2022届江苏省常州市金坛区七校中考四模数学试题含解析

2022届江苏省常州市金坛区七校中考四模数学试题注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角”条形码粘贴处”。.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1.用五个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，从正面看到的图形是（ ）.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”

其意思是“今有直角三角形（如图），勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）.已知一元二次方程2x?+2x-1=。的两个根为xi,X2,且xi〈X2,下列结论正确的是（ ）9.把边长相等的正六边形4BCDE尸和正五边形G"。心的C"边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交4尸于点尸，贝!JN4PG=（ ）二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11.某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%,则这种电子产品的标价为元..如图，矩形A5CD的面积为20c/n2,对角线交于点O；以A8、A0为邻边作平行四边形AOGB,对角线交于点Oi;以AB、AOi为邻边作平行四边形AOC28；…；依此，类推，则平行四边形AO’Csb的面积为..若二次根式JiT豆有意义，则x的取值范围为..有公共顶点A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D,则NADE的度数为A.144° B.84° C.74° D.54°.在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为26m,那么这根旗杆的高度为.一个不透明的袋子中装有5个球，其中3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是..我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为__个.三、解答题（共7小题，满分69分）.（10分）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40VaV100）,每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交OS?万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润yi（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？.（5分）阅读下面材料，并解答问题._尤4_/ 3材料：将分式， 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.-x2+l解：由分母为-x2+l,可设-x，-x?+3=（-x2+l）（x2+a）+b贝！|-x，-x?+3=（-x2+l）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-（a-1）x2+（a+b）—1=1•••对应任意x,上述等式均成立，二〈，、，.\a=2,b=l\a+b=3—r4— 4-3这样，分式，,被拆分成-x2+1—jc4—x2+3_(_x2+l)(x2+2)+1(-—r4— 4-3这样，分式，,被拆分成-x2+1-x2+1 -x2+1 -x2+1 -x2+\x-X2+1了一个整式3与一个分式磊的和•_r4_Ar2.Q _r4_Ay2_1_2解答：将分式一' 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.试说明__ 的最小值-x2+1 -x2+l为1.（8分）如图，AB//CD,E、尸分别为48、上的点，且EC〃8尸，连接40,分别与EC、8尸相交与点G、H,若A8=C0,求证：AG=DH.（10分）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45。，在楼顶C测得塔顶A的仰角36。52，.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.（参考数据:sin36°52'H0.60,tan36052~0.75)

AA(10分)【发现证明】如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，NEAF=45。，试判断BE,EF,FD之间的数量关系.小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90。至4ADG,通过证明4AEF^AAGF；从而发现并证明了EF=BE+FD.【类比引申】(1)如图2,点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，ZEAF=45°,连接EF,请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE,DF之间的数量关系，并证明；【联想拓展】(2)如图3,如图，ZBAC=90°,AB=AC,点E、F在边BC上，且NEAF=45。，若BE=3,EF=5,求CF的长.(12分)水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②所示的容器内盛水量W(L)与滴水时间t(h)的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：容器内原有水多少？求W与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？(14分)中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计,制成如下不完整的统计图表：频数频率分布表

