2021年高考数学学科基地押题卷【含答案】

2021年高考学科基地押题卷之10数学（本试卷满分150分，用时120分钟）注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。.考生必须保证答题卡的整洁。结束后，将试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题S分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.已知集合"={x[T<x<3,xeN},5={C|CgJ}（则集合8中元素的个数为（）TOC\o"1-5"\h\zA.6 B.7 C.8 D.9a+i2016.已知。为实数，若复数z=（a2—l）+g+l）i为纯虚数，则1+i=（ ）A.1 B.0C.1+i D.1-i2z=sin（—4-2）.已知实数XJ*满足X=4-,y=log53, 2 ，则（）Az<x<y by<z<x qz<y<x px<z<y.如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润=收入U支出）都不高于40万的概率为

.安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润X（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据:1.015100»4.432,Igll®1.041）Ay=0.04xB歹=1.015,-1c.）一叫历fd.NAy=0.04x.己知正项等差数列｛"J中，若％+%+%=15,若4+2,%+5,%+13成等比数列，则力。等于（）

A.21B.23C.24D.258.如图，在中，若4B=GAC=b阮=4BD,用心B表示力为（A.—11-A.21B.23C.24D.258.如图，在中，若4B=GAC=b阮=4BD,用心B表示力为（A.—11-4D=—G+—b4 4B.—5 1-AD=—G+—b4 4C.—3 1-AD=-G+—b4 4D.一5 1一AD=G——b4 49.2 2"F =一右=1（4>0,6>0）如图，'”4分别是双曲线a-b- 的左、右焦点，过的直线/与双曲线分别交于点48,若6为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）5x25yA.B.C.7 28D.5x25y2 -128 710.《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题:“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图,若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ）［开始J

sI I—--I产36IIM[)A.左>20 bk>2\(2k>22 D.k>2311.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )力气用1+lnx,0<x<lf(x)=<J_%>]12.已知函数[2'T' ,若方程/⑶一(l+a)/(x)+a=°恰有三个不同的实数根，则实数。的取值范围为A.(-8,0)b.(°，+°°)C.(L+00)D.(°」)第H卷(非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。.在数列也｝中，可=2%(〃22,〃6”)，前〃项和为邑，则邑出= „.设x〉0/〉0,x+2y=2,则中的最大值为..设曲线‘一》在点(1/)处的切线与曲线、=€'+1在点p处的切线垂直，则点P的坐标为.已知抛物线0:^=2加(P>0)的焦点为产，点”(Xo,2&)(*>2)是抛物线C上一点，TOC\o"1-5"\h\z/ 幽=2以M为圆心的圆与线段M/相交于点力，且被直线“ 2截得的弦长为若恒日则 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共60分.， 口、/s\n(7r-B)= .在锐角三角形"SC中，BC=1,AB=72, 4.(1)求AC的值；(2)求sin(4-8)的值.如图，在四棱锥尸一/BC。中，尸/,平面48c0,底面/8C0是菱形，PA=AB=2,/.BAD=60°(I)求证：直线80,平面尸/C：(H)求直线尸8与平面尸40所成角的正切值;5(HI)设点M在线段PC上，且二面角°一”8-力的余弦值为7,求点M到底面N8CD的距离.。：工+己=1.设椭圆,/b2(a>">0)的左、右焦点分别为片、过用的直线交椭圆于48两点，若椭圆c的离心率为5,a'B耳的周长为g.（I）求椭圆C的方程；（II）已知直线/：y=b+2与椭圆c交于M、N两点，是否存在实数上使得以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出发的值；若不存在，请说明理由..设函数/（x）=x2_a（］nx+l）（1）当。=1时，求在点处的切线方程;fl>2 ［oj］（2）当“,e时，判断函数“X）在区间I是否存在零点？并证明.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20〜9：40记作区间［2°，40）,9:40〜10:00记作［4°，60）,10:00〜10:20记作［6°，80）,io2。〜10：40记作［80,100］比方：io点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20〜10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）：（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9:20〜10:00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（〃，/），其中〃可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，〃可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46〜10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若7〜则尸(〃-b<TW〃+cr)=0.6826,P(〃-2cr<T4〃+2b)=0.9544P(〃-3。<7(〃+3。)=0.9974（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4・4：坐标系与参数方程x-2GcosB在直角坐标系中，曲线C的参数方程[y=2sin/ （,为参数）.直线/的参数方程x=C+tcosa<》sina （f为参数）.（I）求曲线°在直角坐标系中的普通方程；（n）以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线c截直线/所得线段的中卜，A点极坐标为（6）时，求直线’的倾斜角.23.选修4-5：不等式选讲己知函数“XX2X-3I+I2X-1I的最小值为”.（1）若m,ne[-M（M]_求证：2\m+n\^\4+mn\21——I——（2）若a,be（0,+8）.a+2b=M,求。6的最小值.2021年高考学科基地押题卷10数学（本试卷满分150分，用时120分钟）注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。.考生必须保证答题卡的整洁。结束后，将试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.已知集合/= xe"B={C\C^A}f则集合8中元素的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9C【分析】先根据题意解出集合“，再根据题意分析8中元素为/中的子集，可求出.【详解】解：因为集合/={x[T<x<3,xeN},所以/={0,1,2},因为8={C|Cg/},所以8中的元素为“的子集个数，即8有2?=8个,故选：°.本题考查集合，集合子集个数，属于基础题.TOC\o"1-5"\h\z.已知。为实数，若复数z=(“2—l)+(a+l)i为纯虚数，则1+i=( )A.1 B.0C.1+i D.1-iD因为z=St）+（"1）i为纯虚数，所以/T=°，a+1’°,得。=1,则有1+i1+i20161+1 2（l-i） . = - -1-11+i l+i（l+i）（l-0 ，故选D.A,i々z=sin（—+2）.已知实数XJ*满足x=4,y=^g53t2，则（）Az<x<y by<z<x cz<y<x 口x<z<yC乂=4。5=">1,O^log5l<y=log53<log55=1/in（2J综上所述，故z<y<x故选c.如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润=收入口支出）都不高于40万的概率为万元收入I234 67S910II12q2 2 3 4A.5 B.5 C.5 D.5B【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数〃=屐=",由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入一支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求.【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数〃=*二"，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，,这2个月的利润（利润=收入一支出）都不高于40万包含的基本事件个数加=盘=6,p_m_6_2,这2个月的利润（利润=收入一支出）都低于40万的概率为一"-15一^,故选：B本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题..函数,GM厂一4x+l）e*的大致图象是（）

