2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练-特殊平行四边形重难点突破专题(专项练习)

专题1.30特殊平行四边形重难点突破专题（专项练习）一、填空题类型一、最值问题.如图，正方形ABC。，E是对角线30上一动点，DFYBD,且= 连接CE,CF,EF,若AB=2,则E厂长度的最小值为..如图，矩形ABCE（中，AB=2,AD=4,E为BC的中点，尸为。E上一动点，P为AF中.如图，在矩形ABC。中，AB=6,AE>=5,点P在边上，点。在边BC上，且AP=CQ,连接CP,QD,则PC+3的最小值为.二、解答题类型二、条件（结论）探究型.如图，在四边形A8CQ中，AB//CD,AB^AD,CB=CD,点E是CD上一点，连接BE交AC于点F,连接OF（1）求证：四边形ABCZ）是菱形；（2）试探究8E满足什么条件时，NEFD=NBCD,并说明理由..已知aABC是等边三角形，点8,。关于直线AC对称，连接AO,CD.(1)求证：四边形ABC。是菱形；(2)在线段AC上任取一点尸(端点除外)，连接PD将线段尸。绕点尸逆时针旋转，使点D落在8A延长线上的点。处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时，NOPQ的大小是否发生变化？说明理由.(3)在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明..已知，在正方形ABCC中，连接对角线80,点E为射线CB上一点，连接AE.尸是AE的中点，过点尸作尸于尸，尸M交直线8。于M,连接ME、MC.(1)如图1,当点E在CB边上时.①依题意补全图1:②猜想/MEC与NMCE之间的数量关系，并证明.(2)如图2,当点E在CB边的延长线上时，补全图2,并直接写出AE与MC之间的数量关.小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1,我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是.(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCO的面积S与两条对角线AC、8力之间的数量关系：.(3)问题解决：如图2,分别以RtzXABC的直角边AC和斜边AB为边向外做正方形ACFG和正方形ABOE,连结BG、CE交于点N,CE交AB于点M,连结GE.①求证：四边形BCGE为垂美四边形；②已知AC=4,AB=5,则四边形BCGE的面积为.类型三、坐标系中的特殊四边形.图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，直线y=H+15(kxO)经过点C(3,6),与x轴交于点A,与y轴交于点3.线段8平行于X轴，交直线y=于点0,连接OC,AD.(1)填空：k=，点。的坐标是()；(2)求证：四边形OAOC是平行四边形：(3)动点尸从点。出发，沿对角线0。以每秒1个单位长度的速度向点。运动，直到点。为止；动点。同时从点。出发，沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动，直到点。为止.设两个点的运动时间均为♦秒.①当『=2时，aCPQ的面积是.②在点尸，。运动过程中，当CP_LCQ时请直接写出此时/的值 .H.如图，在以点。为原点的平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为(40),(叫,点C在y轴上，且BC〃x轴，a,方满足卜-3|+^/^4=0.点尸从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-A-B-C-O的路线运动(回到。为止)(1)直接写出点A,B,C的坐标；(2)求出使得三角形CPO的面积是四边形0ABe面积的一半的点P的横坐标；(3)点P运动f秒后(twO),是否存在点P到x轴的距离为5个单位长度的情况.若存在，求出点尸的坐标：若不存在，请说明理由.对于平面直角坐标系xQy中的两点A和C,给出如下定义：若A,C是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与％轴或＞轴垂直，则称该矩形为点a,c的“对角矩形”，下图为“对角矩形''的示意图.已知点A的坐标为(1,1),点C的坐标为(1)①当r=4时，点A,C的“对角矩形”的面积S的值为②若点a,C的“对角矩形”的面积是8,则r的值为；(2)若点A,C的“对角矩形”是正方形，求直线AC的解析式.类型四、特殊平行四边形中的动点问题.如图所示，在矩形ABCD中，Afi=24cm,BC=10cm,点P从A开始沿AB边以4m/s的速度运动，点。从C开始沿8边以2m/s的速度运动，如果点尸，。分别从A,C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为rs.(1)当f=2时，求尸，。两点之间的距离.(2)当r为何值时，线段AQ与。尸互相平分？(3)当，为何值时，四边形APQ。的面积为矩形ABCO面积的1O.如图，在矩形ABC。中,M是边AO的中点,P是边BC上的动点，且PELMC,PF1BM,垂足分别为E，F.(1)当矩形ABCC的长与宽满足什么数量关系时，四边形PEMF是矩形？证明你的结论.(2)若四边形尸EMF是矩形，当点尸运动到什么位置时，四边形PEMF是正方形？证明你的结论.类型五、特殊平行四边形中的折叠问题.如图，将长方形ABCO沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若AB=3,BC=9,则:(1)试判断折叠后重叠部分三角形ACF的形状，并证明；(2)求重叠部分三角形ACF的面积..如图，将矩形纸片A8CO折叠，使顶点B落在边AO上的点E处，折痕的一端点G在边8c上，另一端尸在AO上，AB=8,BG=10.(1)求证：四边形BGE尸为菱形；(2)求尸G的长.

