2021年高考数学真题试卷（北京卷）

阅卷人得分2021年高考数学真题试卷(北京卷)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(共10题；共40分)(4分)己知集合4={x|-l<x<l},B={x|0WxW2},则4UB=( )A.(-1,2) B.(-1,2］ C.［0,1) D.［0,1］【答案】B【解析】【解答】解：根据并集的定义易得AU5={x|-l<x<2},故答案为：B【分析】根据并集的定义直接求解即可.(4分)在复平面内，复数z满足(l-i)z=2,贝Uz=( )A.2+i B.2—i C.1—i D.1+i【答案】D【解析】【解答】解：z=£=万练$=i+i,故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.(4分)已知/(x)是定义在上［0,1］的函数，那么“函数/(x)在［0,1］上单调递增”是“函数/(x)在［0,1］上的最大值为/⑴”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C,充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在［0,1］上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在［0,1］的最大值为f(D,所以“函数f(x)在［0,1］.上单调递增”为“函数f(x)在［0,1］的最大值为f(l)”的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在［0,1］的最大值为f(l),函数f(x)在［0,1］上可能先递减再递增，且最大值为f(l)，所以“函数f(x)在［0,1］.上单调递增”不是“函数f(x)在［0,1］的最大值为f(l)"的必要条件，所以“函数f(x)在［0,1］上单调递增”是“函数f(x)在［0,1］的最大值为f(l)"的充分而不必要条件.

【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.（4分）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（A. B.4 C.3+V3 D.2【答案】A【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：该四面体为直三棱锥，其中SA，平面ABC,SA=AB=AC=1,则SB=SC=BC=VL则所求表面积为S=3xQxlxl）+1xV2xV2xsin60°=咨与故答案为：A【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.（4分）双曲线C：4-4=1过点（短耳，且离心率为2,则该双曲线的标准方程为QbA・%2—专=] B.号—y2=i C.无2一巧L=1D.2^——y2=1【答案】A【解析】【解答】解：由e=(=2得c=2a,贝ijb2=c2・a2=3a22 ?则可设双曲线方程为：^~y=i,3az2 2将点(也，遍)代入上式，得(&) (8)=1a23q2解得a2=l,b2=3故所求方程为：*2_1=1故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.=288(4分)回｝和｛bn｝是两个等差数列，其中^(l<fc<5)=288bi=192，贝lj/=( )A.64A.64B.128C.256D.512【答案】B【解析】【解答】解：由题意得卢=卷=则成=9，则比=：。5=64,所以3=*以=128.故答案为：B【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.(4分)函数/(x)=cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值( )A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为| D.偶函数，最大值为|【答案】D【解析】【解答】解：Vf(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)・・・f(x)为偶函数又f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1令t=cosx,则y=-2t2+t+1,9-8

