2021年湖南省衡阳市衡阳县某高中实验班招生数学试卷（附答案详解）

A.-6B.-42.A.9A.-6B.-42.A.9B.12C.16D.252021年湖南省衡阳市衡阳县创新实验班招生数学试卷1.把有理数a代入|a+3|-9得到%,称为第一次操作，再将由作为a的值代入得到。2,称为第二次操作，…，若a=36,经过第2021次操作后得到的是（）D.0C.-2D.0（3-k）x+k和，2：y=-kx的位置可能是（）3.在等腰AHBC中，AB=AC=5,P为BCk一点,PA=3,3.4.5.A.M>NC.M<N4.5.A.M>NC.M<ND.不确定如图，四边形0A8C为平行四边形，A在x轴上，且乙40c60。，反比例函数y=：（k>0）在第一象限内过点C,且与48交于点E.若E为48的中点，且Sa"e=4百，则OC的长为（）3B.淖5763%3已知ab=1,M=——I—,N=——I——则M与N的大小关系为.（）l+al+b l+al+b已知C点在圆O的直径BE的延长线上，CA切圆。于A点，NACB的平分线分别交AE、AB于点F、。.则UC尸的余弦值为（）

aBcaBcA.i B.立 C.3 D.12 2 2.若3——丫-1=0,贝lj代数式9/+6/-6%+2021的值为..化简：13+ +2百+13-+2百=..已知AB,CO是。。中两条垂直的弦，。。的半径为3,若4。=4,则BC=..如图，在平面直角坐标系中，点4(0,3)、点8(3,1),点「是》轴正半轴上一动点，给出4个结论：①线段AB的长为m；②在△APB,若AP=国，贝的面积是不③当Saabp=3S“bo时，点尸的坐标为(1,0)；④设点P的坐标为(x,0),则回定+J(3—x)2+1的最小值为5.其中正确的结论有..计算(1一款1_*).….(1一素的结果是 ..从-2，-1，°，以1,2这六个数字中，随机抽取一个数记为m则使得关于x的方程含=-1的解为非负数，且满足关于x的不等式组“一之。>° 只有三个整数解的概率是 .lx2+2x-8<0.如图，在△ABC中，AB=AC,CM平分乙4CB,与A8交于点M,AD1BC于点D,ME1BC于点E,MF1MC与BC交于点F,若CF=12,贝lj£)E=..已知以方程/一；(；+771=0(血43的两根为腰长与底边长的等腰三角形有且仅有1个，求实数用的取值范围..某餐厅共有10名员工，所有员工工资的情况如下表:人员经理厨师甲厨师乙会计服务员甲服务员乙勤杂工人数1111132工资额20000700040002500220018001200请解答下列问题：(1)餐厅所有员工的平均工资是多少？(2)所有员工工资的中位数是多少？(3)用平均数还是中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？(4)去掉经理和厨师甲的工资后，其他员工的平均工资是多少？它是否能反映餐厅员工工资的一般水平？.(1)已知a,6为实数，求证:\a+b\<|a|+|b|；(2)利用(1)的结论，证明:当a,b,c为实数时，\a+b+c\<|a|+|b|+|c|；(3)已知a,b为实数,求max{|a|,|-2a+4|}的最小值.(符号max{a,b}表示实数a,6中较大者，如max{l,/}=&).如图，在Rt△4BC中，乙ACB=90",CD1AB交AB于点O,且4。=4,BD=1,Rt“EG的直角顶点E在AC边上运动，一条直角边EG经过点8,且与CD交于点N,另一条直角边E尸与A8交于点M.(1)求证：aaems^cbn：(2)若E是AC的四等分点，求需的值..如图1,抛物线y=小"一3小》+71(771不0)与》轴交于点4。(一1,0),与y轴交于点8(0,3),在线段OA上有一动点E(不与。、A重合)，过点E作x轴的垂线交直线A8于点N,交抛物线于点P.(1)分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；(2)连接PA、PB,求APAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标.(3)如图2,点E(2,0),将线段OE绕点。逆时针旋转得到。口，旋转角为a(0。<a<90。)，连接E'4、E'B,求E'A+|E'B的最小值.答案和解析.【答案】A【解析】解：第1次操作，的=|36+3|-9=30；第2次操作，a2=|30+3|-9=24；第3次操作，=124+3|—9=18；第4次操作，a4=|18+3|-9=12；第5次操作，as=|12+3|-9=6；第6次操作，a6=|6+3|-9=0；第7次操作，a7=|0+3|-9=-6；第8次操作，a7=I—6+3|-9=-6；从第7次开始，其结果都是-6,第2021次操作，。2。21=|-6+3|-9=-6.故选：A.把36代入|a+3|-9中，进行计算，把所得结果再代入|a+3|-9中，经过多次计算可发现规律，即可得出答案.本题主要考查了数字的规律和绝对值的计算，根据题意进行计算找出规律是解决本题的关键..【答案】B【解析】解：由题意知，分三种情况：1、当k>3时，y=(3-k)x+k的图象经过第一、二、四象限；y=-kx的图象经过二、四象限；2、当0<k<3时，y=(3-k)x+k的图象经过第一、二、三象限；y=-kx的图象经过二、四象限；3、当k<0时，y=(3-k)x+k的图象经过第一、三、四象限，y=-匕的图象经过第一、三象限；故8选项正确.故选：B.根据一次函数的性质，对A的取值分三种情况进行讨论，排除错误选项，即可得到结果.考查了一次函数的图象和正比例函数的图象.一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当上>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限：③当k<0,b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限..【答案】C【解析】解：如图，AEIBC,AP=3,由等腰三角形的性质可知，AB=AC,BE=EC,PB-PC=(BE+EP)(EC-EP)=(BE+EP)(BE-EP),PB-PC=BE2-EP2,由勾股定理可知，BE2=AB2-AE2,AE2+EP2=AP2,PBPC=AB2-AE2-EP2=AB2-(AE2+EP2)=AB2-AP2=52-32=16.此时点P恰好与点E重合，为BC的中点.故选：C.将PB-PC变形，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可.本题考查等腰三角形的性质和勾股定理，PC的变形是关键..【答案】D【解析】解：过点C作CDlx轴于点。，过点E作EFlx轴于点凡如图：•••四边形048c为平行四边形，0C=AB,0C//AB,Z.EAF=/.A0C=60°,在RtZiC。。中，v/.D0C=60°,:.4D0C=30°,设0。=t,贝I]CC=V3t,OC=AB=2t,在RtAEAF中，vZ.EAF=60",AE=^AB=t.AF=-t,EF=y/3AF=—t,2 2・•点c与点E都在反比例函数的图象上，・・ODxCD=OFxEF,•・OF=23**OA=2t——t=—t,2 2S四边形OABC=2saoce，A-1Xy/3t=2X46，2...解得：t=¥(舍负)，8V3