A'.图，一张矩形纸片ABC。，点E在边AB上，将ABCE沿直线C£对折，点B落在对角线AC上，记为点F.(1)若AB=4,BC=3,求AE的长.(2)连接。凡若点D,F,E在同一条直线上，且。尸=2,求AE的长..如图1,在四边形ABC£>中，AB//DC,AB=AD,对角线AC、80交于点O,AC平分Z&AD.(1)求证：四边形ABC。是菱形；(2)如图2,点E是C。边上一点，将四边形沿着BE翻折得到四边形4DEB,若点次恰好落在边OC的中点处，且B£>'=20，求菱形ABC。的周长.

DAA图2DAA图2.如图，折叠矩形ABC。的一边40,使点。落在BC边上的点尸处，AE是折痕.(1)如图1,若AB=4,AA5,求折痕AE的长；⑵如图2,若AE=。，且EC：FC=3：4,求矩形ABC。的周长..综合与实践在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的数学活动"~"折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验.实践发现：对折矩形纸片A8CC,使AO与BC重合，折痕为EF,把纸片展平：再一次折叠纸片，使点4落在EF上的点N处，并使折痕经过点B,折痕为BM,把纸片展平，连接AM如图①;(1)折痕所在直线是否是线段AN的垂直平分线？请判断图中aABN是什么特殊三角形？请写出解答过程.(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点8,得到折痕BG,把纸片展平，如图②，求NGBN的度数.(3)拓展延伸：如图③，折叠矩形纸片A8C。，使点A落在BC边上的点4处，并且折痕交8c边于点7,交4。边于点S,把纸片展平，连接A4'交S7于点。，连接A7；求证：四边形是菱形.图①图②图①图②图③.如图，已知以AABC的三边为边，在BC的同侧分别作等边三角形A8。、8CE和ACF.(1)求证：四边形4OEF是平行四边形；(2)△ABC满足什么条件时，四边形4OEF是菱形？是矩形？并说明理由；(3)这样的平行四边形AOE尸是否总是存在？请说明理由.

20.如图，矩形。A8C中，点A在x轴上，点C在y轴上，点8的坐标是(6,8),将矩形OA8C沿直线BO折叠，使得点C恰好落在对角线08上的点£处，折痕8。所在直线与y轴、x轴分别交于点。、F.(1)求线段OE的长；(2)求点尸的坐标；(3)若点用在直线y= 上，则在直线8。上是否存在点尸，使以C、。、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；不存在，说明理由.参考答案【解析】【分析】过C作CE_LB£>『点E',根据正方形的性质易得aEBCga血(SAS),进而得至I]CE=CF,NBCE=ZDCF,易得到是等腰直角三角形，进而求出跖=0CE，节E运动到E'时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时E尸最小值为EF=0C£，求出CE'即可求解.【详解】解：过C作CE」8£>丁点£,如图：••・四边形A8CO是正方形，二CD=BC,NDBC=NBDC=45°.DF上BD，：.ZFDB=90°,：.NFDC=2FDB-ZBDC=90°-45°=45°,，NFDC=NEBC.在a£BC和△F£)C中BE=DF■NEBC=NFDC,BC=CD；.aEBC%FDC(SAS),:.CE=CF,ABCE=NDCF.'：NBCF+NECD=9Q。,/.ZDCF+ZECD=90°,即NEC/=90。，A 是等腰直角三角形，•*-EF=辰E..•.当CE最小时，Ef最小，.•.当E运动到£时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时E尸最小值为即=0C£.AB=2,CEA.BD,：.CE'=-BD=-xy/2x2=42,2 2E尸最小值为0CE'=0x0=2.故答案为：2.【点拨】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出= 是解答关键.2忘【解析】【分析】取AD中点，，连接B”，CH,设BH与AE的交点为O,连接CO,可证四边形DEB”是平行四边形，可得BH〃DE,由三角形中位线定理可得可得点P在8”上，当CFLB”时，PC有最小值，即可求解.【详解】解：如图，取AC中点，，连接BH,CH,设8”与AE的交点为O,连接CO,如图所示：•••四边形4BCO是矩形，：.AB=CD=2,AD=BC=4,AD//BC,NBAH=NCDH=90。