湖南省湘东六校2023届高一上数学期末含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．设则的值A.9 B.C.27 D.2．下列命题中，真命题是．A.xR，x2＋1＝x B.xR，x2＋1＜2xC.xR，x2＋1＞x D.xR，x2＋2x＞13．若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.4．“”是“且”的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A.3 B.6C.18 D.366．为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B.横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D.横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度7．在内，使成立的的取值范围是A. B.C. D.8．下列图象是函数图象的是A. B.C. D.9．设：，：，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件10．已知集合，，若，则的值为A.4 B.7C.9 D.10二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．函数在上的最小值为__________.12．函数的值域为，则实数a的取值范围是______13．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）14．已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________15．已知函数，若，不等式恒成立，则的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知，且满足，求：的值17．2019年是中华人民共和国成立70周年，70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就，为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊，某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单，已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊，现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作，设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为(小时)，制作完书刊所需时间为(小时).（1）试比较与的大小，并写出完成订单所需时间(小时)的表达式；（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？18．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立（1）求产品需要进行第2个过程的概率；（2）求产品不可以出厂的概率19．（1）计算：；（2）已知，，求证：20．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点（1）求证：EF∥平面ABD1；（2）AA1=，求异面直线EF与BC所成角的正弦值21．已知以点为圆心的圆过点和，线段的垂直平分线交圆于点、，且,（1）求直线的方程；（2）求圆的方程（3）设点在圆上，试探究使的面积为8的点共有几个？证明你的结论

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、C【解析】因为，故，所以，故选C.2、C【解析】根据全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用，即可求解.【详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，，所以，所以不正确；对于C中，，所以，所以正确；对于D中，，所以不正确，故选C.【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的真假判定，其中解答中正确理解全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、D【解析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为，，故，故A错误对于B，因为，，故，故，故B错误对于C，取，易得，故C错误对于D，因为，所以，故D正确故选：D4、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断【详解】当时，满足，而不成立，当且时，，所以，所以“”是“且”的必要而不充分条件，故选：A5、C【解析】由弧长的定义，可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式，即可求解.【详解】由1弧度的圆心角所对的弧长为6，利用弧长公式，可得，即，所以扇形的面积为.故选C.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，着重考查了计算能力，属于基础题.6、B【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论【详解】将的图象上的所有点的横坐标缩短倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；再向上平行移动个单位长度，可得函数的图象，故选B【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题7、C【解析】直接画出函数图像得到答案.【详解】画出函数图像，如图所示：根据图像知.故选：.【点睛】本题考查了解三角不等式，画出函数图像是解题的关键.8、D【解析】由题意结合函数的定义确定所给图象是否是函数图象即可.【详解】由函数的定义可知，函数的每一个自变量对应唯一的函数值，选项A,B中，当时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，选项C中，当时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，只有选项D符合题意.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的定义及其应用，属于基础题.9、B【解析】解出不等式，根据集合的包含关系，可得到答案.【详解】解：因为：，所以：或，因为：，所以是的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.10、A【解析】可知，或，所以．故选A考点：交集的应用二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】正切函数在给定定义域内单调递增，则函数的最小值为.12、【解析】分，，三类，根据一次函数和二次函数的性质可解.【详解】当时，，易知此时函数的值域为；当时，二次函数图象开口向下，显然不满足题意；当时，∵函数的值域为，∴，解得或，综上，实数a的取值范围是，故答案为：.13、(答案不唯一)【解析】直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.【详解】根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.故答案为：.14、【解析】作出函数的图像，计算函数的对称轴，设，数形结合判断得时，取最小值，时，取最大值，再代入解析式从而求解出另外两个值，从而得和，即可求解.【详解】作出函数的图像如图所示，令，则函数的对称轴为，由图可知函数关于，，对称，设，则当时，取最小值，此时，可得，故；当时，取最大值，此时，可得，故，所以.故答案为：【点睛】解答该题的关键是利用数形结合，利用三角函数的对称性与周期性判断何时取得最大值与最小值，再代入计算.15、【解析】原问题等价于时，恒成立和时，恒成立，从而即可求解.【详解】解：由题意，因为，不等式恒成立，所以时，恒成立，即，所以；时，恒成立，即，令，则，由对勾函数的单调性知在上单调递增，在上单调递减，所以时，，所以；综上，.所以的取值范围是.故答案为：三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、【解析】根据二倍角公式，结合题意，可求得的值，根据降幂公式，两角和的正弦公式，化简整理，根据齐次式的计算方法，即可得答案.【详解】因为，整理可得，解得或因为，所以则17、（1）当时，；当时，；；（2）安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短.【解析】（1）由题意得，，利用作差法可比较出与的大小，然后可得的表达式；（2）利用反比例函数的知识求出的最小值即可.【详解】（1）由题意得，，所以，.所以当时，；当时，，所以完成订单所需时间.（2）当时，为减函数，此时；当时，为增函数，此时.因为，所以当时，取得最小值.所以安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短.18、（1）（2）【解析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；【小问1详解】解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，故【小问2详解】解：记事件B为“产品不可以出厂”在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格概率，产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，故19、（1）13；（2）证明见解析.【解析】（1）根据指数和对数的运算法则直接计算可得；（2）根据对数函数的单调性分别求出范围和范围可判断.【详解】（1）原式（2）因为在上递减，在上递增，所以，，故因为，且在递增，所以，即所以，即【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，解题的关键是利用对数函数的单调性求出范围，进而可比较大小.20、（1）证明过程详见解析（2）【解析】(1)先证明EF∥D1B，即证EF∥平面ABD1.(2)先证明∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），再解三角形求其正弦值.【详解】（1）证明：连结BD1，在△DD1B中，E、F分别是D1D、DB的中点，∴EF是△DD1B的中位线，∴EF∥D1B，∵D1B⊂平面ABC1D1，EF平面ABD1，∴EF∥平面ABD1（2）∵AA1=，AB=2，EF∥BD1，∴∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1⊄平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=，D1C⊥BC，∴sin∠D1BC=，【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.21、（1）；（2）或；（3）2【解析