...0C=亍故选：D.过点C作C。1x轴于点D,过点E作EF1x轴于点F,由平行四边形的性质可得OC=AB,OC//AB,LEAF=乙40c=60°；设OD=t,在Rt△COD中和在Rt△EAF中，分别用含r的式子表示出CD、OC、AE.AF及EF：再根据点C与点E都在反比例函数y=的图象上，得出等式，表示出。尸,进而表示出。A的长，根据平行四边形0A8C和AOCE的面积关系得出关于，的方程，解得r,则可求得OC的长.本题考查了反比例函数系数上的几何意义、平行四边形的性质、解直角三角形及四边形与三角形的面积等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键..【答案】B［解析］解：M- =,：+%+：、= ab=1,1+g1+b (l+d)(l+b)1+a+b+ctb..1+a+b+ab.・•・”=: ：~~r=1；l+a+b+ab1=1工田m-Q+ab+b+ab_1+a+b+ab_11+Q+b+ab1+a+b+abM=N.故选8.本题考查了分式的加减，分别计算出M、N的值，就不难判断它们的大小.此题的实质还是化简分式，题目较灵活，也用到了整体代入的思想..【答案】B【解析】解：连接OA,&4切圆。于A点，・・Z,OAC=90°,vBE是。。的直径，・・Z-BAE=90°,•・乙BAE-Z-OAE=Z-OAC—Z-OAEf•Z.EAC=LBAO3vOB=OA,•乙B=Z-BAO:.乙B=Z-EAC,vCO平分乙4CB,•・Z-ACD=乙BCD,vZ/1DF=Z.B+乙BCD,Z.AFD=Z.ACD+Z-EAC,・・Z.ADF=Z.AFD=1(180°-Z-BAE)=45°,•・sinZ.ADF=sin45°=二，2故选：B.连接OA,根据切线的性质可得4OAC=90。，根据直径所对的圆周角是直角可得/B4E=90。，从而利用等式的性质可得4EAC=tB4。，然后利用等腰三角形的性质可得,B=NBA。，从而可得ZB=/.EAC,最后利用三角形的外角可得N4DF="FC=45。，即可解答.本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键..【答案】2024【解析】解：9x3+6*2-6x+2021=3x2•3x+2x3x2—6x+2021=3x2(3x+2)-6x4-2021v3x2—x—1=0.3x2=x+1,把3/=x+1代入，原式=(x+l)(3x+2)-6x+2021=3x2+3x+2x+2-6x+2021=(x+1)+3x+2x+2—6x+2021=x+l+3x+2x+2—6x+2021=2024.故答案为：2024.观察多项式97+6/-6x+2021的特点，前两项有公因式3/,由已知条件得出3/=x+1,然后代入多项式，化简后又出现3x2,再次代入3/=x+l,化简求出值.本题考查因式分解的应用，通过将多项式的几项因式分解后再利用已知条件求值是解本题的关键..【答案】V3+1【解析】解：令x=、3+J5+ +、3-泗+26,则x>0,=6+2V2xV2—V3；..2 42^3_3-2^3+1_(V3-I)2(V^一］)2.二等二?・•・x2=64-2&X渔22^；2=6+V12-2=4+2百=(3+2百+1)=(V3)2+2V3+1=(V3+I)2；:,x=V3+1；故答案为：V3+1.先设原式为x,求出/,再进行化简即可得出答案.本题主要考查了二次根式的加减和化简，利用了完全平方公式和平方差公式，会化简是解题的关