,•点E是8c中点，点，是AO中点，：.AH=CE=DH=BE=AB=CD=2,四边形BECH是平行四边形，ZAHB=ZABH=1x90°=45°,2Z.DHC=Z.DCH=1x90°=45°,2BH//DE,,点P是A尸的中点，点”是A。的中点，：•PH〃ED，.•.点P在BH上,ZAHB=Z.DHC=45。，ZBHC=180°-45°-45°=90°,BHLCH,:点P在BH上,.•.当CPL8H时，此时点P与，重合，PC有最小值，在RtACDH中，CH=y/CDr+DH2=272...PC的最小值为2&，故答案为：2&.【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键.13【解析】【分析】连接8P,在8A的延长线」二截取AE=A8=6,连接PE,CE,PC+QD=PC+PB,则尸C+。。的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6,则PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,根据勾股定理可得结果.【详解】解：如图，连接8P,EE在矩形A8CO中，AD//BC,AD=BC,；A%CQ,：.AD-AP=BC-CQ,：.DP^QB,DP//BQ,.••四边形DPBQ是平行四边形，：.PB//DQ,PB=DQ,则PC+QD=PC+PB,则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6,连接PE,...以是8E的垂直平分线，：.PB=PE,:.PC+PB=PC+PE,连接CE,则PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,•；BE=2AB=12,BC=AD=5,CE=^BE2+BC2=V122+52=13.的最小值为13.故答案为：13.【点拨】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.4.⑴见解析(2)当8E_LC£)时，NEFD=NBCD,理由见解析【解析】【分析】(1)首先利用SSS定理证明AABC四△AOCu]■得/BAC=ND4C,由平行线的性质可得ZCAD=ZACD,再根据等角对等边可得AO=C£>,再由条件A8=A£),CB=C。可得AB=CB=CD=AD,可得四边形A8CQ是姜形；(2)首先证明ABCF且ADCF可得NCBF=NCDF,再根据BE工CD可得NBEC=NDEF=90。,进而得到/EFD=/8C£>AB=AD证明：在△ABC和△AOC中，<CB=CC,AC=AC.,.△ABC^AADC(SSS).：.ZBAC=ZDAC.\'AB//CD,：.ZBAC=ZACD.：.ZDAC=ZACD.：.AD=CD.\"AB=AD,CB=CD,.\AB=CB=CD=AD.，四边形ABC。是菱形.解：当8E_LC£)时，NEFD=NBCD.理由：由(1)知四边形A8C7)为菱形，NBCF=NDCF.BC=DC在ABC厂和△OCT中，-NBCF=ZDCF,CF=CF：.△BCF^ADCF(SAS).NCBF=ACDF.'：BEVCD,：.ZBEC=ZDEF=90°.：.NBCD+NCBF=NEFD+NCDF=90°:,NEFD=NBCD.【点拨】本题主要考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等，灵活运用三角形全等的判定及性质是解本题的关健.5.⑴见解析(2)NOPQ大小不变，理由见解析(3)CP=AQ,证明见解析【解析】【分析】(1)连接8。，由等边三角形的性质可得4c垂直平分8D,继而得出AB=8C=CO=AO,便可证明；(2)连接PB,过点P作交AB丁点E,PFLAB丁点F,可证明VAPE是等边■：角形，由等腰三角形三线合一证明NAPb=NEPb,NQPF=NBPF,即可求解；(3)由等腰三角形三线合一的性质可得其尸=尸E,QF=BF,即可证明.(1)连接BD,・••△ABC是等边三角形，,.AB=BC=AC,•.•点8,C关于直线AC对称，.•.AC垂直平分BD,：.DC=BC,AD=AB,：.AB=BC=CD=AD,•••四边形48co是菱形：当点P在线段AC上的位置发生变化时，NDP。的大小不发生变化，始终等于60。，理由如下：••将线段尸。绕点尸逆时针旋转，使点。落在BA延长线上的点。处，：.PQ=PD,••△ABC是等边三角形，AB=BC=AC,ABAC=ZASC=ZACB=60°,连接P8,过点P作尸E〃CB交AB于点E,PFLABp点凡D C则ZAPE=ZACB=60°,ZAEP=ZABC=60°,ZAPE=NBAC=60°=ZAEP,.'.