最短路径问题

最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:最短路径问题姓名类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题：一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。作法：连接两个定点，交直线于一点，交点即为所求。例1、如图，在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作法：连接AB，交直线l于点P，点P即为所求。说明：∵连接A、B两点的线中，线段最短。∴连接AB，交直线l于点P，此时PA+PB最小=AB一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。方法：利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短”，用例1的方法确定动点的位置。例2、如图，在直线上求一点P，使PA+PB值最小．作法：①作点A关于直线的对称点A’；②连接A’B，交直线l于点P，点P即为所求。说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线对称，∴直线是AA’的垂直平分线，∴PA=PA’，∵两点之间，线段最短。∴此时PA+PB最小=PA’+PB=AB。类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题：一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。例3、在直线上求一点P，使的值最大．作法：连接AB，并延长交直线于点P，点P即为所求。证明：在直线上另取一点P’，连接P’A和P’B，∵三角形的两边之差大于第三边，∴；而连接AB，并延长交直线于点P，此时，一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置。例4、如图，在直线上求一点P，使的值最大．作法：①作点B关于直线的对称点B’，②连接AB’，并延长交直线于点P，点P即为所求。说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线对称，∴直线是AA’的垂直平分线∴PA=PA’，若在直线上另取一点P’，连接P’A和P’B，∵三角形的两边之差大于第三边，∴∴此时总结：“同侧差最大，异侧和最小；位置不满足，对称后再看；三点共线找交点”。类型三、两条直线之间的区域内有一定点，两直线上各有一动点，要使连接这三点所得的三角形周长最小，确定两动点的位置。例5、如图，在直线上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．方法分析：利用轴对称，将定点P分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线的另一侧），再根据“两点之间，线段最短”，连接点P的两个对称点，与直线的交点即为所求。作法：①分别作点P关于直线的对称点;说明：连接MP、NP，∵点P和点P1关于直线对称，∴直线是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，∵点P和点P2关于直线对称，∴直线是PP2的垂直平分线，∴NP=NP2，∵两点之间，线段最短，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NP2=P1P2类型四、两条直线的之间有两个定点，两直线上各有一动点，要使连接这四点所得的四边形周长最小，确定两动点的位置。例1、在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN周长最小.方法分析：利用轴对称，将两个定点P、Q分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线的另一侧），一侧一个点，再根据“两点之间，线段最短”，连接点P、Q的对称点，与直线的交点即为所求。作法：①作点Q关于直线的对称点;②作点P关于直线的对称点；说明：连接MP、NQ，∵点P和点P1关于直线对称，∴直线是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，∵点Q和点Q1关于直线对称，∴直线是QQ1的垂直平分线，∴NQ=NQ1，∵两点之间，线段最短，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NQ1=P1Q1例2、如图，牧童星期天从A处赶了几只羊到草地放羊，然后赶到小河饮水，之后再回到B处的家，假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置。类型五、架桥修路距离最短的问题两条平行线之间的距离为d，直线外有异侧两定点A、B，在上分别有两个动点M、N，且，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置。作法：①从点A向下作AA’⊥m且AA’=d（即：将点A向下平移d个单位长度至点A’）②连接A’B，交直线n于点N，③作NM⊥m于M，M、N即为所求。说明：连接AM、BN，此时，AA’平行且等于MN，四边形AA’NM是平行四边形，AM=A’N，，且AM+MN+BN最小=A’B+MN。例1、如图，从A地到B地经过一条小河（两岸平行），今要在河上建一座桥（桥与河岸垂直），应如何选择桥的位置才能使A到B的路程最短例2、荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短2、一条直线a上有两个动点M、N（点M在N的左边），M、N的距离为定值d，直线a外有异侧两定点A、B，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置。作法：①从点A向右作AA’∥a且AA’=MN=d（即：将点A向右平移d个单位长度至点A’）②连接A’B，交直线a于点N，③在直线a上点N的左边截取NM=d，M、N即为所求。说明：连接AM、BN，此时，AA’平行且等于MN，四边形AA’NM是平行四边形，AM=A’N，且AM+MN+BN最小=A’B+MN。3、一条直线a上有两个动点M、N（点M在N的左边），M、N的距离为定值d，直线a外有同侧两定点A、B，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置。作法：①作点A关于直线a的对称点，（问题即转化为2中的问题）②从点A向右作且（即：将点向右平移d个单位长度至点）③连接，交