2022届北京市高三下学期仿真测试数学试题（解析版）

2022届北京市育才学校高三下学期仿真测试数学试题一、单选题.集合P={xwZ|OVx<3},M={xe司f£9},则PcM=( )A.{1,2} B.{0,1,2} C.{x|OWx<3}D.{x|04xW3}【答案】B【分析】本题首先可以确定集合户与集合M中所包含的元素，然后根据交集的相关性质即可得出结果.【详解】因为/49,即-3MxM3,所以M={xeR|-34x43},因为P={xeZ|04x<3},所以PcA/={0,1,2},故选：B.【点睛】本题考查交集的相关性质，交集是指两个集合中都包含的元素所组成的集合，考查推理能力，体现了基础性，是简单题..在复平面内，复数z=3；对应的点位于( )1-ZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B…即、2i2/(1+/) -2+2i .【详解】z~=O(T77j=-=-1+,'二复数z=2对应的点位于第二象限故选B点睛：复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共辄复数，解题中要注意把i的寨写成最简形式..已知。=logs2,b=2°」，c=3L则（ ）A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a【答案】D【分析】三个数分别和1比较大小，再结合单调性比较，即可得三个数的大小.【详解】a=log32<log33=l,1<fe=2°,<205<305=c所以

故选：D.在(x-应)，的展开式中，产的系数为()A.6 B.12 C.24 D.48【答案】B【分析】由5-&)"展开式的通项，由，=2得出X’的系数.【详解】(X-应)"展开式的通项为C；x41-0)’由4—r=2,解得r=2,则x?的系数为C：(-0丫=6x2=12故选：B.设向量£=(cosa,sin用)，则响=1"是“。=力”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B,此时同=1,n,此时同=1,n.47rcos—,sin—3 37T 4乃 —【详解】充分性：取a=W，4=?，则。但a二力，充分性不成立；必要性：若a=0,则a=(cosa,sin〃)=(cosa,sina),所以忖=1,必要性成立.因此“忖=1”是“。=尸”的必要而不充分条件.故选：B..记S“为数列｛q｝的前"项和.若q="(8-〃)(〃=1,2,…)，则( )A.｛“”｝有最大项，｛S.｝有最大项 B.｛“.)有最大项，｛5」有最小项C.｛4｝有最小项，｛£｝有最大项 D.｛4｝有最小项，｛S“｝有最小项【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析｛凡｝的最大项，再分析他力的符号，据此分析可得｛S“｝的最大项，即可得答案.【详解】解：根据题意，数列a„=n(8-n)=8n-n2,对于二次函数，y=-x1+Sx,其开口向下，对称轴为x=4,即当x=4时，y=-V+8x取得最大值，对于｛“〃｝,〃=4时，。〃最大：且当L,〃<8时，>0,当〃=8时，=0,当〃>8时，。〃<0,故当〃=7或8时，S.最大，故｛勺｝有最大项，｛S/有最大项；故选：A.f2xx>0.已知函数〃x)=L［「c，则函数y=/(x)-2凶的零点个数是I"―人,人大UA.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由题意可知，函数y=/(x)-2国的零点个数等价于函数f(x)与函数丫=泗的图象的交点个数，作出函数/(x)与函数y=/的图象，数形结合可得出结果.【详解】令/(力一2M=0,得/(0=2W，则函数y=/(x)-2国的零点个数等价于函数“力与函数y=2国的图象的交点个数，由图象可知，两个函数图象的交点个数为2,故函数丫=/")-2凶的零点个数为2.故选：C.【点睛】方法点睛：判定函数〃力的零点个数的常用方法：(1)直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果;(2)数形结合法：先令/(x)=0,将函数/(x)的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果..已知直线/：如+⑥-3=0经过点(a,b-2),则原点到点尸(。力)的距离可以是()A.4 B.2 C.— D.；2 2【答案】B【分析】分析可知，点尸在圆V+(y-l)2=4上，利用圆的几何性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】由题意可得/+可。-2)-3=0,即/+伍一炉=4,即点P(a⑼在圆jc2+(y-l)2=4上，•.-02+(0-1)2<4,所以，原点在圆x2+(y—l)2=4内，如下图所示：圆/+(丫_炉=4的圆心为C(O,1),半径为r=2,由三角不等式可得即14。“43,所以，B选项合乎要求.故选：B.【点睛】结论点睛：若点M在圆C内，?为圆C上一点，则一|明4|网4r+|明.9.设｛4｝是等差数列，且4=ln2,a,+a3=51n2,则e"+e〃+…+e%=( )A.2n B.n2+2n C.2" D.2n+l-2【答案】D【分析】先根据等差数列的通项公式求出｛《,｝的通项公式，然后代入根据等比数列求和公式求解即可.

