2022年北京市清华中考三模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。.答题时请按要求用笔。.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）x+221.计算工的结果为（ ）.某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ）.一次函数y=2x+l的图像不经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线.不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t01234567…h08141820201814…9下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线/=耳；③足球被踢出9s时落地：④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4.下列图案是轴对称图形的是（）6.若代数式一二6.若代数式一二的值为零，则实数x的值为（ ）C.x=3A.x=07.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（）

C.x=310.某青年排球队12名队员年龄情况如下:D./L瓦15+—4年龄1819202110.某青年排球队12名队员年龄情况如下:D./L瓦15+—4年龄1819202122人数14322则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A.20，19 B.19,19 C.19,20.5D.19,20.若二次函数¥ +法+c（ax0）的图象与工轴有两个交点，坐标分别是（xi,0）,（xz,0）,且用＜七.图象上有一点M（%为）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A.a>0B.b2-4ac>0C.^1<jc0<x2D.a（毛一百）（毛一工2）<0.某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）A.参加本次植树活动共有30人 B.每人植树量的众数是4棵C.每人植树量的中位数是5棵 D.每人植树量的平均数是5棵二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

.将一次函数户2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为.3.如图，sinZC=-,长度为2的线段EO在射线C尸上滑动，点5在射线CA上，且BC=5,则A80E周长的最小值为..二次函数了=》2+/nr+m-2的图象与x轴有个交点.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2.如图，RtAABC的直角边BC在x轴上，直线y=^x-1■经过直角顶点B,且平分△ABC的面积，BC=3,点A\o"CurrentDocument"9 4\o"CurrentDocument".如图，点A为函数y=—(x>0)图象上一点，连结OA,交函数y=—(x>0)的图象于点B,点C是x轴上一x x点，且AO=AC,则AOBC的面积为..如图，小阳发现电线杆A8的影子落在土坡的坡面CD和地面8c上，量得C£>=8,8C=20米，CO与地面成30。角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=米.三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..(6分)如图，四边形ABCD,AD〃BC,DC_LBC于C点，AE_LBD于E,且DB=DA.求证：AE=CD.

B C.（6分）我们知道ZVIBC中，如果AB=3,AC=4,那么当AB_LAC时，△ABC的面积最大为6；B C⑴若四边形A6CO中，AD+BD+BC=\6,且30=6,直接写出4）,BD,BC满足什么位置关系时四边形ABC。面积最大？并直接写出最大面积.⑵已知四边形ABCD中，AO+8。+8。=16,求8。为多少时，四边形ABC。面积最大？并求出最大面积是多少？.（6分）如图，已知平行四边形ABCD,点M、N分别是边DC、BC的中点，设丽=£,AD=b，求向量而关于£、B的分解式.再从-1,0,3中选择一个合适的a关于£、B的分解式.（8分）如图，在R3A3C中，ZC=90°,以5c为直径作OO交A8于点O,取AC的中点E,边结OE,OE、OD,求证：OE是。。的切线.（10分）如图，△8AO是由A8EC在平面内绕点8旋转60。而得，5.ABJ.BC,BE=CE,连接0E.（1）求证：4BDEq4BCE；（2）试判断四边形4BEO的形状，并说明理由.（10分）如图，在△ABC中，已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.若NABC=70。,则NNMA的度数是度.若AB=8cm,△MBC的周长是14cm.①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值.（12分）解方程组:（12分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：两次取出的小球标号相同；两次取出的小球标号的和等于4.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、A【解析】根据同分母分式的加减运算法则计算可得.【详解】_x+2—2x原式= =—=1,XX故选：A.【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.2、B【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】画树状图如下：佳佳 东 南 西 北八八八八琪琪东南西北东南西北东南西北东南西北由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，4 1所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为一=一,164故选B.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.3、D【解析】根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2>(),b=l>0可知，一次函数y=2x+l的图象过一、二、三象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.【详解】Vk=2>0,b=l>0,,根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.故选D.【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.4、B【解析】试题解析：由题意，抛物线的解析式为y=ox(x-9),把(1,8)代入可得a=-1,.R=-於+9/=-(.t-4.5)2+20.25,二足球距离地面的最大高度为20.25m,故①错误，...抛物线的对称轴U4.5,故②正确，•.,仁9时，y=0,...足球被踢出9s时落地，故③正确，时，,=11.25,故④错误，.•.正确的有②③，故选B.5、C【解析】解：A.此图形不是轴对称图形，不合题意；B.此图形不是轴对称图形，不合题意；

c.此图形是轴对称图形，符合题意；D.此图形不是轴对称图形，不合题意.故选C.6^A【解析】根据分子为零，且分母不为零解答即可.【详解】Y解：•••代数式’7；的值为零，x—3x=0,此时分母x・3*0,符合题意.故选A.【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0,②分母的值不为0,这两个条件缺一不可.7、C【解析】这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积.【详解】解：如图：90x^xl2_式90x^xl2_式

