1.1　集合的概念与运算

第一章

集合与常用逻辑用语-3-1.1集合的概念与运算-5-知识梳理双基自测234151.集合的含义与表示(1)集合元素的三个性质特征:

、

、

.

(2)元素与集合的关系是

或

,用符号

或

表示.

(3)集合的表示法:

、

、

.

(4)常见数集的记法确定性

互异性

无序性

属于

不属于

∈

∉列举法

描述法

Venn图法

NN*(或N+)ZQ

R-6-知识梳理双基自测234152.集合间的基本关系

A⊆B(或B⊇A)A⫋B(或B⫌A)A=B-7-知识梳理双基自测234153.集合的运算

{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}-8-知识梳理双基自测234154.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔

.

(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔

.

(3)补集的性质:A∩(∁UA)=⌀;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=

;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).

B⊆A

A⊆B

A-9-知识梳理双基自测234155.集合关系的常用结论若有限集A中有n个元素,则A的子集有

个,非空子集有

个,真子集有

个.

2n

2n-12n-1-10-知识梳理双基自测234151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在集合{x2+x,0}中,实数x可取任意值.(

)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(

)(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B;(A∩B)⊆(A∪B).(

)(4)若A∩B=A∩C,则B=C.(

)(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点构成的集合是{1,4}.(

)×

×

√×

×

-11-知识梳理双基自测234152.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=(

)A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}答案解析解析关闭由A∩B={1},可知1∈B,所以m=3,即B={1,3},故选C.答案解析关闭C-12-知识梳理双基自测234153.设全集U={x∈N*|x≤4},集合A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=(

)A.{1,2,3} B.{1,2,4}C.{1,3,4} D.{2,3,4}答案解析解析关闭∵A={1,4},B={2,4},∴A∩B={4}.又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4},∴∁U(A∩B)={1,2,3}答案解析关闭A-13-知识梳理双基自测234154.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则(

)A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀答案解析解析关闭∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.答案解析关闭A-14-知识梳理双基自测234155.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=(

)A.{-1,0,1} B.{0,1}C.{-1,1} D.{0,1,2}答案解析解析关闭A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.答案解析关闭A例1(1)已知集合A={x|y=,x∈Z},B={p-q|p∈A,q∈A},则集合B中元素的个数为(

)A.1 B.3 C.5 D.7思考求集合中元素的个数或求集合元素中的参数的值要注意什么?-15-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭-16-考点1考点2考点3解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集还是其他形式的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合中的元素是否满足

互异性.-17-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为

(

)A.9 B.8 C.5 D.4(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-18-考点1考点2考点3考向一

判断集合间的关系例2已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是(

)A.A=B B.A∩B=⌀C.A⊆B D.B⊆A思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系的常用技巧有哪些?答案解析解析关闭∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.又B={x|x≥2},∴B⊆A.答案解析关闭D-19-考点1考点2考点3考向二

利用集合间的关系求参数的值或取值范围例3已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3}.若B⊆A,则实数a的取值范围为

.

思考已知集合间的关系,如何求参数的值或取值范围?答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点1考点2考点3解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合,从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.3.已知集合间的关系,求参数时,用数形结合的方法,建立关于参数的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或取值范围.若未指明集合非空,则应考虑空集的情况,即由A⊆B知,存在A=⌀和A≠⌀两种情况,需要分类讨论;此外,集合中含有参变量时,求得结果后还需要利用元素互异性进行检验.-21-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知集合A={x|x2-2017x+2016<0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是

.

D[2016,+∞)-22-考点1考点2考点3(2)由x2-2

017x+2

016<0,解得1<x<2

016,故A={x|1<x<2

016}.又B={x|x<a},A⊆B,如图所示,可知a≥2

016.解析:(1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},因此满足A⊆C⊆B的集合C有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.-23-考点1考点2考点3B-24-考点1考点2考点3(2)(2020全国Ⅱ,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=(

)A.{-2,3} B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3}思考集合的基本运算的求解策略是什么?A(2)∵A∪B={-1,0,1,2},∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.-25-考点1考点2考点3考向二

已知集合运算求参数例5(1)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(

)A.-4 B.-2 C.2

D.4(2)集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠⌀,则实数a的取值范围是(

)A.-1≤a<2 B.a≤2 C.a≥-1 D.a>-1思考若集合中的元素含有参数,求集合中的参数有哪些技巧?答案解析解析关闭答案解析关闭-26-考点1考点2考点3解题心得1.集合的基本运算的求解策略:(1)求解思路一般是先化简集合,再根据交、并、补的定义求解.(2)求解原则一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.(3)求解思想一般是注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.2.一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注意端点的情况.-27-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知集合A={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0},集合B={x|y=

},则集合A∩B的真子集的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知集合P={x|1≤x≤3},Q={x|x2≥4},则P∪(∁RQ)=(

)A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)(3)已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∩B=B,则实数a的取值范围是

.

(4)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0