【详解】解：由题意得:设｛叫的公差为d4+%=2q+3d=5加2又,.・O1=ln2/.J=In2/.an=ai+(n-\)d=n\n2Xveu,=eln2=2,ea'=e"ln2=elnr=2".•.e«+ea：+…+e"»=2+22+23+---+2"=2^-2^=2^1-21-2故选：Dx-tana,y=tanb..在直角坐标系xOy中,对于点x-tana,y=tanb.其中g(-卦).这样变换。就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOh内的曲线.则四个函数X=2》*>0),必=/*>0),必=e"。>。)，乂=lnx(x>l)在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系m为内的四条曲线(如图)依次是A.②，③，①，④ B.③，②，④，① C.②，③，④，① D.③，②，①，④【答案】A【分析】用x，y表示出a,b,根据反正切函数的单调性得出各自图象的a,力的范围及大小关系，从而得出答案.【详解】解:[x=【详解】解:由/可得।[y=tanb [/?=arctanyjr对于y3=ex(x>0),显然*>1,.'.fe=arctanyj>—,工”对应的图象为①;对于yd=/"x(xA1),a=arctan.r>arctanl=—,对应的图象为④；对于y/和”，当。Vx<2时，2x>/,arctan2A>arctanx2>即当0<a<arctan2时，/.arctanyi>arctanyj)对应的图象为②，”对应的图象为③.故选A.【点睛】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题.二、填空题.已知抛物线C：丁=-2夕丫经过点(2,-1),则抛物线的准线方程是.【答案】【分析】先将点代入抛物线方程求出乙然后即可得抛物线的准线方程.【详解】解：由题意得：•.•抛物线C：/=-2灯经过点(2,—1).•.4=-2px(-l)=2p,解得p=2,准线方程为y=g=i故答案为：y=i.设耳，A为双曲线C：4-^=1(«>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上一a16点，|「耳|-|P闾=4,那么双曲线C的离心率为.【答案】旧【分析】根据双曲线定义知。=2,再由双曲线参数关系求得c=2石，即可求离心率.【详解】由题意|时|一|尸闾=勿=4,则"2,5La2+b2=c2,贝h'=26，所以双曲线C的离心率为e=£=逐.a故答案为：75.如图，棱长为1的正方体中，尸为线段AB上的动点(不含端点),则下列结论正确的序号是.①平面平面AAP； ②NAP。的取值范围是（0卷：③三棱锥用-RPC的体积为定值； ④。G，。」.【答案】①③④【分析】根据线面位置关系判断①，举反例判断②，利用体积公式，判断③，利用垂直关系的转化判断④.【详解】平面他?，.•.平面AAP，平面AAP,①正确；若尸是AB上靠近A的一个四等分点，。6=1+［也］=2,此时I4J8AP2=AA；+AiP2-2AAixAiPxcos45=-,DtP2+AP2<AD;,此时NRP4为钝角，8②错：由于BP〃CD、,则BP〃平面BQC，因此P-4RC的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，③正确：而〃C"LOG，D\CI/%B,所以。GJ.AB,且3，AA,ABnA〃=A，所以"G，平面APR,RPu平面A/。，因此。和，£>/，④正确.故答案为：①③④三、双空题, jr.已知。是△ABC的边A3的中点，|AB|=3,|AC|=2,,ZCAB=-,则ABAC=;DBDC=