成绩X（分）频数（人）频率50<x<60100.0560<x<70300.1570<x<8040n80<x<90m0.3590<x<100500.25根据所给信息，解答下列问题:（1）m=>n=;（2）补全频数分布直方图」；（3）这200名学生成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人?竣分布直方图参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：A.2、B【解析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.【详解】从上面看是三个长方形，故B是该几何体的俯视图.故选B.【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.3、C【解析】由。E〃 可得△ADE^AABC,再根据相似三角形的性质即可求得结果.【详解】VDE//BC.,.△ADE^>AABC.ADAE\VAE=2cm/.AC=6cm故选c.考点：相似三角形的判定和性质点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.4,A【解析】根据有理数的除法法则计算可得.【详解】解：15+(-3)=-(15+3)=-5,故选：A.【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.5、C【解析】试题解析：根据勾股定理得：斜边为价2+152=17,8+15-17则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径「=二~^，=3（步），即直径为6步，故选C6、D【解析】【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于X1+X2VO,x1X2<0,则利用有理数的性质得到x卜X2异号,且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断.2 1【详解】根据题意得X|+X2= =-1»X|X2=--,故A、B选项错误；2 2*.'X1+X2<O,XlX2<0,...XI、X2异号，且负数的绝对值大，故C选项错误；Vxi为一元二次方程2x2+2x-1=0的根，.*.2xi2+2xi-1=0,r.xi2+xi=-,故D选项正确，2故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.7、A【解析】试题解析：试题解析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断可得：A,是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意：B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意.故选A.点睛：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点，就叫做对称中心.8,A【解析】设反比例函数y=V(k为常数，k#)),由于反比例函数的图象经过点(-2,3),则k=-6,然后根据反比例函数图象上X点的坐标特征分别进行判断.【详解】设反比例函数y='(k为常数，咫0),X•・•反比例函数的图象经过点(-2,3),:.k=-2x3=-6,而2x(-3)=-6,(-3)x(-3)=9,2x3=6,-4x6=-24,...点(2,-3)在反比例函数y=-的图象上.x故选A.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=A(k为常数，导0)的图象是双曲线，图象上的点(x,Xy)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.9、B【解析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得NAPG的度数.【详解】(6-2)xl80°^6=120°,(5-2)xl80°v5=108°,NAPG=(6-2)x180°-120°x3-108°x2=720°-360°-216°=144°,故选B.【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n-2)780(吟3)且n为整数).10,C【解析】从正面看几何体，确定出主视图即可.【详解】解：几何体的主视图为故选C.【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、28【解析】设这种电子产品的标价为x元，由题意得：0.9x-21=21x20%,解得：x=28,所以这种电子产品的标价为28元.故答案为28.12、-8【解析】试题分析：根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的1,求出AAOB的面积，再分别求出&四、^ABO^&"。3、A的,的面积，即可得出答案.•四边形ABCD是矩形，.*.AO=CO,BO=DO,DC/7AB,DC=AB,•=^AjIBC= =5X20=10,：• =^abco=5s皿=5xlO=5,=^^^=1x5=^,：•=—，Ss=；s5=3，叱逮=2sAJ1Kt=2xm=Q考点：矩形的性质；平行四边形的性质点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等13、x> .2【解析】考点：二次根式有意义的条件.根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解.解：根据题意得：1+2x20,解得2故答案为x>--♦214、B【解析】正五边形的内角是NA5C=（5-2）x18O=]08。,-：AB=BCt;.ZCAB=36°,正六边形的内角是5（6-2）x180 …4ZABE=ZE=^ =120°,VZADE+ZE+ZABE+ZCAB=360°,/4。£=360°-120°-120°-36°=84°,故选B.615、13【解析】根据同时同地物高与影长成比列式计算即可得解.【详解】解：设旗杆高度为x米，由题意得,?=白，3 26解得x=13.故答案为13.【点睛】本题考查投影，解题的关键是应用相似三角形.【解析】用黑球的个数除以总球的个数即可得出黑球的概率.【详解】解：•••袋子中共有5个球，有2个黑球，2二从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为不；2故答案为g.【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）n17,1【解析】分析：类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：万位上的数x6』+千位上的数x63+百位上的数x62+十位上的数x6+个位上的数，即1x64+2x63+3x62+0x6+2=1.详解：24-0x6+3x6x6+2x6x6x6+1x6x6x6x6=1,故答案为：1.点睛：本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算：本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）yi=（120-a）x（l<x<125,x为正整数），y2=100x-0.5x2（l<x<120,x为正整数）；（2）110-125a（万元），10（万元）；（3）当40VaV8（）时，选择方案一；当a=80时，选择方案一或方案二均可；当80<aV100时，选择方案二.【解析】（1）根据题意直接得出力与y2与x的函数关系式即可；（2）根据a的取值范围可知yi随x的增大而增大，可求出yi的最大值.又因为-0.5V0,可求出y2的最大值；（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二.当2000-2（）0a>l以及2000-200aVI.【详解】解：（1）由题意得：yi=（120-a）x（l<x<125,x为正整数），y2=100x-0.5x2（l<x<120,x为正整数）；0V40<a<100,.,.120-a>0,即yi随x的增大而增大，.••当x=125时,yi*大值=(120-a)xl25=110-125a(万元)②y2=-().5(x-100)2+10,Va=-0.5<0,r.x=100时，y2量大值=10(万元)；I•由110-125a>10,/.a<80,二当40VaV80时，选择方案一；由110-125a=10,得a=80,当a=80时，选择方案一或方案二均可；由110-l25a<10,得a>80,二当80VaV100时，选择方案二.考点：二次函数的应用.19、(1)=x2+7+^—-(2)见解析-JC+1【解析】(1)根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式即可;(2)原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可.【详解】(1)设-X，-6x+l=(-x2+l)(x2+a)+b=-x4+(1-a)x2+a+b,解得：a=7,b=l,则原式=x?+7+—l-；-x+1—x4—6+8 1(2)由(1)可知，—~~°=x2+7+--—-x2+i -x2+lVx2>0,：.x2+l>l；当x=0时，取得最小值0,当x=0时，x2+7+ 最小值为1,-X+1即原式的最小值为1.

