2021年数学高考真题卷-浙江卷（含答案解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试・浙江卷数学参考公式：若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A,8相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)若事件A在一次试验中发生的概率为P，则〃次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)=C^pk(\-pr台体的体积公式丫=3⑸+6应+s2M其中S&分别表示台体的上、下底面积，〃表示台体的高柱体的体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积，〃表示柱体的高锥体的体积公式其中S表示锥体的底面积，〃表示锥体的高球的表面积公式S=4nR2球的体积公式丫=]/?3其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设集合4={x|xNl},8={x[-l<x<2},则Ar\B=A.{x|x>-1}B.{x|x>l)C.{x|-l<x<l}

D.{x|l<x<2}.已知o£R,（l+〃i）i=3+i（i为虚数单位），则a=A.-lB.lC.-3 D.3.已知非零向量〃也c,贝二"c”是“〃=b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件.某几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单位:cn?）是俯视图（第4俯视图（第4题图）A.1 B.3C苧D.3V2x4A.1 B.3C苧D.3V2x4-1>0.若实数x,y满足约束条件x-y<0，则z=xgy的最小值是2x+3y-l<0A.-2C--■2.如图，已知正方体4BC£MiBiGQi,M,N分别是AiOQiB的中点，则（第6题图）A.直线4。与直线垂直，直线MN〃平面ABCDB.直线4。与直线平行，直线MNJ_平面BDDiBiC.直线40与直线D\B相交，直线MN//平面ABCD

D.直线4。与直线£)|8异面，直线MN_L平面BDDtBi.已知函数凡r)=*+：,g(x)=sinx,则图象如图的函数可能是Bj=iAx)-g(x)Bj=iAx)-g(x)TC.y=j/(x)g(x)DJ阴f(x).已知a,。,〉是互不相同的锐角，则在sinacos⑶sin仇osy,sinycosa三个值中，大于的个数的最大值是A.OB.lC.2D.3.已知GR,ab>0,函数j(x)=ajp+6(xGR).若小-f)痴)麻+f)成等比数列厕平面上点(sJ)的轨迹是A.直线和圆 B.直线和椭圆C.直线和双曲线 D.直线和抛物线.已知数列｛”“｝满足0=1,6+1=击=("61<),记数列｛的｝的前〃项和为S”,则l+7anA.|<Sioo<3 B.3<Si(x)<49 9C.4<Sioo<- D.-<Sioo<5非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分..我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积为小正方形的面积为S2,则£i_(第11题图).已知"GR，函数人2•若欢乃))=3,则。=..已知多项式(x-l)3+(x+1yf^+ad+qi^+aM+at,则a\=,02+03+04-..在△ABC中,NB=60RB=2,M是BC的中点4M=26,则AC=,cos/MAC=..袋中有4个红球切个黄球,〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为。，若取出的两个球都是红球的概率为:，一红一黄O的概率为:，则m-n=,E©=..已知椭圆/《=l(a>b>0),焦点Q(-c,0),F2(g0)(c>0).若过Q的直线和圆尾4+卢^2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2Lx轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是..已知平面向量a也c("0)满足同=1,依=2,aO=0,(a-6>c=0.记平面向量d在a力方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则f+y2+z2的最小值是.三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..(本题满分14分)设函数7(x)=sinx+cosx(xGR).(/)求函数y=[/(x+肘的最小正周期；(〃俅函数产加次吟)在[0中上的最大值..(本题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是平行四边形,NABC=120XB=l,BC=4,PA=jn,M,N分别为BC,PC的中点,PDLOC,PMLMD.