3602扇形BAO的面积是：—360二则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4x1-4x4=4-71,4二这张圆形纸片“能接触到的部分''的面积是16-(4-tt)=12+«,故选C.【点睛】本题主要考查了正方形和扇形的面积的计算公式，正确记忆公式是解题的关键.8、C【解析】根据二次根式有意义的条件可得a<0,原式变形为-・上,然后利用再把根号内化简即可.【详解】解：•••-->0,aAa<0,二原式="(-a)»故选C.【点睛】本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件，然后确定值的范围再进行化简，是常考题型.9^D【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确.故选D.10、D【解析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解.【详解】20+20这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19,中位数为一;一=1.2故选D.【点睛】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数.也考查了中位数的定义.【解析】根据抛物线与X轴有两个不同的交点，根的判别式△>(),再分a>。和aVO两种情况对C、D选项讨论即可得解.【详解】A、二次函数y=ax?+bx+c(a#))的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、Vxi<X2,/.△=b2-4ac>0,故本选项错误；C、若a>0,则xiVx°Vx2,若aVO,则xoVxi〈X2或xiVxzVxo,故本选项错误；D、若a>0,则xo-xi>O,xo-X2<O,所以，(XO-X1)(XO-X2)<0,•'•a(xo-xi)(X0-X2)<0,若aVO,则(xo-xi)与(xo-xz)同号，.'•a(xo-xi)(X0-X2)<0,综上所述，a(xo-xi)(xo-xi)V0正确，故本选项正确.12、D【解析】试题解析：A、V4+10+8+6+2=30(人)，,参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、V10>8>6>4>2,,每人植树量的众数是4棵，结论B正确；C、•.•共有30个数，第15、16个数为5,.•.每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；D、V(3x4+4x10+5x8+6x6+7x2)+30=4.73(棵)，,每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确.故选D.考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数.二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)13、y=2x+l【解析】分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可.详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+l；故答案为y=2x+l.点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键.14、2+2>/10.【解析】作8K〃CF,使得BK=DE=2,作K关于直线C厂的对称点G交CF于点M,连接BG交CF于D',则力/=。后=2,此时△8。%,的周长最小，作B〃_LC/交CF于点F,可知四边形BKDE为平行四边形及四边形3KM"为矩形，在RMBCH中,解直角三角形可知BH长，易得GK长,在RSBGK中，可得BG长，表示出△8沙£的周长等量代换可得其值.【详解】解：如图，作BK〃CF,使得8K=OE=2,作K关于直线C尸的对称点G交CF于点M,连接BG交CF于。，则DE=DE=2>此时A 的周长最小，作交CF于点F.由作图知BK//DE,BK=DE，，四边形BKDZ'为平行四边形,BE=KD由对称可知KG1CF,GK=2KM,KD=GDQBH±CF：.BHUKGQ8K//CF,HPBK//HM•••四边形为矩形；.KM=BH,NBKM=90°RHrh3在RaBCH中,sinZC=--=^—=BC5 5：.BH=3：.KM=3：.GK=2KM=6在RtA8GK中，BK=2,GK=6,8G=J2?+6?=2-^0,：ABDE周长的最小值为BE'+D'E'+BD'=KD'+D'E'+BD'=D'E'+BD,+GD'=D'E'+BG=2+2y/iQ.故答案为：2+2Vio.【点睛】本题考查了最短距离问题，涉及了轴对称、矩形及平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理，难度系数较大，利用两点之间线段最短及轴对称添加辅助线是解题的关键.15、2【解析】【分析】根据一元二次方程x2+mx+m-2=0的根的判别式的符号进行判定二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴交点的个数.【详解】二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴交点的纵坐标是零，艮口当y=0时,x2+mx+m-2=0,VA=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,，一元二次方程x2+mx+m.2=0有两个不相等是实数根，即二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴有2个交点，故答案为：2.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点.二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，a/))的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系.△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.△=b2・4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2・4acV0时，抛物线与x轴没有交点.【解析】分析：根据题意得出点B的坐标，根据面积平分得出点D的坐标，利用三角形相似可得点A的坐标，从而求出k的值.详解：根据一次函数可得：点B的坐标为（1,0）,YBD平分△ABC的面积，BC=3点D的横坐标1.5, .,.点D的坐标为（耳，1）,VDE：AB=1：1,.••点A的坐标为(1,1),/.k=lxl=l.yA点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质以及三角形相似的应用，属于中等难度的题型.得出点D的坐标是解决这个问题的关键.17、6【解析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC的面积.【详解】9 _ 4设点A的坐标为（a,一）,点B的坐标为（b,：）,a b••,点C是x轴上一点，且AO=AC,•••点C的坐标是（2a,0）,9设过点0（0,0）,A（a,―）的直线的解析式为：y=kx,a.9.*•一二k・a9a9解得k==,aTOC\o"1-5"\h\z4 9又•.•点B（b,工）在丫=七*上，b a149 a 3..• b,解得,7=7或7=一：7（舍去），ba b2b2・S-2aq••oaobc— b—2故答案为：6.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.18、（14+273）米【解析】过。作。的延长线于E,连接AO并延长交5c的延长线于尸，根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出DE,再根据勾股定理求出CE,然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF,再求出BF,再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可.【详解】如图，过。作0E_LBC的延长线于E,连接AO并延长交8c的延长线于足VCD=8,C0与地面成30。角，TOC\o"1-5"\h\z.1 1:.DE=-CD=-x8=4,2 2根据勾股定理得：CE=Jen?一DE?="2-2?幅_4?=4日V1m杆的影长为2/n,.DE1・・ =-9EF2尸=2OE=2x4=8,:.BF=BC+CE+EF=20+4退+8=（28+4石）...AB•=，BF2.*.AB=y（28+4后）=14+2".故答案为（14+2有）.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出A8的影长若全在水平地面上的长8〃是解题的关键.三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、证明见解析.【解析】由AD〃BC得NADB=NDBC,根据已知证明△AEDWZXDCB(AAS)，即可解题.【详解】解：VAD/7BC/.ZADB=ZDBC；DC_LBC于点C,AE_LBD于点E.,.ZC=ZAED=90°又•；DB=DA.".△AED^ADCB(AAS).\AE=CD【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，属于简单题，证明三角形全等是解题关键.20、(1)当A£>_L8O，BC,8。时有最大值1；(2)当80=8时，面积有最大值32.【解析】(1)由题意当AD〃BC,BD_LAD时，四边形ABCD的面积最大，由此即可解决问题.(2)设BD=x,由题意：当AD〃BC,BD_LAD时，四边形ABCD的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】(1)由题意当AD〃BC,BD_LAD时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为1x6x(16-6)=1.2故当A£)_L8£), 时有最大值1；⑵当4。II8。，时有最大值，设BZ)=X,由题意：当AD〃BC,BD_LAD时，四边形ABCD的面积最大，-.AD+BD+BC=16AD+BC=16-xS四边形A8CO=SjBD+SaCBD=-ADBD+-BCBD2 2