=则当"一讲j=上时，y取得最大值为必=(一29-8

=故答案为：D

【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.（4分）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（＜10mm）,中雨（10mm—25mm）.大雨（25mm—50mm）,暴雨（50mm—100mm）.小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A.小雨 A.小雨 B.中雨【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，C.大雨D.暴雨由题意得赤=端，则『501 1则雨水的体积为V=1nr2h=扛X502x150.1 2则降雨的厚度（高度）为"旨="0x；50=I2.5（mm）nxlOO2iixlOO2故答案为：B【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可..（4分）已知圆C:x2-Fy2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时，I截得圆C弦长的最小值为2,则m=（ ）A.±2 B.+V2 C.+V3 D・+V5【答案】C【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n,圆心到直线1的距离为d,则屋=r2—（#=4—%则当n取最小值2时，d取得最大值为通，当k=0时，d取得最大值为百，则|m|=>/3解得m=+V3故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可..（4分）数列｛即｝是递增的整数数列，且由23,即+a2+…+%=100,则n的最大值为（ ）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【解答】解：••.数列｛an｝是递增的整数数列，，n要取最大，d尽可能为小的整数，故可假设d=lVai=3,d=lan=n+2•0_（3+n+2）n_n2+5n・ = 2 =-2~则Su=88<100,Si2=102>100,故n的最大值为11.故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.阅卷人二、填空题5小题，每小题5分，共25分.（共5题；共25分）得分4（5分）（炉_工）展开式中常数项为.【答案】-4【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为n+1=竦（x3）4-k（_g〃=四（一1）。12-曲令12-4k=0,得k=3故常数项为口=73+1=Cl（-l）3=-4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.（5分）已知抛物线C-.y2=4x,焦点为F,点、M为抛物线C上的点，且\FM\=6,则M的横坐标是；作MN1x轴于N,贝I]Safmn—-【答案】5；4a/5【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0）,准线为x=-l,设点M为（xo,yo）,则有|FM|=xo+l=6,解得xo=5,则=2V5,不妨取点M为（5,2幅）则点N为（5,0）则|FN|=5-1=4则Safmn=与X\FN\x\MN\=/x4x2V5=4V5故答案为：5,45/5【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.（5分）若点P（cos8,sin8）与点Q（cos（。+*,sin（e+，关于y轴对称，写出一个符合题意的e=.【答案】书（满足。=普+4兀水€2即可）（sin。=sin（0+5）【解析】【解答】解：由题意得1 , 口、，对比诱导公式sina=sin（7r・a）,cosa=-cos（7T・a）得Icos0=-cose+l=n-e+2kn,解得8=^+k7T,keZ当k=0时，。=患故答案为：居【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.(5分)已知函数/(%)=|lgx|-/ex-2,给出下列四个结论：①若k=0,则/(X)有两个零点；②就<0,使得/(x)有一个零点；③3k<0,使得/(X)有三个零点；@Bk>0,使得/(X)有三个零点.以上正确结论得序号是.【答案】①②④【解析】【解答】解：令|lgx|-kx-2=0,即y=|怆*|与y=kx+2有几个交点，原函数就有几个零点,①当k=0时，如图1画出函数图象，f(x)=|lgx|-2,解得*=100或》=焉，所以有两个零点，故①项正确；②当k<0时，y=kx+2过点(0,2),如图2画出两个函数的图象，3k<0,使得两函数存在两个交点，故②项正确；③当k<0时，y=kx+2过点(0,2),如图3画出两个函数的图象，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；④当k>0时，y=kx+2过点(0,2),如图4画出两个函数的图象，弘>0,使得两函数存在三个交点，故④项正确.故答案为：①②④【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.(5分=(2,1),b=(2,-1)，c=(0,1),则(d+豆々=;a-b=•【答案】0；3【解析】【解答】解：由题意得最+b=(4,0)，则(a+b)♦c=4x0+0x1=0,a-b=2x2+lx(-1)=3故答案为：0,3【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.阅卷人三'解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（共6题；共85分）得分（13分）已知在4ABe中，c=2bcosB，C=等.（6.5分）求B的大小；（6.5分）在下列三个条件中选择一个作为已知，使4ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.®c=V2b;②周长为4+2V3;③面积为SAABC= ；【答案】（1）c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,:,sin2B=sin第=曰，"=~T,二B€（0,可），2BG（。,等），•-28 ,解得8=看；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得5=萼=不=心，dsiriD2与©=四8矛盾，故这样的AABC不存在；若选择②：由（1）可得4 ，设AABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得a=b=2/?sinJ=R,c=2Rsin争=血？，则周长a+b+c=2R+WR=4+2百，解得R=2,贝lja=2,c=2>/3,由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：J（2圾2+-2x2V3x1xcos^=V7；若选择③：由（1）可得4=/即a=b,则Saabc=/absinC=x字=»解得a=V3‘则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：旧+劭-2xb〉［xcos冬=J3+、+^x孚=孚•【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可;（2）选择①：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；选择②：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；选择③：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.（13分）已知正方体ABCD-AiBiJDi,点E为A1D1中点，直线81cl交平面CDE于点（6.5分）证明：点F为8也1的中点；（6.5分）若点M为棱上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为坐，求籍的值.【答案】（1）如图所示，取81cl的中点F',连结DE,EF',F'C,由于ABCD-AiBiQDi为正方体，E.F'为中点，故EF'||CD,从而E,F',C,D四点共面，即平面CDE即平面CDEF',据此可得：直线B©交平面CDE于点F',当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F'重合，即点F为BiQ中点.（2）以点D为坐标原点，DA,DC,DD1方向分别为x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系D-xyz,Di Ci不妨设正方体的棱长为2,设艘=4(0WAW1),则：M(2,2M2),C(0,2,0),尸(1,2,2),E(l,0,2),从而：MC=(-2,2-2A,-2),CF=(1,0,2),FE=(0,-2,0)，设平面MCF的法向量为：m=(.x1,yvz1),则：(m,Aft*=-2xi+(2—2A)y^—2zj=0(m-CF=%14-2zi=0令Z1=-1可得：沅=(2,占,一1),设平面CFE的法向量为：n=(x2,y2,z2),则：(n.Ff=-2y2=0w-CF=%2+2z2=0'令Z1=-1可得：n=(2,o,-l).从而:访•五=5,同=&+(占)：同=遥，/_m-n 5 V5则：cos(m,n)=而冈宿=1 3—=T,J5+(1TJ)*正整理可得：("1)2=5，故入=5<2=1舍去).【解析】【分析】(1)根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；(2)根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.(14分)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有1()。人，已知其中2人感染病毒.(7分)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知io人分成一组，分io组，两名感染患者在同一组的概率为A-,定义随机变量x为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望£(%)；(7分)若采用“5合1检测法“，检测次数y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(y)的大小(直接