(/)证明:(〃)求直线4N与平面PDM所成角的正弦值.(第19题图).(本题满分15分)已知数列｛即｝的前，，项和为国,©=［且4S„+1=3S„-9(nCN*).(/)求数列｛。”｝的通项公式；(〃)设数列(为｝满足3打+(止4)斯=0(nCN"),记｛为｝的前〃项和为心,若心人儿对任意〃GN*恒成立，求实数2的取值范围..(本题满分15分)如图，已知尸是抛物线V=2pxg>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点，且|M尸1=2.(/)求抛物线的方程；(〃)设过点F的直线交抛物线于A,3两点，若斜率为2的直线I与直线M4,MB,AB,x轴依次交于点P,QR、N,且满足火川2=|尸岸卜|。加|,求直线/在x轴上截距的取值范围.(第21题图).(本题满分15分)设a,b为实数，且。＞1,函数次x)=＜f-bx+e2(xGR).(/)求函数_/(x)的单调区间；(〃)若对任意人＞2e2,函数y(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(例当a=e时,证明:对任意方＞et函数於)有两个不同的零点xg,满足及＞翳xi+J.(注:e=2.7l828…是自然对数的底数)TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 121314 15 16 17DCBABADCCA252 52g—1- ——-10 13 9 5 5 5LD【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查运算求解能力.【解析】因为集合4={、启1},8={正1q＜2},所以"18=319＜2}.故选口..C【考查目标】本题主要考查复数代数形式的四则运算及复数相等,考查运算求解能力.【解题思路】利用复数代数形式的四则运算化简复数，再利用复数相等，建立等式,即可求得实数a的值.【解析】解法一因为(l+ai)i=-4+i=3+i,所以-a=3,解得a=・3.故选C.解法二因为(l+ai)i=3+i,所以1+5=芋=1-3入所以a=-3.故选C..B【考查目标】 本题主要考查充分条件、必要条件及平面向量，考查同学们的逻辑思维能力，考查数学探索、理性思维学科素养.【解题思路】 由a・c=b・c,得到(a-/?)_Lc或即可得Zc,二"c”与的关系.【解析】由a・c="c可得(a-b)・c=0,所以(a-b)_Lc或所以“是的必要不充分条件.故选B..A【考查目标】本题主要考查空间几何体的三视图及几何体的体积，考查空间想象能力，考查理性思维学科素养.【解析】解法一由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰梯形的底边长分别为企,2或，高为祭该四棱柱的高为1,所以该几何体的体积丫="(e+2伪x¥xl'.故选A.解法二由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为2)的直三棱柱截去一个底面为等腰直角三角形(腰长为1)的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积丫=22、1一洲2、1V故选a.【方法技巧】解决三视图问题，一般根据三视图还原出几何体的直观图，然后直接计算或从补形的角度进行计算..B【考查目标】本题考查简单的线性规划问题，考查运算求解能力，考查理性思维学科素养.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=2r并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时Z取得最小值.由｛量1M=°,得［二;1,所以A(-l,l),Zmin=-KU.故选B.【归纳总结】线性规划问题中，目标函数的最值通常在约束条件表示的可行域的边界交点处取得..A【考查目标】 本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断,考查逻辑思维能力、空间想象能力，考查理性思维、数学探索学科素养.(解析］解法一连接AOi,则易得点M在AD\上，且A£>i因为平面所以所以4Q，平面ABDi,所以40与8£)i异面且垂直.在△ABD\中，由中位线定理可得MN〃AB,所以历N〃平面ABCD易知直线AB与平面BBQiO成45。角，所以与平面不垂直.所以选项A正确.故选A.解法二以点。为坐标原点,D4,OC,OCi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设AB=2,则Ai(2,0,2),0(0,0,0),。