2021-2022学年北京市顺义区高二下学期期末考试数学试卷（含详解）

北京市顺义区2021-2022学年高二下学期期末数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.A；的值为（）A.20B.10C.5D.22.（I—l）"的展开式中，炉的系数为（）A.12B.-12C.6D.-63.已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E（X）等于（）RnnEHE0A.0.3B.0.8C.1.2D.1.34.设函数/（x）=」一,1则r⑴=（）A.OB」4C.1ID.-45.已知函数y=f（x）的部分图象如图所示，其中A（玉,/（xJbBlW,/lwD.ClF'/Xx,））为图上三个不个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（）同的点，则下列结论正确的是（）U.o B同的点，则下列结论正确的是（）U.o Ba.ra）＞r（x2）＞ra）c.r（F）＞ra）＞r（w）B./'（七）＞/'（/）＞/'（xJd.r（xj＞ra）＞r（w）6.已知某居民小区附近设有4,B,C,04A.64种 B.81种 C.7种 D.12种7.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、"马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（）斗粟TOC\o"1-5"\h\z5 20 5 10A.- B.— C.- D.—7 7 2 7.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（D的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（）C.[5,20]C.[5,20]D.[5,35].已知数列｛/｝为各项均为整数的等差数列，公差为d,若4=1,4=25,则〃+d的最小值为（）A.9 B.10 C.11 D.12.已知是函数/（xhV+o?+b元+c的极大值点，则下列结论不正聊的是（）A.BxeR,f（x）＞f（x0＞） B./（x）一定存在极小值点C.若。=0,则一玉）是函数f（x）的极小值点 D.若6=0,则a＜0二、填空题共5小题，每小题5分，共25分..已知等差数列4=3,%=7,则q=..某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有种..已知某品牌只卖A,8两种型号的产品，两种产品的比例为8:2,其中A型号产品优秀率为75%,B型号产品优秀率为90%，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为..函数/（x）=er+,-x的最小值为..已知数列｛（｝,满足不等式（其中〃eN*,〃N2）,对于数列｛《,｝给出以下四个结论：①aA-a3>a3-a2•②数列｛《,｝一定是递增数列：③数列｛《,｝通项公式可以是。"=2"：④数列｛《,｝的通项公式可以是=/一6〃.所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程..己知展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.（1）求”的值；（2）求展开式中各项系数的和；（3）判断展开式中是否存在常数项，并说明理由..已知函数/（xXd-Y.（1）求f（x）单调区间；（2）求〃x）在区间［0,2］上的最值..下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在［65,75）分数段内的学生数为14人.分数段[65,70)[70,75)[75,80)(80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频率0.120.160.20.180.140.1a（1）求测试成绩在［95/00］分数段内的人数；3（2）现从［95,100］分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为求［95,100］分数段内男生的人数;(3)若在［65,70)分数段内的女生有4人，现从［65,70)分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望E(X)..已知数列｛勺｝为等差数列，前〃项和为S,,,数列也｝是以q(q>0,qxl)为公比的等比数列，且%=b、=1,=9,S5=4+>+5.(1)求数列｛4｝,｛"｝通项公式；(2)求数列也｝的前〃项和7；；(3)数列｛c“｝满足记数列｛%｝的前〃项和为M“，求的最小值..已知函数/(x)=xlnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；(2)若函数g(x)=/(x)+］x2在区间(o,+8)上单调递减，求实数。的取值范围.(3)证明：/(x)+x2+2>0..若存在某常数M(或机)，对于一切〃eN*，都有44M(或426)，则称数列｛4｝上(或下)界，若数列加“｝既有上界也有下界，则称数列｛凡｝为“有界(1)已知4个数列的通项公式如下：①”“=22；②"=4+,；③c“=2〃+l；④=(-1)..