键..【答案】2遥【解析】解：连接8D,连接。。并延长，交。。于E点，连接4E,vAB1.CD,Z.CDB+乙ABD=90",•••CE是直径，Z.DAE=90",/.ADE+4E=90°,又•:Z.ABD=乙E,Z.CDB=Z.ADE.BC=AE,在RM4DE中，BE=6,AD=4,AE=y/DE2-AD2=V62-42=275,•-BC=AE=2V5.故答案为：2遍.连接BD,连接DO并延长,交0。于E点，连接AE,根据垂径定理和圆周角定理,即可求得4CCB=^ADE,得出BC=AE,利用勾股定理求得AE,即可求得BC的长.本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，证得AE=BC是解题的关键..【答案】①④【解析】解：••Y(0,3),8(3,1),AB=V32+22=V13,故①正确，在Rt△AOP中，OP=>JAP2-AO2=V10-9=1,•••P(l,0),过点B作BDlx轴于点C.S&abp=S四边形aodb—Saaop—S“db=)x(l+3)x3-3XIX3—&xlx2=3.5>故②错i天，设P(t,0),则有:x(l+3)x3-1xtx3-|x(3-t)xl=ix1x3x3,

・一9••L一—,4.•.P(7,0),故③错误.4由勾股定理得：AP=V32+x2=V9+x2,PB=7(3-x)2+I2.作A关于x轴的对称点A,连接4'B交x轴于P,则PA=P4,aAP+PB=A'P+PB=A'B,此时AP+PB的值最小，过B作BC1。4于C,则4。=3+3—2=4,BC=3,由勾股定理得：AB=<42+32=5,4P+PB的最小值是5,即设点尸的坐标为Q,0),则以+9+J(3—x)2+l的最小值为5.故④正确；综上所述，其中正确的结论有：①④：故答案为：①④.①正确.利用勾股定理求解；②错误.ZkAPB的面积是3.5；③错误.通过计算点P6,0);④正确.作A关于x轴的对称点连接AB交x轴于P,则PA=PA'AP+PB=A'P+PB=A'B,此时4P+PB的值最小，求出B4,可得结论.本题考查了轴对称的最短路径问题、等腰三角形的判定、图形与坐标特点、勾股定理，是一个不错的综合题，难度适中，有等腰三角形和轴对称的作图问题，也有求最值问题，第4问中，熟练掌握并能灵活运用轴对称的最短路径问题是关键.11.【答案】二40［解析］解：原式=(1+1)(1-1)(1+1)(1-1)一一(1+/)(1-瘀)=；x|x|xgxqxqX-X19 21 21—X——=—.20 20 40故答案为：黑40原式各项利用平方差公式分解，变形后约分即可得到结果.此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.12.【答案】i6【解析【解：解方程普=-1得：x=Z，2x+l a+2由题意知a+2>0且」-*a+2 2解得Q>—2,由/+2%—840,得：-由》——CL>0,得：％>aQ,・・,不等式组只有三个整数解，—1<|a<0.解得一2<a<0,所以符合以上两个条件的a的范围为-2<a<0,则一2,-1,0,p1,2在此范围内的只有一1这1种情况，所以此事件的概率为；，故答案为：3O根据分式方程的解为非负数得出a>-2,由不等式组只有三个整数解得出-24a<0,从而得出符合以上两个条件的。的范围为一2<a<0,继而知一2,-1,0,i,1,2在此范围内的只有一1这1种情况，根据概率公式求解即可.本题主要考查的是解分式方程，一元一次不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的能力及概率公式的应用.13.【答案】3【解析】解：取CF的中点G,连接MG,设OE=x,EF=y,可得DC=CF—EF-DE=12-x—y,vAB=AC,ADIBC,:.BD=DC=12—x—y,BE=BD-DE=12—2,x—y(T)>vFG=CG=6*•・EG=FG—EF=6—y②，vMG是Rt△MFC斜边上的中线，・・乙FGM=2Z.BCM=UCB,：AB=AC,•Z-B=Z-ACB,•・Z-FGM=乙B,又ME1BG,•・BE=EG,由①、②得12—2x-y=6—y,・•・x=3.

