我大一-复变函数导数与微分

第二析函第1一、复变函数的导数与微定义:设函数wf(z在区域D内有定义z0z0+z∈D,lim∆wlimf

∆z)f(z0∆z0∆ ∆ ∆存在f(z)在z0处可导f(z)z0的导数dwf(z0)dz

f|z ∆|

∆z)f(z0)∆注:(1)f(z)在区域D内处处可导则称f(z)在D内注:(2)定义中z0+zz0(即z0)的方式是任任意意即当z0+z在区域D内以任何方式趋于z0时f(z0∆z)f(z0)都趋于同一个 ∆例1.f(z)=zn的导数n解:fz)lim∆z

f(z∆z)f(z∆lim∆z

(z∆z)nz∆lim∆z

C1zn1∆zC2zn2(∆z ∆

(∆z)nnzn所以 (zn)nzn1类似可证,(1)1 z例 问f(z)x2yi是否可导解 limf(zz)f(z)z0x0y0

(xx)2(yy)i(x2xx2xf(z)z0处都不可导.f(z)z0处连续

连wwf(z在z0处连续limf(z)f(z0zlim[f(z)f(z)]0limwzzz0z0wf(z)f(z0∵limw w f(z)0

(c)'=0,其中c为复常数(zn)'=nzn1,其中n为正整数[f(z)g(z)]'=f'(z)g'(z).特别,[cf(z)]'=cf[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+ff(z)

g(z)

g2

[g(z)

(z)

f(z)g

(z)],(g(z){f[g(z)]}'=f'(w)g'(z),其中f(z)

其中wf(z)与z(w)个互为反函数的单值函数且(w)

f(z)lim∆w f

∆z)f(z0) ∆z0 ∆ ∆ ∆设函数w=f(z)在z0可导w=f(z0+z)f(z0)=f其中,lim(∆z) 即∆称f'(z0)z为函数w=f(z)在点z0的微分,dw=f||f(z0)

d d z如果f(z)在区域D内处处可微,则称f(z)在D内可微二.解析函数的概f(z)在z0及z0的某一邻域内处处可导如果f(z)在区域D内每一点解析则称f(z)在D内解析,f(z)在z0不解析则称z0为f(z)的奇点.

函数在该点1)f(z)与g(z)在区域D内(在z0处解析,f(z)±g(zf(z)×g(zf(zg(z),(g(z)≠0)在D内(在z02)两个解析函数的复合函数也解析由此得0多项式P(z)0

az azn 的点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的f(z)(3z24z2)10

1z2

,求f

z(z2

第二析函第2uvu定理一:f(z)=u(x,y)+iv(uvuu(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微且(2) (Cauchy-Riemann)方程(简称为C-R方程)这时f(z)uiv1u i 定理二:f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导的充要条件是:(1)u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并且(2) 注:(1)f(z)在区域D内不满足C-R方程 存在,f(z)在D内不解析；f(z)在D内满足C-R方程,且u(x,y)与v(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,f(z)在D内解析.C-R方程在极坐标下的形式为[书u1vrv1rf(z)x

w

z2f(z)ex(cosyisin解1)u=x,uuvv不满足C-R方程f(z)在复平面内处处不可导2)f(z)=|z|2=x2+y2, uu2x,u2vv易知这四个偏导数处处连续但仅当x=y=0时它们才满足C-R方程,因而函数仅在z=0处可导f(0)f(z)ex(cosyisinuexcosvuexcosvexsinexsinvexcos上面四个偏导数都连续且满足C-R方程在复平面内处处可导 且f(z) i =ex(cosy+isiny)=f(z)且 例2.设f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问常数a,b,c,d取何值时f(z)在复平面内处处解析?解 由于 则由ux=vy,