(0,0,2),仇2,2,0),所以M(1,0,1),N(1J,D,所以硕=(-2,0,-2),艰=(2,2,-2),而=(0,1,0),所以项.顺=一4+0+4=0,所以山.又由图易知直线AQ与BDi是异面直线，所以AQ与85异面且垂直因为平面A8C。的一个法向量为“=(0,0,1),所以而•〃=(),所以MN〃平面A8CD设直线MN与平面BBRD所成的角为。，因为平面8力。面的一个法向量为a=(-l,1,0),所以sin0=|cos而，“门I=翳合苓=号，所以直线MN与平面BBiOQ不垂直.故选A.【解后反思】本题可以借助直线与平面平行、垂直的相关定理进行推理判断,也可以建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量法进行判断..D【考查目标】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑思维能力，考查理性思维学科素养.【解题思路】根据函数的性质及函数图象的特征，利用排除法可以确定符合耍求的选项.【解析】易知函数是偶函数,g(x)=sinx是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数.选项Aj/jO+gaAtf+sinx为非奇非偶函数，不符合题意，排除A;选项Bj/xAgaAtf-sinx也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B;因为当xW(0,+8)时段)单调递增，且段)>0,当x£(09吐g(x)单调递胤且g(x)>0,所以丁可⑶双力在(09上单调递增，由图象可知所求函数在(09上不单调，排除C.故选D..C【考查目标】 本题考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力、运算求解能力、综合应用能力，考查理性思维、数学应用学科素养.【解析】 因为q/,7是互不相同的锐角，所以sinQ,cosKsinKcos人sin%cosq均为正数.由基本不等式可知sinacos左a；os少⑼口^cosy<sin sjn小/my；cosa三式相力口可得sjnacos^4-sjnfjcosy+sinycosa4当且仅当sina=cosy?=cosy,sin尸cosa,即a=£=y=:时取等号，因为a,勘是互不相同的锐角，所以sinacos/?+sin/?cosy+sinycosav：所以这三个值不会都大于;•若取仁吟介与4则z 2 6 3 4§足4052="工，〈工刈1140§卫二¥乂¥=渔>2=[1140§2=立乂立=渔>3所以这三个值中大于工的个数的最大值为2.6322423422442462242 2故选C.【解题关键】解决本题的关键在于利用基本不等式得到这三个值不会都大于去再利用赋值法确定这三个值中可能存在两个值大于今由此确定结论..C【考查目标】 本题考查函数、数列与圆锥曲线的综合问题，考查逻辑思维能力、运算求解能力，考查的学科素养是理性思维、数学探索.【解析】因为函数段)=加+6,所以火s-r)=a(s-r)2+/\/(s)=as2+%扉s+/)=a(s+f)2+A因为危-0危)危+。成等比数列，所以/2(s)=/3Ms+f),即(as2+6)2=[a(s-f)2+6Ma(s+f)2+b],化简得-2/52尸+小》+2"尸=o,得r=0或2a?-苏=2"易知点(sj)的轨迹为一条直线和一个双曲线.故选C.【能力提升】利用等比数列的定义构建方程，通过化简，提炼出直线方程及双曲线方程，由此确定动点的轨迹.

.A【考查目标】 本题考查数列的综合应用,考查运算求解能力、综合应用能力，考查了理性思维、数学应用学科素养.【解析】 因为=1，%+]=丁隼=，所以%>0,。2W，所以5|00>~.—―=—^^=--+-7==(_7=+^)2-^.^T以1+7an 2 2an+ianan^Jan^an24二一V(~^+；)2,两边同时开方可得二—则<垠=+；,…,义〈《+：,由累力口法可得二—〈<+、=1+?,an+ly/an2 Va^+1yjan2yjany/cin-12 v<12v0i2 Van+1v^i2 2所以七i+?=?,所以何兰所以m+产若“，即5吟,则刍，…，看，由累乘法可得^Q-n2 2v?i+l 1+Jan1+——n+3Qfin+3a?t-in+2a14当n>2W,a„=^<—x—x—x...x-x-=-~~-=6(—―所以5|00<1+6(--+—+...+-----)=l+6(i-' %n+2n+1n54(n+2)(n+l)vn+ln+27 3445 1011027 、3上)<1+2=3,故选A.