请写出n其中“有界数列''的序号；(2)若%=1三，判断数列｛a“｝是否为"有界数列”，说明理由；(3)在(2)的条件下，记数列｛。“｝的前〃项和为S“，是否存在正整数鼠使〃NZ，都有成立？若存在，求出火的范围：若不存在，说明理由.D.2D.2D.-6北京市顺义区2021-2022学年高二下学期期末数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A；的值为（）A.20 B.10 C.5【答案】A【解析】【分析】由排列数定义计算.【详解】A；=5x4=20故选：A.（1—A：）」的展开式中，/的系数为（）A.12 B.-12 C.6【答案】C【解析】【分析】写出展开式的通项，再代入计算可得;【详解】解：二项式（1一幻4展开式的通项为,所以［=C；（-x）2=6x2,即以的系数为6：故选：C.已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E（X）等于（）A.0.3 B.0.8 C.1.2 D.1.3【答案】D【解析】【分析】根据分布列的性质求出。，再根据期望公式计算可得：【详解】解：依题意可得0.2+a+0.5=l,解得a=0.3,所以E(X)=OxO.2+lxO.3+2xO.5=L3：故选：D.设函数/(x)= ,则/'(1)=()x+1TOC\o"1-5"\h\z1 1A.O B.一一 C.1 D.-4 4【答案】B【解析】【分析】求出导函数，直接代入求解.【详解】因为函数y(x)=-L,所以/'(*)=一1二，所以/'⑴=-Lx+l (X+1) 4故选：B5.已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，其中A(玉,/(西)),8(9,/(毛)),。(七,/(&))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是()a.r(x1)>/，(x2)>/，(x3) B./(%,)>/,(^)>/,(x1)c.广㈤〉〃%!)〉〃』) d./，(为)>/(%,)>〃玉)【答案】B【解析】【分析】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；【详解】解：由图可知函数在A点的切线斜率小于0,即/'(xJ<0,在O点的切线斜率等于0,即/'(毛)=0,在。点的切线斜率大于0,即/"(x,)>。,所以/'（七）＞/'（%）＞/'（百）；故选：B6.已知某居民小区附近设有4,B,C,04个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（）A.64种 B.81种 C.7种 D.12种【答案】A【解析】【分析】由分步计数原理计算.【详解】3位居民依次选择检测点，方法数为4,=64.故选：A.7,中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主日：“我羊食半马、”马主日：“我马食半牛，，，今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（）斗粟TOC\o"1-5"\h\z5 20 5 10A.- B.— C.- D.—7 7 2 7【答案】B【解析】【分析】牛主人应偿还x斗粟，由题意列方程即可解得.V V【详解】设牛主人应偿还X斗粟，则马主人应偿还一斗粟，羊主人应偿还一斗粟，2 4xx 20所以x+±+4=5,解得：x=—.24 7故选：B8.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（力的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（）/1c(mg/m3)i। । ■ . < > >o5101520253035(min)A.[5,10] B.[5,15] C.[5,20] D.[5,35]【答案】C【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】解：如图分别令，=5、r=10,『=15、1=20、f=35所对应的点为A、b、C、。、E,由图可知0>&tB>kAC>kAE>kAD>所以[5,20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：C9,已知数列｛。“｝为各项均为整数的等差数列，公差为d,若4=1,4,=25,则〃+d的最小值为()A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】24【分析】由题意可得（〃-1）1=24,得〃=——，由于等差数列的各项均为正整数，得到公差d也为正整n-\数，即为24的约数，从而可求出相应的〃的值，进而可求出〃+d的最小值【详解】因为4=1，4=25,所以=4+（〃一l）d=l+（n-l）J=25,所以（〃—l）d=24,24所以d二一，n-\因为数列｛”“｝为各项均为整数的等差数列，所以公差d也为正整数，所以d只能是1,2,3,4,6,8,12,24,此时〃的相应取值为25,13,9,7,5,4,3,2,所以〃+d的分别为26,15,12,11,11,12,15,26,所以〃+d的最小值为11,故选：C10.