【分析】用x<°排除8,C；用x=2排除£>；可得正确答案.【详解】解,当x<0时，x?—4x+1>0,e'>0,所以/（力°,故可排除8,C；当x=2时，/（2）=-3e-<0,故可排除°故选：A.本题考查了函数图象，属基础题..安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现10°万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润X（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：1.O15100»4.432,lgll«1.041）

A歹=0.04xb尸L015-lc dy=log,,(3x-10)D【分析】根据奖励规则，函数必须满足：xw(6，l0°L增函数，y"3,y40.2x【详解】对于函数：y=S04x,当x=100时，y=4>3不合题意：对于函数：y=1915'_1,当x=100时，、=3.432>3不合题意；(X)y=tan 1对于函数： (19人不满足递增，不合题意；对于函数：y=bgu*x-l°),满足：xe(6,100],增函数，且”logu(3xl00-10)=logu290<logul331=3,结合图象：符合题意.故选：D此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验..已知正项等差数列S"｝中，若《+々+4=15,若《+2,生+5,%+13成等比数列，则“10等于()A.21 B.23 c.24 D.25A构成等比数:正项等差数列｛""｝中，/+。2+。3=15,Aa2=5,d>0va1+2,a2+5,a3+13

列，即7-d，l°，18+d构成等比数列，依题意，有（7-"）（18+"）=10°,解得［=2或"=一13（舍去），♦•吗。=%+。0-2）1=5+8x2=21,故选4构成等比数.如图，在A48C中，若存="AC=b,BC=4BDt用久行表示而为（）TOC\o"1-5"\h\z——5 1-B.AD=-a+-b4 4B.——5 1-AD=—a——bD.4 4【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果.【详解】—————1——1'—---、3—1—31—AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC=-a+-b4 八74 4 4 4本题正确选项：c本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则.2 2pp —r——-=l（a>0,/?>0） f（S0、9.如图，分别是双曲线匕 的左、右焦点，过''J的直线/与双曲线分别交于点4",若为等边三角形,则双曲线的方程为（

B.D.5x25yB.D.5x25y2 -128 7根据双曲线的定义，可得|AF"|AF2|=2a,•.•△ABF?是等边三角形，即|AF2|=|AB|/.|BF,|=2aXV|BF2|-|BFI|=2a,.,.|BF2|=|BF||+2a=4a,•.,△BF1F2中，|BFi|=2a,|BF2|=4a,ZFIBF2=120°...|FF2|2=|BF1F+|BF2|2-2|BF1卜|BF21cos120。即4c2=4a2+16a2-2x2ax4ax（.2））=28a2.解得c2=7a2,又©=将所以/=1，〃=6方程为“ 6故选C点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a,b的关系是解决本题的关键.10.《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ）[开始J

