2019年高考数学试卷（文科）（新课标1）答案解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试锄靛位置上。.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡时应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇干净后，再选涂其它答案标号。回劄E选择题时，斗搭案写在答题卡上。写在本试卷上无效..考1蜡束后，将本试卷和答题『并交回。一、选择^本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项巾，只有一项是符合题目要求的。3—i设z=]+?.>贝“z卜A2 B也 C.最 D.1【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z,再求匕【详解】因为Z=b，所以2=九*一后=彳一彳，所以目=\（孑+（—?=厩,故选C.1+2] （1+4）（1一力）jj ，5 5【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算.本题也可以运用复数模的运算性质直接求解..已知集合。={1,2,3,4,5,6,7）,4={2,3,4,5},5=[2,3,6,7）,则用CVAA.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}【答案】C【解析】【分析】先求e』，再求si2工.【详解】由已知得“工={1,6,7},所以（6.7）,故选C.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算.渗透了直观想象素养.使用补集思想得出答案.3已知a=log?0.2,匕=2°',c=0.2",贝”A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a【答案】B【解析】【分析】运用中间量。比较a,c,运用中间量1比较B,c【详解】a=log20.2<log21=0,i=202>2°=1,0<O,203<0.2°=1,WJO<c<l,a<c<b.故选B.【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.4古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是近二1（近二1=0.6182 2,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是正口.若某人满足上述两个黄金分割比例，旦腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度2为26cm,则其身高可能是A.165an B.175cm C.185cm D.190cm【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解.【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm,肚脐至腿根的长为jan,则型=上二"=4受，得xy+105 2xw42.07cm515cm.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，利用转化思想解题.5.函数小)=仙'+彳在[孙司的图像大致为cosx+x【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A,再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案.【详解】由/(-幻=华岑名=二^弓=-/(x),得了a)是奇函数，其图象关于原点对称.又cos(-x)+(-x) cosx+X[+4/令二=号>1"(")=^^>0.故选D.2(勺2 /r -l+/r【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.6某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2, 1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测蛉，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想，逐个选项判断得出答案.【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，目每组抽到的学生号构成等差数列,公差d=10,所以%=6+10%(«€NO,若8=6+10忽，则〃=耳，不合题意；若200=6+10%,则万=19.4,不合题意；若616=6+10",则1=61,符合题意;若815=6+10〃，则%=80.9,不合题意.故选C.【点睛】本题主要考查系统抽样.7tan255°=A.-2—5/3 B.—2+5/3 C.［一栏 D.2+【答案】D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解.题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】详解： tan255°=tan(1800+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=+且tan45°+tan30°_+3_2+F1-tan45°tan30°_~13~ '

3【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力.S已知非零向量5满足向=2M，且(16±'b,则a与2的夹角为n it 2n 5itA-6 B-3 C*T D，~6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由质-Z)_L%得出向蚩氏公的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.【详解】因为(。/)“，所以(：一84=：，一。=0,所以"所以cosd=,所以。与，的夹角为故选B.【点睛】对向蚩夹角的计算，先计算出向量的数蚩积及各个向量的摸，在利用向蚩夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为【。，兀】.

9如图是求2+―、的程序框图，图中空白框中应填入24-11B.a=2+—1B.a=2+—AD.>4=1+—2AA.A= 2+A【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择.1 _1-1【详解】执行第1次，兑=匕左=1W2是，因为第一次应该计算。工1=Q,左=左+1=2,循环，执行

2 2+-2+A1- 1第2次，上=242,是，因为第二次应该计算2+—,小上+1=3,—3M2,否，输出，故2+12+1循环体为A=—,故选A.2+j4【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为力=1.2+^410双曲线（？£-4=1（。>00>0）的一条渐近线的倾斜角为130・，则C的离心率为CTD1A.2sin40° B.2cos40° C.——-—— D.——-——sin50° cos50°【答案】D【解析】【分析】