^APE是等边三角形，:.AP=EP=AE,•：PFLAB,.・.ZAPF=/EPF,，•点3,。关于直线AC对称，点尸在线段AC上，；.PB=PD,ZDPA=ZBPA,APQ=PD,\PFLAB.NQPF=NBPF,•・NQPF-NAPF=/BPF-NEPF,即NQ附=/BPE,：・NDPQ=ND*ZQPA=ZBPA-ZBPE=NAPE=60°；AQ=CPf证明如下：・・AC=A8,AP=AE,\AC-AP=AB-AE,BPCP=BEf•；AP=EP,PFLAB,:AF=FE,.PQ=PD,PFLAB,・・QF=BF,；・QF・AF=BF—EF,BPAQ=BE,.'.AQ=CP.【点拨】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键.6.(1)①见解析；②ZMEC=NMCE,见解析(2)见解析，AE=42CM.【解析】【分析】(1)①根据题意作图；②连接AM,利用ASA证明△AQMgZ\C£)M,推出MA=MC,即可得到NMEONMCE；(2)利用ASA证明△AOMgZXCQM,推出AM=MC,ZMAD=ZMCD,再证明△EMA是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解.(1)BEC②NMEC=NMCE,证明：连接AM,•.•F是的中点，FMLAE,：.MA=ME,•••四边形ABC。是正方形，8。是对角线，:.NADM=NCDM,AD=CD,[NAO=CO在"OM和aCOM中，\NAOM=NCDM,[DMDM：./\ADM^/^CDM(ASA),.,.MA=MC,:.ME=MC,：.ZMEC=ZMCE,(2)解：AE=&CM,证明：补全图如图所示，连接MA,是AE的中点，FMLAE,•.,四边形ABCO是正方形，8。是对角线,ZADM=ZCDM,AD=CD,fZAD=CD在AAQM和△COM中，\ZADM=NCDM,[DM=DM.".△ADAf^ACDA/(ASA),：.MA=MC,ZMAD=ZMCD,■:NMEC=NMCE,：.ZMEC+ZMAD=ZDCM+ZMCE=90°,tJADZ/CE,/.ZDAE+ZCEA=180°,/./MAE+/ME4=90。，二ZAME=90°,...△EMA是等腰直角三角形，：.AE=y/2AM=42CM.【点拨】本题主要考查正方形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握两者性质定理并能灵活使用.7.(1)菱形和正方形(2)-AC-BD⑶①证明见解析：②竽【解析】【分析】(1)由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；(2)四边形ABCD的面积=A48c的面积+△ADC的面积=；ACBO+；ACDO-；ACBD-,(3)①连接CG、BE,证出NGA8=NC4E,由SAS证明AGA8且△CAE,得出8G=CE,ZABG^ZAEC,再由角的互余关系和三角形内角和定理求出NBMW=90。，得出8GLCE即可：②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算即可.(1)•.•在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，菱形和正方形一定是垂美四边形;故答案为：菱形、正方形：四边形ABCD的面积=4ABC的面积+△ADC的面积=,4080+14。。。=，AC8。；2 2 2故答案为：\acbd-.2证明：连接CG、BE,如图2所示：,：四边形ACFG和四边形ABDE是正方形,AZF=ZCAG=ZBAE=90°,FG=AG=AC=CF,AB=AE,：.ZCAG+^BAC=ZBAE+ZBAC,即NGA8=ZCAE,在CAE中，'AG=AC•NGAB=ZCAEAB=AEAGA8，CAE(SAS),:.bg=ce9nabg=naec,又•:NAEC+ZAME=90°NAME=NBMN,:.ZABG十N3MN=90。/BNM=90。ABG1CE,・・四边形BCGE为垂美四边形；9：FG=CF=AC=49NAC5=90。，AB=5,*,BC=yjA52—AC2=3»BF=BC+CF=7,在T/Abfg中，BG=JbF+下G，=J72+4?=相，:・CE=BG=底,•・四边形BCGE为垂美四边形，二四边形BCGE的面积=1BGCE=口，2 2故答案为：—【点拨】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键.8.(1)-3,8,6(2)见解析⑶①9②5+而或5-9【解析】【分析】(1)代入。