2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷2和答案解析

2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（二）（科目代码:302）考生注意事项.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的..函数/(x)=lim[修)+(宏)+]"]'在(0,4-0°)内A.处处连续但有一个不可导点. B.处处连续且可导.C.处处连续但有两个不可导点. D.有一个不连续点..若当工―0时JCr)=「6皿1皿')市与2是等价无穷小，则常数a4的值分别为J0A.春，3. B.\，3. C.《，4. D.4~»4..设二阶可导函数/(/)满足/(-1)=/(1)=0,/(0)=1,且八外V0,则A.['/(x)dr>1. B.j,/(x)dr<1.C.J/(jr)dr=J/(x)dr. D.j/(x)dr#J/(x)dr.TOC\o"1-5"\h\z.设函数/Cr)在z=0处可导，且lim/(♦)一上(2。一2二("=2.则4⑹=x-*0 XA.-1. B.—C.0. D.1..设函数/(x)在点/=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim口=0,xlim一声△乙=1,则x-M) X/(0)是函数义工)的极大值./(0)是函数/(x)的极小值.C.(0,/(0))是曲线》=/(x)的拐点.D./(0)不是函数/(I)的极值,(0J函))也不是曲线y=/(x)的拐点.6.2jr—ln(l+J)□r户x2□m.i6.0―P "4—J。H—Ina+G&r'则A./,</2<1. 111</,<I2.C./(<1<12. D./2<1</1..设/Cr)为连续函数.F(D= 7(外业,则F'C)=A./(O. K/(-z).C.—/(z). D.—/(—z)..设3维列向量组a-5线性无关，G,a,也线性无关,而a-a,线性相关，且a关a,,则下列向量组中一定线性无关的是A.ai•a?.a+%a-a>. B.ai<ai-a?a+az+丽C.ai-a>.a,+a：i. D.-a?a-+a.(..设4是正定矩阵,P是初等矩阵,则非齐次线性方程组P'APx=bA.无解. B.有唯一解.C.有无穷多解. D.不能确定是否有解..设A,B,C都是2阶矩阵,AB=BC,若A有一个特征值为3.8的两个特征值为2,—2,则矩阵C有一个特征值为A.-2. B.2. C.-3. D.3.二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分..设/（工）=；工一］，=.1c, 1=1,.设y=/（鬲）,其中函数/（工）具有二阶导数•且!i1/（?-2=4.贝IJ/］.定积分存寸［ln（z+万百）+1］"的值为..若函数/（「y）=x3+V+C在约束条件/+2/=9下的最小值为1,则常数C_..设函数"=u（.x,y'）及v=u（H,y）具有一阶偏导数，函数z=f（.u,v）具有二阶连续偏导数,且dz=（，/：+27/：）（17+（7/：-2“：）力,则导^=..设向量a=（l,0.-D.A=al,若矩阵A的特征多项式为/（入），则微分方程:/一》=/（x）的通解为.三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..（本题满分10分）设/（J-）=（1+1）（］>。），求叫、_:..（本题满分12分）设定义在（-8,+8）上的连续函数/（工）满足方程/（X）=2,求：（1）函数人工）的解析式；（2）曲线y=/Cr）的凹、凸区间与拐点..（本题满分12分）设。=｛（工,设|14炉+。&2工｝,求：（1）平面图形。的面积；（2）平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积..（本题满分12分）计算二次积分Jdr1（x2+y）d>..(本题满分12分)设函数/(x)在闭区间［a,切上连续，且|/(x)|<M,『/(z)dLr=0.证明：Ja||x/(x)dx4竽(6—a)、.(本题满分12分)已知实二次型工3)=PAx的矩阵为A,且-^A-E=0,AB—3B=O,其中112矩阵B=214，求一个正交变换x=Qy,化二次型为标准形.112,数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考一、选择题1.答应选A.解当时号《宠〈工,此时有［修）"+傍）"+打%当1<142时,去〈卷《工,此时有才4］（］）”+（5）〈］氏当1>2时,去<工<曰,此时有54［（„1）"+工"『&5近又lim短=1,故b-± 1，0V1&2,），，+（1），，+-7"?=*,,〉2.显然,广（工）在（0,十8）内处处连续.由于/（2）= =2,因此/（h）在工=2处不可导.【注】本题是用夹逼准则求极限的题目，注意本题的放缩法.①夹逼准则』"'"'"=1.fA（"f8）.［yt,—A,enfA②对于2+如+…+〃"（巩》0•〃为有限数），其放缩法为1,"max“1 "2+***一~ ，"max..答应选C.r(e,anrr(e,anr—esul/)dflim^ -—oajrlim,r-*0akxk1qsinx(„tanj-sinx_1\I-cKc 1)hm 7~Jhx—0 QRXlim皿丁lime*“dakx u教学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考第8页（共33页）