3【答案】3 ---0.754【分析】利用数量积的定义可得器.花，利用向量的线性表示及数量积的运算即得.【详解】1=3,1AC1=2,,ZCAB=y,TOC\o"1-5"\h\zULUUUUULKII11U 1・・・ABAC=\AB||AC|cosZCAB=3x2x-=3,2又。是△ABC的边AB的中点，:.DB=-AB,DC=AC-AD=AC--AB,2 2:.^^=-7^\aC--AB\=-ABAC--AB=-x3--x32=--.212yl2 4 2 4 43故答案为：3；.415.已知函数/(x)=sin(<yx-力®>0)在［0,司有且仅有3个零点，则函数f(x)在TOC\o"1-5"\h\z［0,句上存在 个极小值点，请写出一个符合要求的正整数。的值 .【答案】1 3【分析】首先求ox-9的范围，根据正弦函数的图象，确定极小值点个数，以及根据6端点值，列不等式求。的范围.［详解］..”«0,乃］,/.t=O)XG,CD7T,L」 6L6 6_7t Tt由条件可知y=sinr在区间_7M_7有3个零点，_6 6_••・由函数图象可知：有1个极小值点，两个极大值点，TT 13 19且2冗工胸——<3几,解得：—<co<—,6 6 6其中满足条件的一个正整数是3.故答案为：1；3四、解答题16.在aABC中，cosC=《，,,求。和S,.c的值.从以下三个条件中选两个，补充在上面的问题中使得三角形存在，并回答问题.2条件①hcosA=8；条件②csinB=2>/3;③a?+/-8？=【答案】答案见解析.=—acsinB=y/3a【分析】先由条件求出【分析】先由条件求出sinC的值；若选①②根据向得出〃，再=—abs\nC=---ab2 28由条件①可分析不满足条件；由条件③可求出COS8,sin8的值，从而得出角A,若选②③先求出c再由正弦定理，和面积公式得出答案；若选①③,先求出b,再由正弦定理，和面积公式得出答案.【详解】由cosC4'则sinC=J-cos2C=若选①②q由＜q.aABC=—acsinB=百。21〃•厂5GA=—abs\nC= ab2 28SC OQ则2——ab=\[3a»解得力

28 5由8cosA=8,则cosA=：=8xN=¥>1,与cosAvl相矛盾，故满足条件的三角形b287不存在.2由③"2+C2-/72=-4C,贝!]cos8=

72ac2L则sinB=VT7cosA=-cos(8+C)=-cosBcosC+sin8sinC=—x 1—---x----=一v7 714 7 14 27T所以4=5,若选②③则由条件②csinB=26,则'-sin/"-2'57cb,由正弦定理;==^，得csinB=AsinCsinesin8即2Gs常则噌由正弦定理可得素=就？所以"需7=rr=495+ 1014」bcsinA」x竺=竺32 2522 10若选①③由上可得cosA=g,又由68sA=8,则6=16由正弦定理可得sinBsinA16BbsinAx2,A,则。= = 仔一=14sin8 4百S\IABC=—feasinC=L16xl4x^^=40b17.如图，梯形A8CO所在的平面与等腰梯形A8E尸所在的平面互相垂直,AB//CD//EF,ABLAD,\CD\=\DA\=\AF\=\FE]=2,|AB|=4.⑴求证：£)尸〃平面BCE；(2)求二面角C-BF-A的余弦值；(3)线段CE上是否存在点G,使得AG_L平面8C/?请说明理由.【答案】(1)见解析；⑵£；(3)不存在，理由见解析.【分析】(1)证明OF〃CE.然后证明£＞尸〃平面BCE.(2)在平面ABEF内，过A作AzJ_45,建立空间直角坐标系A-xyz.求出平面BCF的法向量，平面A8尸的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可.(3)解法一：求出平面4CE的法向量通过和万片0,说明平面ACE与平面BC尸不可能垂直.解法二：假设线段CE上存在点G,使得AG_L平面8b,设诟=4怎，其中4e[0,11.通过AGJ•平面BCF,AG〃万得方程组，判断方程组无解，说明假设不成立.【详解】(1)；CD〃EF,且CD=EF,四边形C。/方为平行四边形，:.DF//CE.■:DFU平面BCE,DF||平面5CE.(2)在平面ABE尸内，过A作Az_LAB.平面A8C£)_L平面ABEF,平面A8C£)n平面 =AB，又Azu平面ABEF,AzLAB,AzJ_平面ABCD,：.ADLAB,ADLAz,AzYAB.如图建立空间直角坐标系A-丹z：由题意得，A(0,0,0),B(0,4,0),C(2,2,0),E(0,3,6),F(0,l,6)./.BC=(2,-2,0),BF=(0,-3,G).n-BC=0 \2x-2y=0设平面BCF的法向量为为=(x,y,z),贝力乔=0,即J_3V+6=0令y=l,则x=l,z=6，An=(1,1,平面A8"的一个法向量为匕=(1,0,0),则cos<几P>=.|H|p| 5二面角C—BF—A的余弦值乎.