点坐标求出k的值，再根据线段CD平行于X轴，交匕线y=9于点。，得出。4点的纵坐标为6,代入反比例函数解析式求解即可；(2)先通过点的坐标求出OA=CQ,再根据题意得出。4〃8,即可证明;3（3）①作C7/LOQ与从设〃的坐标为（见:⑼，由勾股定理得。〃2+。”2=。2,算出C”的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可求解；②先确定四边形CFQ是矩形，根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、。的位置分情况计算即可.•••直线y=丘+15（女x0）经过点C（3,6）,;.6=3&+15,k=3）•.•线段C£＞平行于x轴，交宜线y=[x于点。，4点的纵坐标为6,,3,6=寸二.x=8,.・•点。的坐标是（8,6）,故答案为：-3,8,6；由（1）知，点O的坐标为（8,6）,•.•直线y=-3x+15与x轴交于点A,.•.点A的坐标为（5,0）,:点C的坐标为（3,6）,.'.CD=8—3=5，，OA=CD=5,乂•.•线段8平行于x轴，OA//CD,，四边形Q4OC为平行四边形；①作CHA.OD与H,

•・•//点在直线"二力上,433C，2=（山-3）3C，2=（山-3）2+（丁-6）2,0/72=（布-8）2+（为一6冷由勾股定理得，CH2+DH2=CD2>即（m-3）2+（36一6）2+（m-8）2+（-m-6）2=52,24解得m=或8（舍去），；.CH=3,.•OD=V82+62=10-；.r=2时，PQ=OD-t-t=10-2-2=6,.♦.SQQ=g.PQ.C”=gx6x3=9,故答案为：9；②由（2）知，四边形Q4DC是平行四边形,与AC互相平分，又•••点尸、Q的运动速度相同，•.尸。与AC互相平分,••・四边形C阳。是平行四边形，当CP_LCQ时，，四边形C%Q是矩形，-.OD=10,当04r45时，PQ=lO-2t,当54r410时，PQ=2r-10,当P、。运动至四边形C四。为矩形时，PQ=AC,AC=J(5-3>+62=2屈.当04/45时，PQ=10-2t=2y/10,解得r=5-J而，当54/V10时，PQ=2t-\0=2>/\0,解得，=5+Ji5,综上，点?，。运动过程中，当cp，cq时，i的值为5+或5-Ji6,故答案为：5+JiU或5-Jid.【点拨】本题考查了一次函数的性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.9.(l)A(3,0),8(3,4),C(0,4)(2)314(3)(3,1)^(0,y)【解析】【分析】(1)直接根据矩形的性质写出坐标即可；(2)当2点在线段AB上时满足要求，此时尸点横坐标与A点横坐标相等，即可作答；(3)点P可能运动到AB或BC或OC上，所以进行分类讨论.(1)V|a-3|+^-4=0,a—3=0,6—4=0,a=3,b—4,根据平面直角坐标系得，A(3,0),8(3,4),:BC〃x轴,；.C点、8点的纵坐标相等，C(0,4).⑵•.•A(3,0),5(3,4),二ABJ_x轴，•••3C〃x轴，.-.BC±AB,;可得四边形OA8C是矩形，即四边形OABC的面积为：/边彩88c=OCx3=4x3=12,当F点在线段AB上时，即有尸点横坐标与A点横坐标相等为3,Sac”=；x℃xR=gx4x3=6则有%8P=-S四迪形(MBC，此时P点横坐标为3,当P点在线段OA或者线段BC上时，Smop=3*℃*P*=21此时P点横坐标小于A点横坐标，即P<3,:,Smop=2以<6,,,^ACOP*^^KHiniOABC，故此时尸点不满足要求；当P点在OC上时，显然*C8=。，不满足要求；综上：P点横坐标为3；存在，如图2—0,点可能运动到A8或8c或OC1上，①当点尸运动到AB上时,2/<7,70<Z<—, A=2t—OA=2f—3,2"3=L2解得：f=2,AJA=2x2—3=1,••点4的坐标为(3,1)；7②当点尸运动到BC上时，742/410,即54r45,点鸟到x的距离为4,解得：r=8,・,・不符合题意;③当点P运动到OC上时，10<2r<14,即5347,AO=OA+A8+8C+OC-2r=14-2r,TOC\o"1-5"\h\z，“C 1，・14—2,=-t,2解得：，=1，“C28- 14•・fit?=-2x—+14=—,5 5••点乙的坐标为(0,晟),综上所述，点P运动t秒后，存在点尸到x轴的距离为卜个单位长度的情况，点的P坐标为:(3,1)或喟).V尸3尸2 BX【点拨】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、绝对值与二次根式的非负性、坐标与图形的性质，解题的关键是掌握非负数的性质，矩形的性质.