【技巧点拨】利用放缩法，结合累加法与累乘法求得。胫6(义仁),从而利用裂项相消法计算Sioo的取值范71+1Tl+2围.11.25【考查目标】 本题主要考查数学文化，考查运算求解能力，考查数学文化学科素养.【解析】 因为直角三角形直角边的长分别为3,4,所以$="32+42)2=25,$2=25-4x2x4=l,所以2=25.2 0212.2【考查目标】本题主要考查分段函数的求值，考查运算求解能力，考查理性思维学科素养.【解析】因为遍＞2,所以1遍)=6-4=2,所以外遍))可⑵=l+a=3,解得a=2.【解题关键】求分段函数的函数值时，关键是判断出自变量的取值所处的区间，再代入相应的函数解析式.13.510【考查目标】必备知识:本题主要考查二项式定理.关键能力:运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】⑴1)3展开式的通项7；+产0户。(-l)，,(X+1)4展开式的通项小产C**”,则ai=C°+C4=1+4=5;a2=C；(-1)i+C4=3;a3=C1(-l)2+C1=7;“4=禺(-1"+C：=0.所以02+03+04=3+7+0=10.【技巧点拨】本题可以根据多项式的特点，利用二项式定理分别求得相应项的系数，然后计算即可;也可以利用项数不多的特征，通过展开多项式计算即可.14.2g警【考查目标】必备知识:本题主要考查解三角形知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】解法一由/8=60。/8=241/=2b,及余弦定理可得BM=4,因为M为BC的中点，所以8c=8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AS2+SC2-2SCABcosZB=4+64-2x8x2x^=52,^rl^AC=2g,所以在AAMC解法二由/8=60。48=2,41/=2四,及余弦定理可得BM=4,因为M为BC的中点，所以8c=8.过点C作CDLBA交BA的延长线于点。，则BO=44O=2,CQ=4VI所以在RtA40c中<AC2=C£>2+A£>2=48+4=52,得AC=2g.在△AMC中,由余弦定理得cosNM4C=空黑泮=恙麦亲=警.中,由余弦定理得cosZMAC=ac2中,由余弦定理得cosZMAC=ac2+am2-mc2ACAM52+12-16_2V392X2V13X2V3-132ACAM2X2V13X2V3 1315.1I【考查目标】必备知识:本题主要考查随机变量的概率、数学期望.关犍能力:运算求解能力、数据处理能力.学科素养:理性思维、数学应用.[解析】由题意可得,「(看2)：：；：5—=- ；=；,化简得(，〃+〃)2+7(由+〃)-60=0,得n?+〃=5,取出的两个球一红一黄的概率,二7cm二要二：,解得加=3,故〃=2.所以=1,易知。的所有可能取值为0』,2,且^4+m+n 36 3P《=2)=2片1)=譬=沁片0)喝*，所以E(^)=OxA+lx|+2xl=2【方法技巧】先确定袋中各类球的个数，然后确定E的所有可能取值及其取值对应的概率，利用数学期望公式求解.16.当g【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆、圆的位置关系.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】 设过Fi的直线与圆的切点为M,圆心屿⑼,则|AM|=c,|AQ|*,所以附八|=务所以该直线的斜率”=三号=肯=当,因为，尸2_Lx轴，所以|2「2|=",又尸1尸2|=20,所以[=野=方=°7c=^~,得e=咚.|M&| 5 a 52c2ac2e 51【考查目标】必备知识:本题主要考查平面向量数量积的应用、向量投影.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力、综合应用能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】 由同=1,|加=2,。人=0,不妨设〃=(1,0)力=(0,2),所以。功=(1,-2).因为(。4)・c=0,所以可取c=(2/w,m).因为向量d在。力方向上的投影分别为x,y,所以可得d=(x,y),所以d-a=(x-l,y),则2=智=土烂，解法一所以入+下展=2,由柯西不等式可得2x+y-V5z=2<^22+1+(-遥产./+y2+z2,化简得1+9+22共=：,当且仅当3=工=9,即户3户：,2=4时取等号,故*+^2+22的最小值为：105 XyZ 5 5 5 5解法二故F+V+z2J5=1[6y2-(4-4x)y+9x2-8x+4]也6(詈)2-(4-4x).