由双曲线渐近线定义可得-2=tan130。，;.2=tan50。，再利用e=3=求双曲线的离心率.ar J7-Tfsin350°vl+tan500=4|1+—： Ncos250°求双曲线的离心率.ar J7-Tfsin350°vl+tan500=4|1+—： Ncos250°sin250°+cos2500 1cos250°cos50°,故选D.;对于椭圆g+A=l(a>b>0)ab，防止记混.，有e=3a;对于椭圆g+A=l(a>b>0)ab，防止记混.，有e=3aA.6B.5C.4D.3【点睛取才于双曲线：1(。＞0,5＞0),有2=—=

b a1L44BC的内角B,C的对边分别为a,b,c,已知ash4一加inB=4csinC*,cos4=——,贝"2=4c【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理推论得出d匕，c关系，在结合正弦定理边角互换歹此方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得＜?-*=41,由余弦定理推论可得62+C62+C2—a22bc1_.3c_4"2b2=2x4=6,故选A.4c2【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.12.已知椭圆c的焦点为题T0),玛(L0),过乃的直线与。交于4,8两点若|上居|=2|F2B\,c.L+匕=14c.L+匕=14 3—4--=15 4B，T+T=1D.A-y+J=1【答案】B【解析】r分析】1由已知可设国用=%,则k用|=2%，同用=|四|=%,得如用=2%,在△工耳B中求得cosN04B=1,再在耳中，由余弦定理得力=咛，从而可求解2

【详解】法一：如图，由已知可设内司=%,则k玛1=2%口及卜同卜丸,由椭圆的定义有2a=|防|+忸玛|=4抬，:|月段=2°-|月园=2然.在△工用8中，由余弦定理推论得cosN&48=4'+9"-9"=1..在眉转月中,由余弦定理得4/+4/-22附2"L=4,解得〃=走2-2«3« 3 3 22 2.-.2a=4“24，..”=的,；./=<?-1=3-1=2,..所求椭圆方程为°+匕=1,故选B.3 2法二：由已知可设|玛目=十,则|4间=2”,口及卜卜纲,由椭圆的定义有2a=|5^|+|B^|=4«,:.\A^\=2a-\AF2\=2n.在ZU耳耳和及玛中,由余弦定理得,又乙4巴瓦，N3玛片互补，：cos乙4玛区+cosN8玛瓦=0,4«2+4,又乙4巴瓦，N3玛片互补，：cos乙4玛区+cosN8玛瓦=0,两式消去COS乙AFaK,cosN8名居，得31+6=11/,解得h=与.:.2a=4n=2j3,:.a--73, =a"—1=3-1=2,所求椭圆方程为—+^—=1,故选B.3 2【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y=3(/+x)e"在点(0,0)处的切线方程为.【答案】3r-7=0【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】详解：V=3(2x+l)e*+3(x2+x)/=3(x2+3x+l)e",所以，上=y'li=3所以，曲线y=3(/+x)e”在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-『=0.【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误.求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求.、 . . 314记S”为等比数列｛4｝的前n项和.若々=1,工二，则S尸 .【答案】O【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比g的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到邑.题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】详解：设等比数列的公比为g,由已知TOC\o"1-5"\h\z3 1S,=a,+a,q+a,q2=1+q+q2=—,即q?+q+—=04 4解得g=-£,【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幕的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误.3 1 5一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算芯=用+4=53+。必3=彳+(-不)3=6,避免繁4 2 O分式计算.3冗15.函数/(X)=S1n(2x+y)-3cosX的最小值为.【答案】-4.【解析】【分析】本题苜先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cosX的二次函数，从而得解.【详解】 JW=sin(2x4--^-)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+l、 3、z17=-2(cosx+-)+—,Q-lWcosxMl,；.当cosx=1时，(x)=-4,故函数/(x)的最小值为-4.【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视-IWcosxWI的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误.16已知N4CB=9(T,尸为平面"C外一点，PC=2,点P到4cB两边月C,BC的距离均为后，那么P到平面ABC的距离为.【答案】万【解析】【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到户在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决.【详解】作PD,咫分别垂直于AC.BC,POJL平面MC,连CO,知CDLPDCD工PO,pD\8=产，\8"平面尸DO,ODu平面产DO,CD±OD•；PD=PE=6,PC=2.sin^PCE=sinZPCD=—,2ZPC5=ZPCj4=60\POLCO,CO为乙4CB平分线，ZOCD=45*..OD=CD=1,0C=&,又PC=2,PO=4二I=72•【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解;夬，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17勿题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（-）必考题：60分。17某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？n(ad-bcf(a+B)(c+d)(a+c)。+d)P（心》00.05000100.001k3.841663510,82843【答案】（Dy,-）（2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【解析】【分析】