limj-*olimj-*otanjc(1—cosa")

ak/ilim.r-*0「片，一e"df由题设知，lim»—— =1,所以左=4,a=!.r~O ax o.答应选A.解由题设知，曲线y=/(z)过点4(-1,0),8(0,1)((1,0),且是凸的.连接八,81三点得折线ABC,则折线ABC的方程为'=1一|才|(一14]忘1)，显然/'(幻》1-|工|(―1<工<1),故[八])业>j।(1一|工|)dr=2j(1—x)dr=1..答应选B.TOC\o"1-5"\h\z解由1而/(/)一工八2广)―21/(幻=2,得1淅/(H2)=0.由于函数人才)在z=0处J-*O X r-*o可导.从而连续，故/(0)=lim/(j")=lim/(j2)=0.于是,j^OHm/(♦)—1/(2])—24(工)I x2二lim£^1^1-2lim八2二△更-2lim-0)

1/-►0 JC jr-*0 Zj" jt*0 jc=/(O)-2/(0)-2/(0)=-3/(0)=2,故八0)=~~.o.答应选C.解由于函数八工)在点工=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且lim△力=0,故UX/(0)=lim/Xz)=0,且r(0)=lim/") Q°)=lim)=0.j-*0 X-0 .r-0X再由lim—")+/'("=1,得 . .lQ X/'(0)= +/*(a")]—lim/lH)=0.j'-*0 jr-*O jr-^O从而limf'8—心)=lim心二lim丘G土/⑺-lim10 JC-0 10Xx-0 X 10 X=1-/(0)=1.故八工)在_r=。处具有三阶导数，且/*(0)=1/0.于是，(0,7(0))是曲线y=/(a)的拐点..答应选C.解令fix')=x—ln(l+J-)—:工2,则f(x)=-]j工<0(H>0),故，(工)在

LO,+8)上单调减少,从而当-r>0时,/(工)</(0)=0,即n-ln(l+h)<去产，也即”7岁十"〈■!’又因为'一卬1+工)>。,故—舟万>2于是11=L工一1京+7卢>l.答应选B.解 F(f)=1dy『/Cr)dr,F1(.t)=J/(j)cLr,

F'(t)=/(-/)..答应选D.解因为处,如线性无关.a1.a?线性相关，且a#小，故存在kW0,1,使得a,=如一因为1II.I、1II.I、001] (1110与0111J0011均为可逆矩阵，所以1.101(ai+a->.伙+a,，% )=(q】，佻)110011111(ai.a】ta?.%a：+a:1)=(aaa)011001r(a)+窃2・。2+a<»a<+。1)=r(a),ata?，。1+a2+a3)=r(a\，畋，03)=2.于是，向量组a,+妣a+圆心+ai与向量组四，。】+a2曲+a?+小均线性相关.若%=一%，则Qi+处，四+。3线性相关，故+收，01+小不一定线性无关.由排除法知应选D.也可直接证明ai+外,。2+a一定线性无关.若存在b,4，使得际(01+02)+&2(如：flh)=0・将a<=代入上式得出十kk>)at+(跖+k2)a2=0.由于Qia线性无关，因此\k\+kkt=0,因为AW1,所以ki=k2=o.因此a+a2,佻+&一定线性无关.Ui+归2=0..答应选B.解因为A是正定矩阵,P是初等矩阵，所以A,P均可逆，从而P「AP也可逆.因此，非齐次线性方程组=b有唯一解..答应选D.解因为B的两个特征值为2,一2,所以|川=—4W0,即B可逆.于是，由AB=BC得BAB=C，即A与C相似，从而A与C有相同的特征值.又A有一个特征值为3,故C也有一个特征值为3.二、填空题.答应填解r(l)=lim八立二抖==1imer-e-eQ-1)l】jr—1lix—1 1 (x—1)=limxr yr=lim*=5IL\x-1)—iLL.答应填0.解 因为函数义工)具有二阶导数，且limC^—=4,所以jr~^0XTOC\o"1-5"\h\zf(0)=limf(x)=lim]/(x)—2]+2=0+2=2,JT-*0 J-0从而r(0)=lim-⑺一《(°)=lim =4.•r-*OX-0 L()X由于djy_rf/x-1\ 2dr―JG+lf(t+1)z，d2,y=,｛二-1\ 4 ।jj(工一1\ -4ir2-7\.r+l)'(x+1)4Jlz+1/(x+1)3*因此会| =7/(0)-1/(0)=^X4-1X2=O.CLT| 4 乙 4 L13.答应填手+1.解因为代不是偶函数,ln(_r+4Tp^是奇函数，而积分区间[-1,1]是关于原点对称的区间，所以由奇偶性、对称性并运用定积分的几何意义得|)，2—i[lnCr++7)+l]ir=2],72—x2dr=2(f+l)=f+1-.答应填28.