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I尸IJ.I寸II尸;Mx-1[k=k+1 ]/输出xc~ ，一:【结束）A.左>20 bk>2\（2k>22 D.k>23A【分析】根据程序框图确定X，歹表示的含义，从而可利用方程组得到输出时X的值，从而得到输出时％的取值，找到符合题意的判断条件.【详解】由程序框图可知，》表示人数，y表示养价5x4-45=yV该程序必须输出的是方程组［V=3+7x的解，则x=21•••%=21时输出结果 ..・判断框中应填%>2°本题正确选项：4本题考查根据循环框图输出结果填写判断框内容的问题，关键是能够准确判断出输出结果时％的取值，属于常考题型..已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

为々阳， 9A.6B.为々阳， 9A.6B.一215C.—4D.17

T该几何体是正方体截去一个三楼台所得,—,故选3D.l+lnx,O<x<l/(x)={1 ,.已知函数 12' ,若方程广(》)一(1+。)/(幻+。=°恰有三个不同的实数根，则实数。的取值范围为A.(-%0) b.(°，+8) C.(L+00) D.(°，1)【分析】尸(x)-(l+aV(x)+a=O等价于『㈤”或小)=1,由/(')=1有唯-解可得/G)=a有两个不同的根，转化为)'=/(")'y="的图象有两个交点，利用数形结合可得结果.【详解】/2(x)-(l+a)/(x)+a=o可变形为"(X)-a][/(x)-l]=O)即/(x)=。或/G)=l,由题可知函数"X)的定义域为(°，+8)，当XG(°』时，函数/(X)单调递增:当*«1，+8)时,函数”X)单调递减，画出函数“X)的大致图象，如图所示,当且仅当x=l时，/（x）=l,因为方程（X）一（1+a）/（x）+4=o恰有三个不同的实数根,所以/（x）="恰有两个不同的实数根，即N=/（x），ka的图象有两个交点，由图可知°<。<1时，k/（*）'、="的图象有两个交点，所以实数。的取值范围为（°」），故选D.本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用,属于难题.函数零点的几种等价形式：函数歹=/a）-g（x）的零点。函数y=/a）-g（x）在x轴的交点。方程f（x）—8。）=0的根。函数V=/（x）与y=g（x）的交点第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。—sefaI.a00 =2a„An>2.neN） S13.在数列中，1 ,〃 人前〃项和为〃，则15~2»2由题意可得4T,故数列归口为等比数列，且公比q=2,%（1-夕4）S-匚q _J""，15故外 。闻 <7（l-q）215故214.设x>0,y>0,x+2y=2,则犯的最大值为.]_2【分析】已知x>°,歹>°,》+2歹=2,直接利用基本不等式转化求解中的最大值即可.【详解】X〉0,丁>°,*+2y,即2》2"秘，两边平方整理得“(3,1 1y=— —当且仅当x=l, 2时取最大值2；故2本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件.15.设曲线'-X在点(1」)处的切线与曲线旷=仃'+1在点P处的切线垂直，则点P的坐标为(0,2)【分析】1分别求出.x,y=e+1的导数，结合导数的几何意义及切线垂直可求.【详解】设P(x。，%),因为“一受的导数为'X2,所以曲线‘一》在点(1，1)处的切线的斜率为一1；因为y=e'+1的导数为j/=e二曲线y=e'+1在点p处的切线斜率为e』，所以(T)xe'"=-1,解得x0=0,代入ke，+l可得%=2,故尸(0,2).本题主要考查导数的几何意义，利用导数解决曲线的切线问题一般是考虑导数的几何意义，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.16.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，点“(Xo,2&)0°>2)是抛物线C上一点,以M为圆心的圆与线段以M为圆心的圆与线段Mb相交于点Z,且被直线x_p.2截得的弦长为_4._4.将M点坐标代入抛物线方程得8=2"。，解得"P,M即\MF\=(2⑸，由于|加力士同\MF\=(2⑸，由于|加力士同1vl业久^\DE\=43\MA\1 ।为圆的半径，而।IvI।2兀4DME=—,所以 3—山故:上网=抑"昌用，即,两边1-^=1平方化简得f2，解得夕=2,故\MF\=3|/=；画|=1本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查圆和直线的位置关系，考查特殊的等腰三角形中解三角形的方法.首先“点是在抛物线上的，坐标满足抛物线的方程，由此求得飞的坐标，然后根据直线截圆所得弦长，得到M点横坐标和圆半径的关系，由此列方程求解出°的值.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共60分r-sin(乃-8)=——TOC\o"1-5"\h\z17.在锐角三角形45c中，BC=1,AB=72, 4(1)求AC的值；(2)求sin("-8)的值V14⑴6(2) 8【分析】•/ 八/sin(1-8)= (1)由三角形ABC为锐角三角形，根据诱导公式化简 4，即可求出si〃8的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出C0S8的值，由ab,BC及C0S8的值，利用余弦定理即可求出ac的长；(2)由BC,AC及$山8的值，利用正弦定理求出sin/的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos4的值，然后利用两角差的正弦函数公式化简sin(4-8)后，把各自的值代入即可求出值.【详解】.，口、Asin(万一8)= 解：(1) 为锐角三角形， 4•.•在△Z8C中，由余弦定理得：AC'=AB2+BC~-2AB-BCcosB=(V2)2+l2-2x>/2xlx—4=2：.AC=yf2BCAC(2)在△4BC中，由正弦定理得sin/sin5