写出结果).【答案】(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次;所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20,30,1 1 10P(X=20)=今，P(X=30)=l一看=居,则X的分布列：X2030p1111011所以E(X)=20*白+30X冬=挈；(2)由题意，Y可以取25,30,设两名感染者在同一组的概率为p,P(Y=25)=p,P(Y=30)=1-p,则E(Y)=25p+30(1-p)=30-5p,若P=总时，E(X)=E(Y)；若p>分时，E(X)>E(Y)；若p<条时，E(X)<E(Y).【解析】【分析】(1)①根据"k合1检测法“，结合随机抽样的定义求解即可；②根据“k合1检测法“，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可;(2)根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.(15分)已知函数/(%)=%鹫(7.5分)若a=0,求y=/(x)在(1,/(1))处切线方程;(7.5分)若函数/(x)在x=-l处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.【答案】(1)当a=0时，f(x)= ,贝ij/。)= ,.•./⑴=1,/(1)=-4,此时，曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为y-l=-4(x-l),即4x+y-5=0；(2)因为(2)因为/(x)=,则/(%)=由题意可得了'(-1)=&裳=°，解得a=4,

(a+1)3—2x /z、2(x+l)(x—4)故/(x)=当f /(x)= -,列表如下:必+4 (x2+4)X(-00,-1)-1(T4)4(4,+00)/(X)+0-0+/(%)增极大值减极小值增所以，函数/(X)的增区间为(―8,—1)、(4,+oo)(单调递减区间为(一1,4).当时,/(x)>0；当*>，时,/-(X)<0.1所以，/(X)max=/(—I)=1，f(x)min=f(4)=一］•【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；(2)根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.(15分)已知椭圆E:^+^=l(a>b>0)过点>4(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为Qb4V5.(7.5分)求椭圆E的标准方程；(7.5分)过点P(0,-3)的直线/斜率为鼠交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交产-3于点M、N,直线AC交产-3于点N,若IPM+IPNW15,求k的取值范围.【答案】(1)因为椭圆过4(0,-2),故b=2,因为四个顶点围成的四边形的面积为4V5.故/x2ax2b=475,即a=y，故椭圆的标准方程为：《+^=1.4因为直线BC的斜率存在，故中0,故直线AB:y=:：：2工_2,令y=-3,则=-,：：2，同理Xn=~yf+2.kx3+5y2_20可得（4+5fc2）x2—30kx4-25=0,故4=900k2-100（4+5k2）>0,解得kV—1或k>1.30左 25又Xi+x2= 7>xlx2= 7,故%1X2>0,所以XMXN>04+5k 4+5k又\PM\+\PN\=\xm+xn\=\^+^\50k_30k=। । -2 ।=।2k%i%2-（一+%2）।=।4+5/4+57।-1依2-1 Ze、］%?—k（%i+冷）+1 25k之_30k24+5/c24+5/c2=5\k\故51kl<15即|k|W3,综上，—3<k<-1或1<kS3.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.21.（15分）设p为实数.若无穷数列｛an｝满足如下三个性质，则称⑶｝为Rp数列:：①%+p>0,a2+p=0；（2）G4n-1<a4n（n=1，2,…）;（3）am+ne（am+an+p,am+an+p+1）（m=l,2,...