20、证明见解析.【解析】【分析】利用AAS先证明AABHgADCG,根据全等三角形的性质可得AH=DG,再根据AH=AG+GH,DG=DH+GH即可证得AG=HD.【详解】VAB/7CD,；.NA=ND,；CE〃BF,.*.ZAHB=ZDGC,在AABH和ADCG中，Z=NO<ZAHB=NDGC,AB=CD/.AABH^ADCG(AAS),.*.AH=DG,VAH=AG+GH,DG=DH+GH,.\AG=HD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.21、52【解析】根据楼高和山高可求出EF,继而得出AF,在RtAAFC中表示出CF,在RtAABD中表示出BD,根据CF=BD可建立方程，解出即可.【详解】如图，过点于点F.如图，过点于点F.设塔高AE=x,由题意得,E尸=5E-CQ=56-27=29/n4/r=AE+E尸=(x+29)m,在RtAAFC中,NAC/=36。52'4尸=(x+29)m,JSIICF=AF536°52'JSIICF=AF536°52'x+29

0.754 116=—XH 在RtAABD中,NAOB=45°,AB=x+56,贝ljBD=AB=x+56,'：CF=BD,解得：x=52,答：该铁塔的高AE为52米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思想求解，难度一般.22、（1）DF=EF+BE.理由见解析；（2）CF=1.【解析】（1）把AABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,可使AB与AD重合，证出△AEF^^AFG,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案：⑵根据旋转的性质的AG=AE,CG=BE,NACG=NB,NEAG=90。，NFCG=NACB+NACG=NACB+NB=90。,根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；关键全等三角形的性质得到fg=ef,利用勾股定理可得CF.解：（1）DF=EF+BE.理由：如图1所示，VAB=AD,.•.把AABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,可使AB与AD重合，VZADC=ZABE=90°,.•.点C、D、G在一条直线上，；.EB=DG,AE=AG,NEAB=NGAD,VZBAG+ZGAD=90°,:.ZEAG=ZBAD=90°,VZEAF=15°,ZFAG=ZEAG-ZEAF=90°-15°=15°,/.ZEAF=ZGAF,'EA=GA在AEAF和AGAF中，ZEAF=ZGAF..'.△eaf^agaf,/.ef=fg,vfd=fg+dg,.*.df=ef+be；AF=AF(2)VZBAC=90°,AB=AC,二将AABE绕点A顺时针旋转90。得△ACG,连接FG,如图2,S2；.AG=AE,CG=BE,NACG=NB,NEAG=90°,二ZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90°,AFG2=FC2+CG2=BE2+FC2；又•.,NEAF=15°,而NEAG=90°,.,.ZGAF=90°-15°,rEA=GA在AAGF与AAEF中，,NEAF=/GAF，AAAEF^AAGF,：.EF=FG,M=AF/.CF2=EF2-BE2=52-32=16,:.CF=1.“点睛”本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫.23、(1)0.3L；(2)在这种滴水状态下一天的滴水量为