V14sinJ=得V14sinJ=得^CxsinBlx4ACcosA=Vl-sin2A=Jl--—=—V164V7V23V14 V14— x x — Asin(/4-5)=sinAcosB-cosAsinB4444g此题考查了三角函数的恒等变形,正弦定理及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.18.如图，在四棱锥中，P4J■平面48C0,底面Z8C0是菱形，PA=AB=2,ABAD=60°（I）求证：直线80,平面4C：（n）求直线P8与平面所成角的正切值；5（DI）设点M在线段尸。上，且二面角的余弦值为亍，求点M到底面的距离.V15（I）证明见解析：（II）5；（皿）2.【分析】（I）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（口）建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可；（DI）设=由题意结合空间直角坐标系求得之的值即可确定点M到底面Z8CO的距离.【详解】（I）由菱形的性质可知8。1AC,由线面垂直的定义可知：BD1AP,且/尸c/C=4,由线面垂直的判定定理可得：直线8。，平面以C；（口）以点/为坐标原点，AD/尸方向为y轴之轴正方向，如图所示，在平面N8CD内与月O垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系"一孙z,P（0,0,2）,8（73,1,0）A（0,0,0）,Z）（0,2,0）z^U•则直线尸8则直线尸8的方向向量很明显平面尸40的法向量为阳设直线PB与平面PAD所成角为e,.八PB,mV3 /t r~ 1—s\n0=....=—=— yJ5sin，J3V15则 四x|H岛1,c°s”*可（四设”（x，y，z）,且两=/1（0"wi）,由于P（°，°，2），cg，3,0）8（yj,l,0）4（0,0,0）x=VJ/I<y=32故：（》/-2）=«/3,-2）,据此可得』=2+2,即点M的坐标为"曲'配T+2）,设平面CA/3的法向量为：々=（x”M，zJ,则:

n}-CB=(x1,j；1,z1)-(O,-2,O)=-2j/1=0〃1.MB=,Z))• —V3/1,1—32,22—2 0据此可得平面CMB的一个法向量为：W,=设平面的法向量为：〃2=(X2，％，Z2),贝|J：n2,AB=(x2,j^2,z2)-^3,1,0^=>/3x2+j^2=0n2-A/5=(x29y2,z2y(y/3-V32,1-32,22-2^=0C3/12+-C3/12+-- < 1—— 上G「一" 32^-7V7xll+3d rV(1-团25二面角C—MB一力的余弦值为7,故：整理得14万-19%+6=0,2 或；1=勺解得.2 72由点M的坐标易知点M到底面"88的距离为1或者乙本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.C：W+Zi=l19.设椭圆«2b2（。>'>0）的左、右焦点分别为片、F2,过鸟的直线交椭圆于£4B两点,若椭圆c的离心率为万，a'B片的周长为&（I）求椭圆C的方程；（D）已知直线/：V=b+2与椭圆c交于M、N两点，是否存在实数上使得以A/N为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出A的值：若不存在，请说明理由.x2y2 ,,2/r F-~-=1 k=±—V3（I）4 3 （n）存在，3