⇒a=2,b1,c1,例3.f'(z)≡0,z∈Df(z)≡C)⇒)∵f(z)uivviu u

v 所以u=常数v=常数f(z)在D内是常数例4.w=f(z)=u(x,yiv(x,y)在区域D内解析并满足下f(z)是常数:[书P67:10]u|f(z)|例5.w=f(z)=u(x,yiv(x,y)在区域D内解析证 w0,z第3对数函乘幂与幂函三角函数和双曲函反三角函数和反双曲函f(z)ex(cosyisinyf(z)f(z)y=0时,f(z)=ex与实指数函数一致,exp(z)ezex(cosyisiny)取x=0时,z=iy,得 公式eiycosyisinRe(ez)excos Im(ez)exsinArg(ez)y2k,k

exexp(z)ezex(cosyisin(ez)ezez1

ez1ez2,ez1 ez1 ez是一个以2ki为周期的周期函数：e2ki ezez

⇒zz2ki,klimez但极限limez不存在例1.求1

22

2)Im(eziewz,(z的函数wf(z)称为对数函数，wLnwuivzreieu

eur

z,v2kArgulnr

z,v2kArgwLnz ziArg由于Argzz，复对数Lnz也是多值的。若Argzargz，则取到Lnz的某一单值函lnz，称为Lnz的主值：lnzlnziargLnz ziArgz zi(argz2kLnzlnz2k k当当k=0时,Lnz取到主值lnlnz ziargzln但Lnzlnx2k k例2.求Ln(1) Ln(1i)及相应的主值Ln(z1z2)Lnz1Lnz2. ln(z1z2)lnz1lnLnz1=LnzLnzz但ln

2lnz1lnLnznnLn

1Lnnznz(n2且nZ∵Lnzlnz2ki,klnz在除去原点对主值分支lnz ziarglnz在除去原点ln|z|在除去原点外处处连续yDoargz在除去原点和负实轴外处yDo故Lnz的每个单值分支除原xw=lnzz=ewDo(ew)ew Do(lnz)dw=1=1 故lnz在除去原点和负实轴外处处解析因而Lnz的每个单值分支除原点和负实轴

(Lnz)z例 设ez2i，求设a,b为复数a0,abebLnaeb[lnai(arga2k)]eb(lnaiArgaeb(lna2ki当k=0时,取到主值eblnaeb(lnaiargaabebLnaeb(lna2ki)eb[lnai(arga2k当babebLna当b是正整数nan与前面的np当bq时,其中p,q为互质整数 则ab有q个值p[lnai(arga2kabepln

(k0,1, ,q e arga arga

q2kan与前面的n a2例4.求1 2

ii和i3的值及其主值2e2Ln1e2(ln12ki) 2k2(k0,1, ii eiLni ei(lni2ki i2k 2k

(k0,1, ebLnzeb[lnziargzi2k kzq当b为q

时,其中p,q为互质整数 则zb有q个值zbebLnz在除去原点和负实轴上的点外根据复合函数求导公式zbebLnzebLnzb1zbb

bzb1eiyeiy

eiyeiycosy 2

siny cosz

eize;2

sinz

eize;

Eular公式的复数形式： coszisineizecosz 2

sinz

eize;cosz,sinz2k(kZ)为周期cosz为偶函数,sinz为奇函数(sinz)cos (cosz)sinsinzsinz,cos coszcossinz cosz不是有界函数sinz=0⇒z (k0, cosz=0⇒z(k1 (k0, 2类似于实数的一些恒等式仍成立.[书P50及sin2zcos2zsin(z1z2)sinz1cosz2cosz1sinz2;cos(z1z2)cosz1cosz2sinz1sinz2;sin2z2sinzcos cos2z2cos2zsin(z)cosz;cos(z)coseizecosz 2

sinz

eize;tanzsinz

cotzcoszsinsecz cscz sin(tanz)sec2z,(secz)secztanz,

(cot)csc2z,(csc)csczcotz,exe

exechx 2

shx 2chz

eze,2

shz

eze.2

thz

eze

ezezezechz 2

shz

eze.2chz,shz 以2ki(kZ为周期chz为偶函数,shz为奇函数(shz)chz, (chz)shz,shiyisin chiycosch(xiy)chxcosyishxsiny,sh(xiy)shxcosyichxsiny,

类似于实数的一些恒等式仍成立[书P68:ch2zsh2z s