故答案为：3.取C尸的中点G,连接MG,设DE=x,EF=y,然后再利用含x、y的式子表示BE、EG,再列方程即可得到x的值.此题主要考查了角平分线的性质，以及等腰三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半..【答案】解：设X1，工2是方程/-x+m=0的两个实数根，依题意有：Xi>0,x2>0,即方程/-x+m=0有两个正实根，:.A=(-I)?—4xl-m=l-4m>0, +x2=0>0»x^x2=m>0>0<m<-,1vm手一,4不妨设工1<%2不妨设工1<%2，则l+Vl_47n ，X2-

2 / 2要使以方程*2-x+m=0的两根为腰长与底边长的等腰三角形有且仅有1个，则2xi<X2即2x.2m<-,90<m<-.9【解析】首先可得4>0,且两根均为正数，其次因两根作底和腰的等腰三角形有且只有一个，而以较大根为腰的等腰三角形必存在，故以较小根为腰的等腰三角形不存在，故可得较小根的两倍小于等于较大根，即可求出结果.本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程相关知识，熟练掌握等腰三角形的性质、一元二次方程的求根公式是解题的关键..【答案】解：(1)—(20000+7000+4000+2500+2200+1800X3+1200X2)=4350(元)；答：平均工资为4350元;2200+180022200+180022000(76);答：所有员工工资的中位数是2000元;(3)由(1)(2)可知，用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当：(4)去掉经理和厨师甲的工资后，其他员工的平均工资是2062.5元，和(2)的结果相比较，能反映餐厅员工工资的一般水平.【解析】(1)根据平均数的计算公式，求出总工资数除以人数即可；(2)求出10个人工资从小到大排列后的第5、6位数据的平均数即为中位数：(3)平均数容易受到极端值的影响，因此用中位数比较合适：(4)计算除经理和厨师后，其它员工的平均工资为1887.5元，可以反映餐厅员工工资的平均水平.本题考查平均数、中位数的意义及计算方法，平均数反映一组数据的集中趋势和平均水平，但容易受到极端值的影响，有时要几个统计量综合考虑再做决定..【答案】解：(1)(|a+b|)2=a?+2ab+Z?2,(|a|+|b|)2=a2+2\a\■|b|+b2,a(|a+b|)2-(|a|+网产=2(ab-|a||d|)<0,+ W(|a|+|b|)2,又•••|a+b|20,|a|+\b\>0,\a+b\<|a|+|b|(当且仅当ab>0时等号成立)；(2)|a+b+c|=|(a+b)+c|W|a+ +|c|<|a|+|b|+|c|；(3)设max{|a|,|-2a+4|}=M,aM>|a|,M>|-2a+4|,3M>2\a\+|-2a+4|=\2a\+|-2a+4|>|-2a+2a+4|=4,aM>p当且仅当a=a=—2a+4时取等号，且max{|a|,|-2a+4|}的最小值为g.【解析】⑴根据([a+h|)2=a2+2ab+b2,(|a|+|b|)2-a2+2\a\•|b|+b2,得出(|a+b\)2-(|a|+网产=2(ab-|a||6|)<0,即可得出结论；(2)利用(1)的结论证明即可；(3)根据已知得出3M>2\a\+|-2a+4|=|2a|+|-2a+4|>|-2a+2a+4|=4,即可解答.本题考查了实数大小比较，掌握放缩法比较实数大小是解题的关键，用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的..【答案】(1)证明：vZ.ACB=90°,"EG=90°,Z.AEM+乙CEB=90°=/.CEB+“BN,/.AEM=乙CBN,vCD1AB,Z.BCN+Z.ACD=90°=Z.ACD+/.EAM,乙BCN=EAM,•••△AEMsaCBN：(2)解：作.EH"CD,交AB于”，

vAD=4,BD=1,由射影定理得：AC=2V5,BC=V5,当CE=工4。时，AE=—,4 2由(1)知：XAEMsxCBNAEEM3:.BCBN2：EH//CD,1.%CE=-AC

4HD=-AD=2,4・・EN=BN,EM3"*1二一,EN2同理，当AE=；4C时，瞿4 EN6综上所述嗑