【分析】（I）根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组，解方程组求得a，"。的值，进而求得椭圆的标准方程.（II）设出两点的坐标，联立直线’的方程和椭圆方程，计算判别式求得左的取值范围，并写出根与系数关系，根据圆的几何性质得到由此得到%/2+弘必=°,由此列方程，解方程求得〃的值.【详解】x2y2।,所以所求椭圆的标准方程是4 3C_1a2<x2y2।,所以所求椭圆的标准方程是4 3（I）由题意知、（II）假设存在这样的实数上使得以MN为直径的圆恰好经过原点.4 34 3设A/（X],必）、N（x29y2）联立方程组[y=Ax+2消去y得（3+4女2）12+16Ax+4=0由题意知，和*2是此方程的两个实数解，所以八=（164）2-16（3+4〃）>°,解得>5或<2,4 —16k所以再吃=互市'/又因为以MN为直径的圆过原点，所以°M.ON=Q,所以%》2+必必=°,而必力=（村+2）（生+2）=尸Mx2+2A（须+*2）+4,2\ 4 -32k2二X/2+必必=（1+/K卢2+24（演+x2）+4=0,即U+k）+3+4k2+4=°k=±—V33故存在这样的直线使得以MN为直径的圆过原点.本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20.设函数/（幻=/一a（lnx+D.（1）当。=1时，求v=/（x）在点（L/（D）处的切线方程：«>- ［。闿（2）当 e时，判断函数八x）在区间I 是否存在零点？并证明.（I）y—x-l；（2）函数/（X）在【上存在零点，证明见解析.【分析】（1）求导，求出了⑴，/⑴，即可求解;⑵根据/⑴的正负判小闾的单调性，结合零点存在性定理，即可求解.【详解】f'（x\-2x--=2、-a函数〃x）的定义域为（0收），. ） 「X、， 12x2-1（1）当a=1时，/（x）=无〜-lnx-1,'（）xX又/⑴=0,切点坐标为（1,0）,切线斜率为仁所以切线方程为y=x-i

又0<ee<eT—L匕(寸5f(e~a~x)=e~2a~2+a2>Q所以函数/(x)所以函数/(x)在上存在零点.本题考查导数的几何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函数零点的存在性的判断，属于中档题21.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20-10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20〜9：40记作区间［2°，40),9:40〜10:00记作BO,60),10:00〜10:20记作［6°，80),io：2o〜io：4O记作［8°,100］.比方：io点04分，记作时刻64."频率/组距0.020 0.015 0.010 0.005•…। ~0 20406080100时间(1)估计这600辆车在9:20〜10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9:20〜10:00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望：(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻7服从正态分布N(〃，〃)，其中〃可用这600辆车在9:20-10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，〃可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46〜10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).参考数据：若7〜N(〃,/),则尸+)=0.6826,

P（〃一2。<7</z+2cr）=0.9544P（〃-+ ）=0.9974f（1）10点04分；（2）详见解析；（3）819辆.【分析】（1）用每组中点值乘以频率，然后相加，得到平均值.（2）先用分层抽样的知识计算出1°量车中位于［20,60）的车辆数，然后利用超几何分布的知识计算出分布列，并求得数学期望.（3）由（1）可知〃=64,计算出方差和标准差。，利用正态分布的对称性，计算出在9:46〜10:40这一时间段内通过的车辆的概率，乘以100°得到所求车辆数.【详解】解：（1）这600辆车在9:20〜10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30x0.005+50x0.015+70x0.020+90x0.010）x20=64即］Q点分（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在［20是位于时间分组中在［20，6°）这一区间内的车辆数,gp（0.005+0.015）x20xl0=4（所以丫的可能取值为0,1,2,3,4.C4C41 cic'21 （ ） 74 1尸（X=3）=E^=2p（x=4）=£^=」-' ，G：35 ' 7 C,„ 210所以E（X）=0x所以E（X）=0x1+1x£+2x2+3x±+4x_L=81421352105所以X的分布列为X01234p1L4821374351210（3）由（1）可得〃=64o-2=（30-64）2x0.1+（50-64）2x0.3+（70-64）2x0.4+（90-64）2x0.2=324

所以0'=18.估计在9:46〜10:40这一时间段内通过的车辆数，也就是46<7410°通过的车辆数,由7~双3/）,^p（64-18<r<64+2x18）P^/n-a<TW4+ct）P^p-lcr<T<4+2（t）

+ 2 =0.8185所以，估计在9:46〜10:40这一时间段内通过的车辆数为l°°°x°.8185a819（辆）本小题主要考查根据频率分布直方图估计平均数和方差，考查超几何分布概率计算以及数学期望的计算，考查正态分布计算，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程x=2GcosB<在直角坐标系中，曲线C的参数方程lv=2sin〃 （0为参数）.直线/的参数方程x=G+/cos