(3)线段CE上不存在点G,使得AGL平面3b,理由如下：/n-AC=0 [2x+2y.=0解法一：设平面ACE的法向量为沅=(4加马)，贝"_八,即、in-AE=0 [3%+=0令%=],则％=-1,Zj=—>/3, .m»fi*0,平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段€E上不存在点G,使得AG_L平面8CF.解法二：线段CE上不存在点G,使得AG,平面BCF,理由如下：假设线段CE上存在点G,使得AGJ•平面BCF,iSCG=ACE，其中共[0,1].设G(%,%，4),则有(々一2,%一2,Z2)=(-2/U,>/^),：.x2=2-2A,必=2+4,与=及，从而G(2—2/l,2+Z6；1),AG=(2-22,2+2,732).；AGJ■平面BCF,/.AG//H..士2-242+2收・・白 = =—=-，

•.,上述方程组无解，，假设不成立.线段CE上不存在点G,使得AGL平面BCF.18.在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测6身体指标检^6身体指标检^(1)求样本中患病者的人数和图中。，b的值；(2)在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；(3)某研究机构提出，可以选取常数X°=〃+0.5(〃eN*),若一名从业者该项身体指标检测值大于X。，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X。，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的X0的值及相应的概率(只需写出结论).【答案】(1)样本患病人数为40人，a=0.05,b=0.4；⑵”；3421(3)Xo=4.5,误判概率为布汗.【分析】(1)根据等比例原则求患者人数，由频率和为I,列方程求a、8的值；(2)分别求出样本中指标检测值为4的未患病者、患病者人数，应用对立事件概率求法求概率；(3)判断X。=”+0.5且〃=1,2,3,4,5对应的误判率，即可得结果.2【详解】(1)由题设，患病者与未患病者的比例为2:3,故患者人数为100x：=40人；由直方图知：0.1+0.35+0.25+0.15+0.1+4=1,可得a=0.05,0.1+0.2+0.3+Z?=l,可得6=0.4.(2)由题意，指标检测值为4的未患病者有100x|x0.15=9A,2指标检测值为4的患病者有100xgx0.2=8人；所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这2人中有患病者的概率的概率(3)若A为未患病者，4为患病者，B,(i=123,4,5,6)为体指标检测值为i者,3 2所以100名样本中，n(4)=100x-=60,n(A)=100x-=40,4员风未患病者62115963患病者00481216当X0=1.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54,误判率为同；当X0=2.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、33,误判率为孟；当X。=3.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、18,误判率为急；当X0=4.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为12、9,误判率为f— — 27当X。=5.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、24,误判率为商：综上，当X°=4.5时误判概率最小为喘19.已知椭圆C：5+与=1(a>b>0)上一点P到两个焦点的距离之和为4,离心a~b率为3.(1)求椭圆C的方程和短轴长；(2)已知点。(T,0),过左焦点人且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于A,B,设直线4。与椭圆C的另一个交点为E,连接E/"求证：月。平分【答案】(1)二+±=1,短轴长26;4 3(2)证明见解析.