(+9f-8x+4](解题关键:二次函数在其图象的对称轴处取得最小值)_5x2-4x+23A一5'当且仅当x=；,y=3z=¥时取等号，故f+V+Z2的最小值为之5 5 5 5【方法技巧】设定向量坐标后利用垂直关系及向量投影建立关系式，然后根据柯西不等式计算求解.柯西不等式:xix2+yiy2+zizw/婢+比+ 至+环+z或当且仅当日=”=且时取等号.本题也可以将z=生群代入r+f+z2,然后利用二次函数在其图象的对称轴处取得最小值求解..【考查目标】本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等基础知识，同时考查数学运算素养.满分14分.解:(/)由已知得y=[/(x+y)]2=(cosx-sinx)2=l-sin2x,故所求的最小正周期T=n.(f/)y=J(x)J(x-^-)=>/2(sinx+cosx)sinx=sin(2■吟)+冬因为故当x.时，函数y=<x次吟)取得最大值1+y..【考查目标】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象和数学运算等素养.满分15分.解:(I)在4COM中,OC=1,MC=2,NOCM=60。,则DM=®所以CDLDM.又因为 平面PDM所以CQ_L平面PDM.因此cci.pm.又因为A8〃CD,所以AB_LPM.(〃访法一连接AC交DM于点E,过E作EF//AN交PC于点尸,过点F作FH//CD交尸。于点儿连接HE.由(/)知平面P£)M所以尸平面PDW. X故/尸EH是直线AN与平面PDM所成的角. /：：Vy由(/)知PM_LC。，又已知PM_LM£>,且COnMC=O,CC,MCu平面 /决ABCD,所以PW平面ABCD. ///.•：；萨/C连接AM,在平行四边形4BCD中(第a 19题图)在直角△PMA中，由PA=64M=V7得PM=142.

在直角△PMC中，由PM=2y/2,MC=2得PC=2^3.在4PAC中，由PA=VI^,PC=264C=V^得AN=VIK在平行四边形ABCD中急斗所以霁=痣="3 Zi/v/VVO故EF=—,HF=~.3 6在直角△FHE中,sinNFEH^—=—.EF6因此，直线AN与平面尸Z)M所成角的正弦值为平.6方法二如图，以。为原点，分别以射线为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则42V5,2O),C(O,1,O),M(V5,O,O),设P(V3,O,zo),zo>O.(第19题图)因为尸4=代,所以zo=2(第19题图)故P(b,0,2混),N(黑物,所以而=(-^,1,V2),DP=(V3,0,2V2),DM=(V3,0,0).设平面PDM的法向量〃=(x,y,z),由陋<=0，得［呼+2缶=°,取“=(0,1,0).DM=0^v3x=0设直线AN与平面尸。M所成角为a,所以sina=因此，直线AN与平面PDM所成角的正弦值为号.6.【考查目标】本题主要考查等比数列定义、通项公式、前〃项和公式等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养.满分15分.解:(/)由45”+1=35“-9,得45"=35”一1-9(〃22),则4an+i=3a„(n>2).又4(ai+a2)=3ai-9,因为ai=；,所以4a2=3即4所以｛斯｝是以3为首项，以游公比的等比数列.4 4因此为=・3x($〃.(〃)由题意得为=(〃-4)x(》.

则〃=(-3)x：+(-2)x(》2+…+(〃-4)x。",4 4 4%=(-3)x(*(-2)x守+…+(M)x(六,两式相减，得，,=（-3）x；+©2+G）3++G产（小4）x（》+i,所以7L=-4〃X($叫由题意得-4〃x（；严⑷（”-4）x（；）"恒成立，所以4+3）〃-4应0,4 4.【考查目标】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养.满分15分.解:（/）由题意知p=2,所以抛物线的方程是产二公.（〃）由题意可设直线A8的方程为X="+l喝）4（X|J1）,B（MJ2）,将直线AB的方程代入炉=4尤得产4y4=0,所以yi+”=45”=・4.直线MA的方程为产曰（x+1）,设直线/的方程为x=»s.记P(xp,yp),Q(XQ,yQ),含(x+1)，得yp,2(s+l)%

(2t-l)y1含(x+1)，得yp,2(s+l)%

(2t-l)y1+4,同理得yQ=2(s+