；n=l,2,...） .⑴（5分）如果数列｛a“的前4项2,-2,-2,-1的数列,那么｛a“是否可以为R2数列？说明理由；（5分）若数列｛即｝是R。数列，求as；（5分）设数列｛an｝的前n项和为Sn,是否存在Rp数列｛an｝,对2S.恒成立？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：数列｛a“不可能为%数列，理由如下，因为p=2,ai=2,a2=-2,所以ai+a?+p=2,ai+az+p+l=3,因为a3=-2,所以a3c｛ai+az+p,ai+a2+p+l｝,所以数列｛an｝不满足性质③.（2）性质①即？0,（12=0,由性质③0m+2w｛dm，am+1｝,因此=%或a3=^+1, &4=0或CZ4=1,若 Q4=0,由性质②可知 a3<a4,即由V0或Qi+1V0,矛盾;若 Q4=1,。3=+1，由 。3V。4有Q1+1V1,矛盾.因此只能是 。4=1,。3=Q1.「--1、又因为&4=%+或。4=%+&3+1,所以4=2或0.1=0.若即=；,则0,2=%+1W{cii+a1+0,即+即+0+1}={2a1,2al+1}={1,2},不满足a2=0,舍去.当即=0,贝ij {an)前四项为:0,0,0,1,下面用归纳法证明Ci4n+i=H(t=1,2,3),a4n+4=n+l(nWN)：当n=0时，经验证命题成立，假设当n<k(k>0)时命题成立，当n=k+l时：若i=1,则&4伏+1)+1=a4k+5=a/+(4k+5-j)，利用性质③：{%,+a4k+5-jIjeN*,1WjW4k+4}={k,k+1},此时可得： a4k+5=k+1；否则，若a4k+5=k，取k=0可得：a5=0,而由性质②可得： as=%+&46{1,2},与a5=0矛盾.同理可得：{a；+a4k+6_jIje N*, 1 <j <4k+ 5] ={k,k+1),有 a4k+6= k+1；{ay+a4k+8_jIJ6 N*,2 <j <4k+ 6} ={k+1,/c+2},有a4k+8=k+2 ；{%+a4k+7_jI/C N*, 1 W/ W4k+ 6} ={k+1},又因为 a4k+7 <a4k+8 ,有a4k+7=k+1.即当n=k+l时命题成立，证毕.综上可得： 的=0,Cig=04x1+1=1•(3)令bn=an+p,由性质③可知：Vzn,nEN*,bm+n=am+n+pE{/+p+an+p,am+p+an+p+1]={bm+bn,bm+bn+1],由于bi=ai+p>0,b2=a2+p=0,fe4n-i=a4n_i+p<a4n+p=b4n,因此数列{bn}为Ro数列.由(2)可知：若VneN,a4n+i=n—p(i=1,2,3),a4n+4=n+1-p；Sii-Si。=au=a4X2+3=2-p>0, S9-S10=-a10=-a4x2+2=一(2-p)>0,因此p=2,此时a1(a2，…，%040,a,>0(J>11),满足题意.【解析】【分析】（1）根据新数列Rp数列的定义进行判断即可:(2)根据新数列Rp数列的定义，结合数学归纳法求解即可；(3)根据新数列Rp数列的定义，结合an与Sn的关系进行判断即可.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）50.0(33.3%)主观题（占比）100.0(66.7%)题量分布客观题（占比）12(57.1%)主观题（占比）9(42.9%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.6(28.6%)85.0(56.7%)选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.10(47.6%)40.0(26.7%)填空题5小题，每小题5分，共25分.5(23.8%)25.0(16.7%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(47.6%)2容易(33.3%)

3困难(19.0%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1空间中直线与平面之间的位置关系13.0(8.7%)172二项式定理的应用5.0(3.3%)113椭圆的简