[n=2【分析】（1）由椭圆定义、离心率可得，，进而求得6=6,即可得椭圆方程和短C=1轴长;（2）将问题化为证明无M+上印=。，令A£＞为y=k（x+4）联立椭圆，应用韦达定理、【详解】（1）由题意，2a【详解】（1）由题意，2a=4£_]_，则42TOC\o"1-5"\h\za=2c=],故上a—=3,则6=62 2所以上+匕=1,短轴长26.4 3（2）要证耳。平分NB与E,即“耳。=/86。=4耳6，如下图示,由题意，设A£）为y=k（x+4）,联立椭圆并整理得：（3+4公）/+32心+64&2-12=0,32k264k2-12且△=14432k264k2-12且△=144(1_4女2)>0,§^-L</c<L,而kAF,+kt：F,二力I4二攵+4)।kg+4)=♦[2央£+5区+维)+8]XA+1X£+1 +1XE+1xAxE+(xA+xE)+l又2xaxe+5(Xa+Xg)+8=128公-24160k2 32/+24八—_T_7TT+—~=0，3+4公 3+4父 3+4%所以kg+无硒=°，故耳。平分NB£E,得证..已知函数〃x)=aln(x+l)+d(aeR).(1)当a=-4时,①求曲线y=〃x）在点（0,〃0））处的切线方程;②求函数“X）的最小值;⑵设g（x）=ox-l,证明：当时，曲线“X）与g（x）至多有一个交点.【答案】⑴①y=4,@1-41n2；(2)证明见解析.【分析】(1)①应用导数几何意义求切线方程；②根据导数的符号判断f(x)的单调性，进而求最值；(2)将问题化为判断时〃(x)=/(x)-g(x)在(-1,内)上至多有一个零点，讨论。结合导数研究出好的零点个数即可.【详解】(1)由题意/(x)=Tln(x+l)+x2且x>-l,则/(x)=2x-工=2'+2)(=。,X+lX+1①由/(O)=Tln(O+l)+()2=o,r(O)=T,故在(0J(0))处的切线方程y=Tx：②当/'(x)>0,可得x>l,即f(x)在(l,+oo)上递增：当r(x)<0,可得Tvx<l,即f(x)在(-1,1)上递减；所以/(x)的极小值也是最小值为/(D=l-41n2.(2)令Zj(x)=/(x)-g(x)=aln(x+l)+x2-ax+1且x>-l,则心”2)，X+1当“40时x+l-1>0,则xe(-l,0),〃(x)<0,〃(x)递减；xg(0,-hx)),/t,(x)>0,/i(x)递增：此时，/t(x)>A(0)=l,即人(x)在定义域上无零点；当0<a<2时一1<且一140,则〃'(x)>0可得x<@-l或x>0,〃'(x)<。可得@-l<x<0,2 2 2所以人(x)在(-1,尸)、(0收)上递增，(尸,0)上递减，则〃仁-1)>〃(。)=1,而x趋向-1时〃(x)趋向负无穷，此时，在上存在一个零点：当a=2时，h\x)=—>0,〃(x)在(-1,内)上递增且值域为R,此时力(x)存在一个零X4-1点；综上，当a«2时曲线/(X)与g(x)至多有一个交点..设"为正整数，集合A={a|a=&12,…，，“)/*w{0,l},左=1,2,….对于集合4中的任意元素a=(芭,W，…，X")和尸=(如%「“，片)，记M(«>P)《[(斗+,大一刈+值+%-况-刈+…+5+”-H