ，例a2ba10ba=-0.4，b=0.85i

构造拟合曲线可以采用下列三种准则(1)使误差的最大绝根据最小二乘原理，(2)使误差的绝对值之和为小Q为最小，由此代

(3)使误差的平方和为分析以上三种准则1)(2)两种由于含有绝对值运算,不便于实际应用。最常用的是(3)，称(a,b)

242

( (abx

24(a,b)

2( (abx

24a对a，b求偏微商，使偏微商等24a

（值点的阶导数为

(yiabxi)

即即

方程方程

(yiabxi)xi

xiax2bx 解上述方程组得，a=0.15，b=0.859，推出直线y*0.15由此得本问题计第一步：计算x2i及xiyi，列成表3-224a127.5b第四步：解方程组求出a，b由此得直线拟合问题计算步观察数据散点图，大致呈直线关系，用直线进行拟合计

x,

,x

x i i i i写出正规方程组，求出bxi axix2ix 写出拟合直线方程y*=ax+b最小二乘法计算步骤（1）由观测数据表中的数值点画出函数粗略的图形从粗略图形中确定近似公式的函数类通过最小二乘原理，确定函数中的未知参数注：其中函数类型包括：直线型、二次函数、指数函数。。

(x)xi,yi)处的偏差,即ixi)yi

i=1,2,…,m)严格为零,2为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化,需对偏差有所2mm

|||i

最小,此即称为最小二乘原很多实际问题中影响变量y的因素多于一个，如k个因x1，x2，…，xk.，做N次试验得数据表,…y1…2………………N…若变量y与k个因素的每一个都是线性关系，选y*aaxax...a 通常实验次数大于因素个数N>k,N个条件，k个待定量， 用直线拟合的最小二乘原理求拟合方最小二乘法：使误差的平方和每次试验的误

ye eeyy*y(aa a

...akxki按最小二乘法,作直线拟合

e2

iiiN(a,a...a)( (a a a ...a ))2 2i i1为最小，极小值点一阶导数为0得方程

... akN(a,a...a)( (a a a ...a ))2N 2i i1

2(y

a

a1x1

a

x2

... a

xki) 求偏微分：

iN

(y a a1x1 a2x2 ... akxki)x1 ...

iNkk

2( ...

) 整理

i

1 2 ki kiNNNaNx 1ia1NaNx

x2ia

...

xkia yNNNNNNN1 i i i iNNNNNNN1x 1ia x

x1i2

x1ix2ia

...

x1

xkia

x1iyi...

i

i

i

iN

...

x2 N k N

ki 1 ki 2

ki

ki NiN

i i

i

iNa0x1ia1x2ia2NNi1i1...xkiakNNi1i1xN i1Nx2a1i1Nx 2 xa...Nx1ixkiakx1iyii1N...i1i1NNi1xkia0xkix1ia1xkix2ia2N...NNxkiak2xkiyii1i1i1i1解出a0,aa，y*aaxax...a 可化简整理为另一形式先解出a1,a2,…,ak,然后解其中例1.两个因素，假设两个因素，选拟合方两个因素拟合方

y*0.0740.0999x ….. ….. …..设函数y=f(x)在n个互异点的观测数非线性数据拟合:变量之间的关系不呈线性关系。例如解决途 根据专业知识和经验来确定经验曲线的画散点图,根据散点图的分布形状及特点来选择适当常见非多项式的非线性关系幂函数φ(x指数函数：φ(x)=对数函（2）将非线性关系转换为线性关系A.通过变量替换将非线性方程转换为线性方程,幂函数φ(x指数函数：φ(x对数函数幂函数幂函数φ(x)abx‘=xc，φ(xabxc=a指数函数：φ(x)ab令x’=ecxφ(xabecx=a对数函数：φ(x)ab令xlnxφ(xablnxa均均可通过变量替换转换为φ(x’=a然后用直线拟合的最小二乘法进行数据此方法可推广解决其它可化为线性的非线性拟合问例（（）散点图1根据散点图， 曲y

abx1ab 做变量

y'1 x' 得线性关系 y'abx'针对数据x’，y’的正规方程 bii 'iix'y' bx' a

bx'2

x' 表3-6，计算x’，y’，及正规方程的写出正规方程2.050883a b

a0.008966,by'*0.008966 x变量替换回原变量x和y* 0.008966x幂函数:y=axb指数函数：ya则通常会对近似方程两边取对幂函数lnylna+b指数函数：lnylnay’=lny，x’=lny’=lny’=lny，x’=lny’=lnlnylny=lna+blny=lna例求一经验函数形如y=aebx的公式，a，b为常数，使与数据相拟合x12345678y 解：先对经验公式两边取常用lgy=lga+bxlg变量替换得

y’=lgy，A==lga，B=blgy’=A+B变量替换后正规

B A Bx2 正规方 B

8A36B13.0197 36A204B63 解A Bx2

A1.0583, B0.1265从而算出a和a11.44, b0.2913得出经验公式y11.44e0.2913x多项式数据拟合除前面所讲直接用最小也可以用转换为多变量线性关系做多变量直线拟合的设函数y=f(x)在n个互异点的观 ….. …..用n次多项式做变量替换：z1=x,z2=x2z3=x3变为线

y=anzn+an-1zn-z1=x,拟拟拟拟多项式线性线性关 定理：x*是Ax=b的最小二乘解的充要条件为：x*是ATAx=ATbx1x2x1x2 x 12的最小二乘解

5x 解：方程组可记为Ax=b，其中A 1x

xx1,b4 2

2 解ATAx=ATb，得最小二

6x1

29

x

6x2

2