(1)从题中所给的2x2列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；<2)利用公式求得观测值与临界值比校，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【详解】(1)由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满苣的有40人，404所以男顾客对商场服务满意率估计为R=弁=工，50550名女顾客对商场满意的有30人，303所以女顾客对商场服务满意率估计为g=弟=/、、+币忖¥主Fn内100(40x20-30x10)2 100 . ,OJ11(2)由列联表可知K2=—— -=——«4,762>3,841,70x30x50x50 21所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算工会的值，独立性检验，属于简单题目18记S1t为等差数列｛4｝的前n项和，已知S^r=-a5.(1)若a尸4,求｛4｝的通项公式3(2)若力>0,求使得SE的n的取值范围.【答案】⑴%=-2%+10；2T)【解析】【分析】<1)苜项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于々和d的方程组，求得力和d的值，利用等差数列的通项公式求得结果；(2)根据题意有%=0,根据，>0,可知d<0,根据S*>%,得到关于附的不等式，从而求得结果【详解】(1)设等差数列｛勺｝的首项为内，公差为d,,, ,, ..9al+根据题意有,—d=-(ai+4d)a,=8解答: 所以%=8+伽-1"(-2)=-2忽+10,a=-2所以等差数列｛%｝的通项公式为/=-2«+10；<2)由条件$9=一％，得犯=-％，即％=0,因为，>0,所以d<0,并且有&=%+4d=0,所以有/=-Ad,由必N%得na、+"(：Dd>ax+(n-X)d,整理得(«2-9n)d>(2w-l0)d,因为d<0>所以有％’-9%W2〃-10,SP«2-ll«+10<0)解得IVmWIO,所以«的取值范围是：14%W10(附eM)【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键19如图，直四棱柱月BCD481cl2的底面是菱形，44尸4,AB=2,NB36Q',E,M,N分别是5C,BBi,4D的中点.(1)证明：平面CjDE｝(2)求点。到平面CDE的距离.【答案】(1)见解析;17【解析】【分析】<i)利用三角形中位线和4c可证得皿色如，证得四边形M曲为平行四边形，进而证得MH//D5,根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥C-CDE的体积，再求出AgDE的面积，利用乙一皿=Lqg求得点C到平面GDE的距离，得到结果【详解】3）连接Affi,B。Q",E分别为8%，8C中点二须为例8。的中位线MEH8S艮ME=；BjC又从为&D中点，且4电4。:.NDII与。且加=== 2：.ME!JND.四边形为平行四边形.MN//DE,又MN（Z平面GDE,Z）£u平面g%..处3平面C】DE（2）在菱形加8中，E为8c中点，所以"_L3C,根据题意有。£=招，03=折，因为棱柱为直棱柱，所以有DE1平面BCC.B.,所以Z)£_L£Ci，所以S^aq=；x/xg,设点C到平面CQE的距离为d,_ _ 11^.— 11l根据题意有q-CDS~。>则有~x~x>/3XJvfxd=X-xlxa/3x4,曰,4 4-\/r7国17