已知事（垢HO）是函数= +℃2+〃x+c的极大值点，则下列结论不,碰的是（）A.3xeRJ（x）>/（/） B.f（x）一定存在极小值点C.若。=0,则一/是函数f（x）的极小值点 D.若力=0,贝Ija<o【答案】D【解析】【分析】求出导函数/‘（X）,/。）=。有两个不等实根，然后由极值点、单调性与/'（x）=o的根的关系判断各选项.【详解】f'（x）=3x2+2ax+b,X。是极大值点，r（x）=0有两个不等实根，△=4/_126>0，即。2>3力，设/'。）=。有两不等实根与和4，%是极大值点，则彳<演）时，f'（x）>0,与<彳<々时，ru）<o,从而x>%时，r（x）>o,々是极小值点.b正确；由于XT+00时，/（x）f+oo,因此A正确；若。=（）,则/'。）=3/+匕，〃<o,r（x）=o的两解互为相反数，即％=-玉），c正确;人=0时，a2>0>a/O，D错.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分..已知等差数列{a,,}.4=3,%=7,则%=.【答案】5【解析】【分析】由等差数列的性质计算.【详解】由题意2%=%+%=1°，4=5.故答案为：5..某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有种.【答案】6【解析】【分析】从剩下的四位家长中选2位即可得.【详解】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为C：=6.故答案：6..已知某品牌只卖A,8两种型号的产品，两种产品的比例为8:2,其中4型号产品优秀率为75%,B型号产品优秀率为90%,则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为.【答案】78%##078【解析】【分析】根据全概率公式直接求解.Q 2【详解】根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的的概率为：一x75%+—x90%=78%.10 10故答案为：78%..函数/(x)=et+,-x的最小值为.【答案】1【解析】【分析】求出导函数，确定单调性可得最小值.【详解】ru)=et+1-l,由r(x)>0得X>—1,/'(x)<0得/(x)在(—℃!,—1)上递减，在(―1,+06上递增，所以/⑴的极小值也是最小值为/(-I)=1.故答案为：1..已知数列｛叫，满足不等式Z4Wqu+a/i(其中〃eN*,〃N2),对于数列｛““｝给出以下四个结论：①a4-a3>a3-a2-②数列｛勺｝一定是递增数列；③数列｛《,｝通项公式可以是(=2"；④数列｛《,｝的通项公式可以是=〃2-6”.所有正确结论的序号是.【答案】①③④【解析】【分析】求得氏一。3与。3一。2的大小关系判断①：举反例否定②；利用题给条件证明数列｛4“｝的通项公式可以是q=2"肯定③：利用题给条件证明数列｛《,｝的通项公式可以是=〃2-6〃肯定④.【详解】数列｛““｝满足不等式2例《。小+%+1(其中〃eN",”N2),则有。“一a-i(其中”eN*,〃N2),①由a3-a2<a4-aj,可得4一%2%一%•判断正确；②当=6时，满足2a. +%+],数列｛““｝为常数列.则数列｛«,｝不一定是递增数列.判断错误；③当。“=2"时,由2"T>0，可得2x2"42"T+2"'，即不等式2an<an_x+a„+l成立，则数列｛”“｝的通项公式可以是an=2".判断正确；④当an=n2-6/2时，+a“+])=2 —6”)— —1)—6(〃—++ —6(n+l)^=—2<0则不等式2a“ 成立，则数列｛”“｝的通项公式可以是q=〃2-6〃.判断正确；故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程..已知（x+3）的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.（1）求”的值；（2）求展开式中各项系数的和：（3）判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.【答案】（1）5： （2）1024；（3）不存在.【解析】【分析】（1）利用第2项与第5项的二项式系数相等，列方程C；=C：,即可解得；（2）利用赋值法令x=l代入可得；（3）利用通项公式列方程求解即可.【小问1详解】的展开式的通项公式为=3'C：x"2.因为展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，所以C：=C：,解得：〃=5.【小问2详解】要求展开式中各项系数的和，只需令x=l代入可得：（1+3）5=1024.即展开式中各项系数的和为1024.【小问3详解】要求展开式中的常数项，只需在7；+1=3'C"5-2，中，令5—2r=0,而reN*,所以无解，即展开式中不存在常数项..已知函数/（工）=/一%2.（1）求;'（x）单调区间：（2）求"X）在区间［0,2］上的最值.【答案】（1）f（x）单调递增区间为（一8,0）,（|,+8）,单调递减区间为（0,g）：4（2）最小值为 ，最大值为4【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.