解 作拉格朗日函数Ux.y.X)=x3+y3+C+X(x2+2yz-9),则由方程组L；=3t2+2Xr=0,vLy=Sy2+44y=0,L：=/+2y2—9=0,解得由于Jz=1)/=-① °，解得由于b=2,1j=-2,jy=±%=o.f(l,2)=9+C,/(-l,-2)=-9+C,/(呜)=孺+C/(°L总一黑+C/(3,0)=27+C,/(-3,0)=-27+C,故函数[Cr,y)=/+^+。在约束条件<+2V=9下的最小值为/(-3,0)=-27+C.由题意，-27+C=1,故C=28..答 应填£+工>£+2(工2—丁)工—4h、片.解由dz=2_rH)<ir+(工/：—2W：)dy,得匹=vH+2/',包=1.包=_?vda：w“十G?u，ay2,a、“y.于是晶力=£+y\,fL.工+篇(―2y)1+21[工•m+《•(―2>)]=£+个4+2(城一丁)工一\jcyft..答应填y=Ce+C2er—H3+2z2—6z+4,其中G，C2为任意常数.解因为A=aia,a=(l,0,-1),所以r(A)=1,tr(A)=[a,aj=2,从而A的特征值为；I=0,0,2.于是,A的特征多项式为/(A)=A2(A-2),从而/(力=工气工-2).与微分方程y-y=f(x)相应的齐次方程的通解为丫=Ce+Cze".可设/一3=/(工)的一个特解为V=A^+r^+q.+D，代入方程y-y=/(z),得A=—1,B=2,C=—6,D=4.故微分方程y-y=/(x)的通解为y=GH+Qe-，-V+2/—62+4,其中C-Cz为任意常数.三、解答题.解对/Cr)=(1+y)'两边取对数，得ln/(H)=理山(1+1)一卜工；］,两边对工求导，得J\f(h)=In ,/(x)J X1+n(T)'W小一击卜从而/(D=2山2—1.于是limlim丈一x-ie-e=elim——fill=ef(1)=e(21n2—1). 10分l1x-1.解⑴由于函数八工)连续且满足方程/(j)+[,//(/)<!/=2,因此/(x)可导.方程Jo/(X)+f=2两边对7求导.得/(1!)+J-/(T)=0,这是可分离变量的微分方J0程，其通解为人工)=CeTJ.又由原方程得/(0)=2,故C=2,从而/(工)=2eT). 6分(2)函数/(j-)的定义域为(-8,4-oo),f(1)=-2xe*'f'(jc)=2(x2—De".令/'(工)=0,得h=—1,h=1.列表讨论如下：JC(—8.-1)-1(-1J)1(It4-00)f(力+0—0+y=/(J-)U2占+n2e+u由上表可知：曲线的凹区间是(-8,-13及口，+8),凸区间是[-1,1],拐点是(一],2eT)及(l,2eT). ……12分.解(1)由对称性,平面图形D的面积为A=21M「3'rdr=f^cosW-f

JoJi Jo o=2['(cos26+D此一-=sin2小+丹=4+得. ……4分Jo 5 IqoLo) V=2kj[(1+/I—y)2—(1—Ml—y21]dy-2nJ'E(1-y2)-(1- —y2)21dty=8兀1J1——dy—2兀](2x/1—y2—1)dy=87r•[it_4kJ2yi—ydy+"二.2k2—4njcos2rdz+6k=-2kJ(1+cos2t)df+27r2+&加=-27r(f+^^沦2t)|+2k2+)737t——1•7一呼加+2/+悟冗=［入2+q九 12分20.解1 rVi-x20.解1 rVi-x2 r-fdr(x2+y2)dy=oJ1-j Jo(cos。+sin9)'」的T——:由sin，(d+£)=专一看1：cs斗+彳)曲=尹我J： ”£)十」d"(叶£)]=f+^[4cot：,(0+f)+cot(0+t)]l!=t+^*(-1)=1-1- ……12分21.证令F（工）=［/3df.由于函数/Cr）在闭区间［a,6］上连续，故F（_r）在［a㈤上可导，且FCr）=/（工）.对Vx£（a,力，由拉格朗日中值定理，