所以点c到平面C\DE的距离为当【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解,在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容20已知函数F(x)=2sinv-rcoa-x,/(x)为/(x)的导数.(1)证明：/(D在区间(0,切存在唯一零点3(2)若x£[0,兀]时，/(T)的，求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)ae(-oo,0].【解析】【分析】<1)求导得到导函数后，设为g(x)进行再次求导，可判断出当xe(0,/卜寸，g'⑴>0,当xe时，g'(x)<0,从而得到g(x)单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；(2)构造函数h(x)=〃x)-ax,通过二次求导可判断出"=*(*)=-2-a,/rr\TF—2 4-2 尸一2分别在aW-2,-2<a<0,。<a 和aN-y-的情况下根据\乙,乙 乙 乙导函数的符号判断为(x)单调性，从而确定乂x)20恒成立时。的取值范围【详解】(1)/'(x)=2cosx-cosx4-xsinx-l=cosx+xsinx-1令g(x)=cosx4-xsinx-l>贝ijg'(x)=-smx4-sinx+xcosx=xcosx当xe(O㈤时,令/(“)=0,解得：x吟时，gf(x)>0)当xeQ卜t,g[x)<0上单调递增；在]，兀|上单调递减又g(O)=l-1=0,g-1>0,g(4)=-1-1=-2即当即当xe（0尚时，g（x）>。，此时g（x）无零点，即/'（x）无零点Qg图g㈤<0，使得g（x（））=O又g（x）在昌兀J上单调递遍X=/为g(x),即/'(x)在千兀）上的唯一零点综上所述：/'（X）在区间（0,万）存在唯一零点（2）若x«0用时,即〃力-以“恒成立令认同=J(x)-ax=2sinx-xcosx-(a4-l)x则"(x)=cosx4-xsinx-l-a,A*(x)=xcosx=g'(x)由⑴可知，巾）在（。微|由⑴可知，巾）在（。微|上单调递埼在仁，兀）上单调递减且1(0)=—a,A，(7)=-2--°,〃(*)=-2-a〃'(x)mh=YS)=-2-a, =（闫aM-2时，小濡=吁）=-2--0,即Y（x）20在［0,河上恒成立•.〃（外在［0,”］上单调递增..A(x)^A(0)=0,即〃x)-axN0,此时〃x)Nax恒成立（祖一2<a<0（祖一2<a<0时，1（0）20,权仁>0,h'(/r)<0切6（加｝使得"（X］）=O〃⑺在［0,再）上单调递增，在（再词上单调递减又〃(0)=0,〃(4)=2sin^-/rcos^-(a4-l)^=-a^>0〃（工）20在［0,”］上恒成立，即〃X）2ax恒成立@以0<a< 时，我'⑼<0,*^Zl-a>02•.加《0,卦使得％)=0■-〃(x)在[0,孙)上单调递减，在(弓，^)上单调递增.'.xe(0,X2)时，力⑶(力⑼=0,可知/(x)Nax不恒成立T当心好时，川⑶…=〃(3=亨一屋0」(x)在(0,9上单调递减\&(力<〃(0)=0可知y(x)N以不恒成立综上所述：。6(-8,0]【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值21已知点月，8关于坐标原点。对称，OM过点4B且与直线1+2=0相切.(D若月在直线x+r=0上，求。A/的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|必|-|MP|为定值？并说明理由.【答案】(1)2或63<2)见解析.【解析】【分析】(1)设/(f,T),网-。)，根据|AB|=4,可知卜卜应：由圆的性质可知圆心M必在直线丁=工上，可设圆心肠(4。)3利用圆心到x+2=0的距离为半径和|M4|=|M3|=r构造方程，从而解出「；(2)当直线AB斜率存在时，设AB方程为：J=奴，由圆的性质可知圆心M必在直线，=-1x上；假设圆心坐标，利用圆心到X+2=0的距离为半径和r=|M|=jM+的构造方程，解出M坐标，可知M轨迹为抛物线;利用抛物线定义可知产。，0)为抛物线焦点，目定值为1;当直线幺8斜率不存在时，求解出M坐标，蛉证此时产(L0)依然满足定值，从而可得到结论【详解】(1)GM在直线x+y=0上..设4&T),则E(tj)又|AB|=4 .81=16,解得：M=应QeM过点上，B ：.圆心M必在直线丁=x上设M(a,a),圆的半径为rQeM与x+2=0相切..r-1a+2|y|M4|=|MS|=r,即g一点/+1+&y=/：,1一代)+(a+应)=(a+2,，解得：白=0或白=4当a=0时，r=2；当a=4时，r=6eM的半径为：2或6(2)存在定点尸(L0),使得|M4HMp|=1说明如下：QH,B关于原点对称目|AB|=4直线幺8必为过原点。的直线，目|。旬=2①当直线AB斜率存在时，设AB方程为:y=h则e般的圆心M必在直线1y=-；X上k设河(-珈M)，eM的半径为rQeM与x+2=0相切..r=\-bn+2\又厂=|At4|=+QM，=^/4+k2m2+m3:.|-Aw+2|=^4+k2m2+m2,整理可得：m2=-4km即加点轨迹方程为：V=4x,准线方程为：x=-l,焦点尸(LO)Q|M4|=r,即抛物线上点到x=-2的距离 ：|K4|=|阴用+1..|M4|-|AiF|=l当尸与F重合，即P点坐标为(1,0)时，|M4卜|命例=1

2当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为：x=0二”在x轴上,设河®0):.|«+2|=V«2+4>解得：附=0,即M(0,0)若尸(1,0),贝“M4|一性阳=2-1=1综上所述，存在定点尸。，0),使得|M41TM产|为定值.【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而蛉证定值符合所有情况,使得问题得解(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选博作答，如果多做，则按所做的第博1田22.在直角坐标系22.在直角坐标系kQ•卬，曲线。的参数方程为，1-广x=\T91+za为参数)，以坐标原点。为极点，％轴的At正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为2qcosd+eQsin。+11=0.(1)求C和；的直角坐标方程：(2)求C上的点到，'距离的最小值.【答案】(1)C:/+匕=Lxe(-l,l］：/:2x+扬+11=0：(2)不4【解析】【分析】(1)利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得/的直角坐标方程;(2)利用参数方程表示出C