【小问1详解】，（x）=--定义域为R,f'（x）—3x2-2x,2令/'（x）>0得：或x<0,32令/'（x）<0得：0<x<£,3所以f（x）单调递增区间为（-8,0），（|,+8）,单调递减区间为【小问2详解】由（1）可知：/（X）在x=|处取得极小值，且为最小值，故/（力而0=（1） =<，又因为/（O）=OJ（2）=23-22=4,而4>0,所以“x）3=4，4所以/（X）在区间［0,2］上的最小值为 ,最大值为42718.下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在［65,75）分数段内的学生数为14人.分数段[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频率0.120.160.20.180.140.1a（1）求测试成绩在［95,100］分数段内的人数；3（2）现从［95,100］分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为求［95,100］分数段内男生的人数；（3）若在［65,70）分数段内的女生有4人，现从［65,70）分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望E(x).【答案】(1)5 (2)4(3)分布列见解析，E(X)=1【解析】【分析】(1)利用在［65,75)分数段内的学生数为14人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出“，两数相乘可得答案；C23(2)设男生有x人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为尤=一，解得x可得答案；C；5(3)求出在［65,70)分数段内的学生人数及男生人数，可得X的取值及对应的概率，可得分布列和期望.【小问1详解】_14高二年级某班学生共有——=50人，0.28因为0.12+0.16+0.2+0.18+0.14+0.1+4=1,所以。=0.1,所以测试成绩在［95,100］分数段内的人数为50x()』=5人.【小问2详解】由(1)知在［95/00］分数段内的学生有5人，设男生有x人，3若抽出2人这2人都是男生的概率为g,C23则涓=三，解得x=4,所以在［95,100］分数段内男生有4人.【小问3详解】在［65,70)分数段内的学生有50x0.12=6人，所以男生有2人，X的取值有0,1,2,p(x=o)=|f=l,c2c］3P(X=1)=*?X的分布列为X012P]_5253IE（X）=0x-+lx-+2x-=l.19.已知数列｛4｝为等差数列，前〃项和为S“，数列｛〃,｝是以4（q>0,gHl）为公比的等比数列，且4=4=1,S3=9,S5=4+々+5.（1）求数列｛4｝，｛"｝通项公式；（2）求数列也｝的前〃项和7；：（3）数列｛qj满足c“=log'/“—4,记数列｛%｝的前〃项和为M“，求的最小值.【答案】（1）an=2n-\,bn=2n-'Tn=2n-\-10【解析】【分析】（I）根据§3=9,求出公差，从而求出通项公式，结合55=4+々+5求出公比，得到等比数列的通项公式；（2）利用等比数列求和公式求解；（3）先求出c,=〃-5,结合｛%｝的增减性和正负性求出当〃=4或5时，”“取得最小值，求出最小值【小问1详解】S3=30I+3J=9,因为q=l,所以d=2,故a”=l+2（n-l）=2n-l,所以S5=5q+10d=5+20=25,故4+4+5=25,又题意得：b5=bxq=q=btq2=q~,所以1+才—20=0,解得：/=4或一5（舍去），因为q>0,所以4=2,所以勿=2【小问2详解】数列出｝的前〃项和Tn==■=2"—11—2【小问3详解】Cn=log/”-4=log22"T-4=〃-5，可以看出匕｝为递增数列，且当〃4,4]时，cn<0,当〃=5时，q,=0,当〃>5时，c„>0,所以当〃=4或5时，M“取得最小值，最小值为-4—3—2—1=—1020.已知函数/(x)=xlnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)+]x2在区间(0,+8)上单调递减，求实数。的取值范围.(3)证明：f(x)+x2+2>0.【答案】(1)y=x-l；a<-\；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出导函数/'(x),计算/'⑴得切线斜率，计算/(D,由点斜式得切线方程；(2)由g'(x)40在(0,+8)上恒成立，然后分离参数转化为求新函数的最值；(3)由导数求得A*)的最小值后，由不等式性质得证.【小问1详解】f\x)=\nx+\,r(l)=l,又/⑴=0,所以切线方程为y=x-i：【小问2详解】g(x)=x\nx+^x2,由题意g'(x)=lnx+l+axW0在(0,+oo)上恒成立，、“，，、lnx+1…、 1—(lnx+1)Inx设〃(x)= ,则〃'(x)=——J-=^-,X X X0<x<l时，h'(x)<0,〃(x)递减，x>l时，h'(x)>0,/i(x)递增,所以〃(X)min=〃(D=T，所以aW—1【小问3详解】由(1)/'(x)=lnx+1,0<x<-时，f'(x)<0,f(x)递减，x>1时，f'(x)>0,f(x)递增