(1)①6；②5或-3(2)直线AC的解析式为y=-x+2或y=x【解析】【分析】(1)①求出C(4,-1),根据“对角矩形''的定义得到8(1,-1),求出48、BC,再根据公式计算面积；②求出AB=1-(-1)=2,BC=|/-1|,利用面积公式得到2”1|=8,求出f即可；(2)根据正方形的性质得到AB^BC,歹I］得力程"1|=2，解得心或匚-1；利用待定系数法求出解析式.解：①当r=4时，C(4,-1),•••四边形ABC。为“对角矩形”，A(I,1),：.B(1,-1),：.AB=\+\=2,8c=4-1=3,，“对角矩十夕'的面积S=2x3=6,故答案为：6②•••点A的坐标为(1,1)，点C的坐标为。,一1)..".AB=1-<-1)=2,BC=|r-l|,:点A,C的“对角矩形''的面积是8,

/.2|r-l|=8,解得/=5或z=-3；故答案为:5或-3：•••点4,C的“对角矩形''是正方形,：.AB=BC,.,•|r-l|=2,解得片3或01；：.C(3,-1)或(-1,-1),设直线AC的解析式为广*x+6,将A(1,1),C(3,-1)代入得Z+b=l3k+b=-l・•・直线AC的解析式为产-x+2；设直线4c的解析式为产〃3+〃，将A(1,1),C(-L-1)代入得m+几m+几=1—m+n=—l解得〃=0直线AC的解析式为广x；综上，直线AC的解析式为y=-x+2或y=x.【点拨】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，解一元一次方程，正确理解矩形的性质及正方形的性质是解题的关键.(1)25/61cm(2)4s(3)3s【解析】【分析】(1)当仁2秒时，表示出QC,AP的长，利用勾股定理求出PQ的长即可.(2)根据线段AQ与/”互相平分，则四边形APQD4为矩形，也就是分别用含，的代数式表示，解出即可.(3)用，表示出四边形的面积，再求出矩形面积的。进而得出即可.O解：连接PQ,过。点P作PE，。。于点E,如图所示:；AB=24cm,BC=lOcm,点尸从A开始沿A8边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CO边2cm/s的速度移动，.•.当f=2秒时，℃=4cm,AP=8cm,D0=24-QC=2Ocm,则EQ=12cm,•*.PQ=yjQE2+PE2=V102+122=2而i(cm),，P，Q两点之间的距离2而cm.VAP=4/,00=24-27,当线段AQ与QP互相平分，则四边形APQZ)为矩形时，则4P=。。，即4z=24-2r,解得：t=4,故，为4s时，线段AQ与。尸互相平分.在AB上，/.S=^(DQ+AP)AD=-(4z+24-2r)xl02=10/+120(0<r<6),S矩"c。=10x24=240,.-.10z+120=-x240,8解得：/=3,.1为3秒时，四边形APQ£＞的面积为矩形面积的。.O【点拨】本题考查了矩形的性质及勾股定理的应用，根据运动速度得出QC以及4尸的长是解题关键.12.(1)当A£>=2AB时，四边形PEM尸是矩形，理由见解析(2)当点尸运动到边BC的中点时，矩形尸EMF是正方形，理由见解析【解析】【分析】(1)当AD=2AB时，四边形尸EM尸是矩形.根据矩形的性质推出NA=N/)=90。，AM=DM=~^AD.得到ZABM=ZAMB=45°,/DCM=NDMC=45。,求出ZfiA/C=180°-45°-45°=90°,即可证得结论；(2)当点F运动到边8c的中点时，矩形PEMF是正方形；证明△BFPgZ\CEP(AAS),得到= 由此得到四边形PEM尸是正方形.当AD=2■时，四边形FEM/是矩形.证明：•.,四边形A8C£>是矩形，M是边AD的中点，AZA=Z£>=90°,AM=DM=-AD.2•.*AD=2AB=2CD9：.AB=AM=DM=CD,：.ZABM=ZAMB=45°,NDCM=NDMC=45。,：.ZBMC=180°-45°-45°=90°,又,；PE工MC,PFIBM,：.ZMEP=ZMFP=90。,，四边形尸是矩形，即当4)=2AB时，四边形PEM尸是矩形.当点尸运动到边8C的中点时，矩形尸是正方形，此时8P=CP.证明：・・•四边形PEMF为矩形，NPFM=/PFB=NPEC=90。.ZFBP=NECP=45°在△8FP和aCEP中，<NPFB=NPEC,BP=CPAfiFP^ACEP(AAS),PF=PE.又1•四边形FE例尸是矩形，...矩形FEMF是正方形，即当点尸运动到BC的中点时，四边形PEMF是正方形.