初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 《垂直于弦的直径》教学PPT

3.能运用垂径定理计算和证明实际问题.1.理解圆的轴对称性.2.通过对圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质.学习目标

什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆复习导入圆也是轴对称图形吗？沿着圆的任意一条直径对折圆是轴对称图形．探索新知OABCDE是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．左图是轴对称图形吗？探索新知已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒证明：连接OA，OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，

CD两侧的两个半圆重合，

A点和B点重合，

AE和BE重合，

AC，AD分别和BC，BD重合．∴

AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒叠合法DOABEC

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．DOABEC垂径定理探索新知AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①直径②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理将题设与结论调换过来，还成立吗？这五条进行排列组合，会出现多少个命题？探索新知①直径③平分弦②垂直于弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒探索新知一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？探索新知①直径④平分弦所对的优弧③平分弦②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC探索新知①直径⑤平分弦所对的劣弧③平分弦④平分弦所对的优弧②垂直于弦垂径定理的推论1（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC探索新知②垂直于弦③平分弦①直径④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC探索新知②垂直于弦④平分弦所对的优弧①直径③平分弦⑤平分弦所对的劣弧推论1的其他命题......②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧①直径③平分弦④平分弦所对的优弧（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和弦所对的另一条弧．探索新知③平分弦④平分弦所对的优弧①直径②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧

．③平分弦⑤平分弦所对的劣弧①直径②垂直于弦④平分弦所对的优弧探索新知④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧①直径②垂直于弦③平分弦（6）平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．探索新知∴AM＝BM，

CM＝DM⌒⌒⌒⌒垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．MOABNCD证明：作直径MN垂直于弦AB∵AB∥CD

∴直径MN也垂直于弦CD∴AM－CM

＝BM－DM

⌒⌒⌒⌒⌒⌒即AC＝BD探索新知ABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：OOABCD探索新知垂径定理三角形d+h=rdhar在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其他两个量．探索新知例一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿＿.

DCBOADOABC典题精讲2cm或7cm问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？典题精讲37.4m7.2mABOCD典题精讲分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形解：如图，用弧AB表示主桥拱，设其所在圆的圆心为O，半径为R,经过点O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C，连接OA。根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高由题设可知AB=37.4mCD=7.2m所以AD=0.5AB=0.5×37.4=18.7m OD=OC-CD=R-7.2在RT△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2解得R≈27.9（m）因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m典题精讲例在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。典题精讲CD解：建立如图所示坐标系则OA=OB=OD=325mm，AC=300mm在RT△ACO中，由勾股定理有 OA2=OC2+AC2解得 OC=125则CD=OD-OC=200mm所以油的最大深度为200mmOAB典题精讲1.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。F课堂作业由勾股定理得FAB弦的长为

2．已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过P点的最短的弦等于____________．cm课堂作业1．圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．O课堂小结

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2．垂径定理DOABEC课堂小结条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．