初中数学华东师大八年级上册第章勾股定理-勾股定理 市一等奖

14.1勾股定理这就是本届大会会徽的图案．你见过这个图案吗？你听说过勾股定理吗？

这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．2002年国际数学家大会在北京召开。

相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．

你们能发现直角三角形三边长度之间存在什么样的关系吗？小组内进行讨论，然后小组代表交流。议一议BCAABC观察与思考：1、红色正方形面积为

平方单位，用它的边AC表示为

；2、蓝色正方形面积为

平方单位，用它的边BC表示为

；3、绿色正方形面积为

平方单位，用它的边AB表示为

。结论：两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积即AC2+BC2=AB2在等腰直角三角形ABC中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。121如何求绿色正方形的面积？1、探索等腰直角三角形三边关系：（图中每个小方格代表1平方厘米）CAB2、探索一般直角三角形的三边关系：观察右图，小组内讨论合作完成下面的填空：1、正方形P中有

个小方格，它的面积等于

平方厘米；2、正方形Q中有

个小方格，它的面积等于

平方厘米；3、正方形R的面积等于

平方厘米。PRQ161699（图中每个小方格代表1平方厘米）怎样计算出正方形R的面积呢？R“补”法：R的面积＝1个大正方形的面积-4个直角三角形的面积=“割”法：R的面积＝4个直角三角形的面积＋1个单位面积=QPCABR结论：P的面积+

Q的面积=

R的面积

BC2+AC2=AB2观察左图可得：正方形P的面积=9

平方厘米，正方形Q的面积=16平方厘米；正方形R的面积=25平方厘米；猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.探索一般直角三角形的三边关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A

、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，请根据以下图形，用两种不同方式表示大正方形的面积，证明：a2+b2=c2bacbca“弦图”直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方大正方形的面积=小正方形面积+4个直角三角形面积bac证明(一)：证明(二)：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方大正方形的面积=小正方形面积+4个直角三角形面积bacabcccabba

勾股定理

对任意的直角三角形，如果它的两直角边分别为a、b,斜边为c，那么一定有即

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abca2+b2=c2直角三角形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即：两直角边的平方和等于斜边的平方.c2=a2+b2a2=c2－b2b2

=c2-a2abc勾股定理的变形勾股定理abc勾股弦我们发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么一定有a2+

b2=

c2

这种关系我们称为勾股定理。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。勾股定理是我国最早证明的几何定理之一,可以说是我国几何学的根源。在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理。勾股弦

两千多年前，古希腊有个哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾股世界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家多年

两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。

例1.在Rt△ABC中，∠C=90°

①已知：a=6,b=8,求c；

②已知：a=40,c=41,求b；

③已知：c=13,b=5,求a；

④已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.例题分析(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程.方法小结:例2.受台风威马逊的影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？4米3米y=0应用知识回归生活解：依题意得答：这棵树折断前高9米。

小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？

我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度∴售货员没搞错.∵∴荧屏对角线大约为74厘米46厘米58厘米拓展练习

美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话

人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。

有趣的总统证法

S梯形=(a+b)(a+b)=(a2+b2)+abS