【点拨】此题考查了证明四边形是矩形，证明四边形是正方形，掌握矩形及正方形的判定定理及正确的论证方法是解题的关键.(1)A4FC是等腰三角形~15⑵万【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到ND4c=N4CB,再由图形折叠的性质可得到N4CB=NACE,继而可得出ND4C=N4CE,这即可判断出后重叠部分三角形的形状：(2)设AF长为x,则CP=x,FD=9-.x,在宜角三角形CO尸中，利用勾股定理可求出X,继而利用三角形面积公式进行计算求解.解：AAFC是等腰三角形.理由如下：•.•四边形ABCO是矩形，：.AD//BC,：.ZDAC=ZACB,由图形折叠的性质可知；ZACB=ZACE,:.ZDAC=ZACE....△AFC是等腰三角形；设AF=CF=x,则F£>=9-x,在R3CDF中，(9-x)2+32=/,解得：户5,：.AF=5,：.S^AFC=^AFxCD^^x5x3=—.2 2 2故重叠部分面积为5.【点拨】此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出4尸的长是解答此题的关键.(1)见解析；(2)FG=4瓜【解析】【分析】(1)由四边形ABCO是矩形，根据折叠的性质，易证得AEFG是等腰三角形，即可得EF=BG,又由EF〃BG,即可得四边形BGEF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形8GEF为菱形；(2)过点尸作尸K,8G于K,可得四边形48K尸是矩形，然后根据勾股定理，即可求得4尸的长，继而求得FG的长.证明：•.•四边形ABCD是矩形，：.AD//BC,：.ZEFG=NBGF,•.•图形翻折后点8与点E五合，GF为折线，:.NBGF=NEGF,:.NEFG=NEGF,：.EF=GE,图形翻折后BG与GE完全重合，：.BG=GE,：.EF=BG,四边形8GM为平行四边形，，四边形8GE尸为菱形；解：过点F作尸KLBG于K,则/FKB=90。,'：NA=NABK=NFKB=9G0,，四边形A8KF是矩形，...尸K=A8=8,BK=AF,在取AA8尸中，AB=8,NA=90°,BF=BG=1Q,'-AF=JbF?-AB?=6«：.BK=AF=6,：.GK=BG-8K=10-6=4,FG=yjFK2+KG2=>/82+42=4石.【点拨】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，以及勾股定理等知识.此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用.(1)AE=—(2)AE=2【解析】【分析】(1)根据勾股定理和折叠的性质，求出AF=2,设A£=x,则BE=4-x=FE,然后利用勾股定理，即可求出答案；(2)由折叠的性质，得到。C=OE,又点£>,F,E在同一条直线上，NEFC=NB,然后证明ACDF义ZSEA,即可求出答案.解：如图1,矩形纸片ABC。中，：AB=4,BC=3,故由勾股定理可得AC=5.由折叠知：FC=BC=3,NEFC=N8=90。，BE=FE.：.AF=AC-FC^5-3=2.设AE=x,则BE=4—x=FE.在心△APE中，22+(4-x)2=x2,解得：x=g.AE=~.2：如图2,矩形纸片ABC。中，D CDC//AB.:・/DCE=/BEC,由折叠知：/BEC=NFEC,:・/DCE=/FEC,：.DC=DE.又丁点O,F,E在同一条宜线上，NEFC=NB,；・NDFC=900,:.4DFC=ND4E=90。，而CF=CB=DA,：.^CDF^^DEA,：.AE=DF=2.【点拨】本题考查了矩形的性质，折总的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地运用折叠的性质进行计算.(1)证明见解析⑵16【解析】【分析】(1)运用平行线性质及角平分线的性质，证得NOCA=ND4C,从而得到CO=A£>,通过等量代换可得，CD=AB,由A8〃CQ,得四边形ABCO是平行四边形，结合AQ=AB,得到平行四边形A8CD是菱形.(2)通过翻折性质及已知条件，设D0E=£)E=x则CD0=2x,BC=DC=4x,在RtABCE中,中,分别运用勾股定理，建立关于x的方程，解方程，从而求出菱形的周长.(1)证明：'：AB//CD,：.ZCAB=ZDCA,为ND48的平分线，：.ZCAB=ZDAC,：.ZDCA=ZDAC,：.CD^AD,又,.•AC=AB：.CD^AB."：AB//CD,CD=AB,四边形ABCD是平行四边形，又,..4。=48,，平行四边形ABC。