=g(AD+BC>BD=^(16-x)x=——(x—8)-+32v--<02二抛物线开口向下，当8£）=8时，面积有最大值32.【点睛】本题考查三角形的面积，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题.21、答案见解析【解析】试题分析：连接BD,由已知可得MN是△BCD的中位线，则MN=1BD,根据向量减法表示出BD即可得.2试题解析：连接BD,•.•点M、N分别是边DC、BC的中点，.•.MN是ABCD的中位线,，MN〃BD,MN=-BD,2VDB=AB-AD=a-5，：.MN=-a--b.2 2a+122、 ,1a-\【解析】(ci~+2(ci~+2a+1先通分得到 Ia,再根据平方差公式和完全平方公式得到(〃+1)~ Qa(〃+1)(。一1),化简后代入。=3,计算即可得到答案.【详解】(。+1)-(。+1)- 67 a+1 X -a(〃+l)(a—1)a—\当。=3时（咛-1,0）,原式=1.【点睛】本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.23、详见解析.【解析】试题分析：由三角形的中位线得出OE〃4B,进一步利用平行线的性质和等腰三角形性质，找出46^七和4。。后相等的线段和角，证得全等得出答案即可.试题解析：证明：：点E为AC的中点，OC=OB,：.OE//AB,:.NEOC=NB,ZEOD=ZODB.又NODB=NB,：.ZEOC=ZEOD.在AOCE和AOOE中，'：OC=OD,NEOC=NEOD,OE=OE,.'.△OCEgZkODE(SAS),:.NEDO=NECO=9Q。,：.DE±OD, 是00的切线.点睛：此题考查切线的判定.证明的关键是得到A24、证明见解析.【解析】(1)根据旋转的性质可得DB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,然后根据垂直可得出NDBE=NCBE=30。，继而可根据SAS证明△BDE^ABCE；(2)根据(1)以及旋转的性质可得，△BDEgaBCEgABDA,继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形.【详解】(1)证明：:△BAD是由ABEC在平面内绕点B旋转60。而得，.\DB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,VABXEC,.•.ZABC=90°,；.NDBE=NCBE=30。，在白BDE^flABCE中，DB=CB；＜NDBE=ZCBE,BE=BE/.△BDE^ABCE；(2)四边形ABED为菱形；由(1)得△BDEgZiBCE,VABAD是由△BEC旋转而得，/.△BAD^ABEC,，BA=BE,AD=EC=ED,又,；BE=CE,

:.BA=BE=ED=AD，四边形ABED为菱形.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.25、(1)50；(2)①6；②1【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；(2)①根据线段