是菱形；解：：四边形AOEB沿着BE翻折得到四边形AD£B,且以恰好为0c的中点,.,.BEA.CD,设ME=DE=x,则CW=2r,BC=DC=4x,在R38CE中，BC=4x,CE=3x,则BE="x,在心△8D0E中，BE2+E»2=b",Ax2+(y/ix)2=(2y/2)2,解得X=l,:.DC=4x=4,；・菱形A8C£＞周长为16.【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理求直角三角形的边长，运用翻折性质，大胆设未知数建立方程是解题的关键.17.⑴述2噌【解析】【分析】(I)由勾股定理求出8尸，CF的长，EF=DE=x,则CE=4-x,得出2?+(4-x)2=x2,解方程即可得解：(2)设EC=3x,则FC=4x,得出EF=£)E=5x,AF=AD=y,则8F=y-4x,在RfAABF中，得出(8X)2+(y-4x)2=死则产10x,得出(10x)2+(5x)2=(石)2,解出x的值，求出和48的长，则答案可求出.(1)解：..•四边形A8CO是矩形，ZABC=90°,AB=CD=4,AD=BC=5,由折置可知，AD=AF=5,DE=EF,•••BF=ylAF2-AB2=V52-42=3，；・FC=BC・BF=5・3=2,设EF=DE=Xf则C£=4-x,・・・C产+C£：2=E产，/.22+(4-x)2=x2,解得：X=|,DE=)2：.AE=yjAD：.AE=yjAD2+DE2解：,:EC：FC=3：4,.,.设EC=3x,PllJFC=4x,:-EF=VCF2+CE2=5x,/•DE=5x,：.AB=CD=Sxf设AF=AD=yf则BF=y-4xf在RfAABF中,AB2+BF2=AF29/.(8x)2+(y-4x)2=y,解得产IOx,在放AAOE中，Aiy^DE^AE2,：.(10%)2+(5x)2=(石)2,解得4g或x=-g(舍去)，QAD=1Oa-2,AB=Sx=—,Q 46...矩形A8CO的周长为(2+1)x2=y.【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键.18.(1)折痕所在直线是线段4N的垂宜平分线，aABN是等边三角形,过程见解析(2)15°(3)见解析【解析】【分析】(1)由折叠的性质可得4V=BMAE=BE,NNEA=90。，垂直平分AN,NBAM=NBNM=90°,可证△ABN是等边三角形；(2)由折叠的性质可得/A8G=N”BG=45。，可求解：(3)由折卷的性质可得AO=AO,AA'1.ST,由“AAS”可证△ASO丝△ATO,可得SO=TO,由菱形的判定可证四边形SA7次是菱形.解：如图①，,/对折矩形纸片ABCO,使AD与BC重合，.♦.E尸垂直平分AB,：.AN=BN,AE=BE,NNEA=90°,•••再・次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，垂直平分AN,NBAM=/BNM=90°,：.AB=BN,:.AB=AN=BN,...△ABN是等边三角形， f图①解：•••折叠纸片，使点A落在8c边上的点〃处，,ZABG=ZHBG=45°,:.NGBN=NABN-NA8G=15。，证明：•.•折叠矩形纸片A8C3,使点A落在8c边上的点4处,.'ST垂宜平分4V,：.AO^A'O,AA'_LS7,'JAD//BC,：.ZSAO=ZTA'O,ZASO=ZA'TO,：.AASO^AA'TO(AAS)：.SO=TO,四边形ASA7是平行四边形，又'."'_LS7',四边形SA以'是菱形.【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.19.(1)证明见解析；(2)当48=AC时，四边形ADE尸是菱形，当NBAC=150。时，四边形AOEF是矩形.理由见解析：(3)不总是存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得出AC=AF,AB=BD,BC=BE,ZEBC=ZABD=60°,求出N£>8E=NA8C,根据SAS推出△38ETZXA8C,根据全等得出£>E=AC,求出。E=A尸，同理AQ=EF,根据平行四边形的判定推出即可；⑵当AB=AC时，四边形4QEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当N8AC=150。时，四边形AOE尸是矩形，求出ND4F=90。，根据矩形的判定推出即可；(3)这样的平行四边形AOEF不总是存在，当N8AC=60。时，此时四边形AOE尸就不存在.证明：VAAfiD,△BCE和aACF是等边三角形，：.AC=