随机变量的数字特征之方差1概率论

上节介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.复习五条性质:2022/12/191随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第1页!§2方差上节的例1甲班有30名学生，他们的数学考试成绩(按五级记分)如右表所示,成绩

12345人数

251085成绩

12345人数

001460

乙班则该班的平均成绩也是

你认为两个班的成绩一样吗?

为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要介绍的

则该班的平均成绩1.

概念的引入

2022/12/192随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第2页!2.方差(Variance或Dispersion)定义.设X是一随机变量，则称E[X-E(X)]2称为X的方差,记作D(X)即方差的算术平方根称为X的标准差，记作即若E[X－E(X)]2存在，2022/12/193随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第3页!3.

方差的计算

(1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随机变量的方差连续随机变量的方差2022/12/194随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第4页!(2)利用方差公式且E(X2)也存在,则证明:定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，2022/12/195随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第5页!解:例2.若X～B(n,p),求方差D(X).已求得=E(X),其中X~B(n-1,p)2022/12/196随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第6页!已求得例4.若X～U(a,b),求D(X).解:2022/12/197随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第7页!指数分布r为整数

n时，(n)

=

(n

－1)!

2022/12/198随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第8页!二、方差的性质2022/12/199随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第9页!求解：例.设X1,X2相互独立，由X1,X2

相互独立，有2022/12/1910随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第10页!一、原点矩与中心矩1.

k阶原点矩：2.

k阶中心矩：特别地，k=1,E(X)为数学期望.k=2,E[X-E(X)]2为方差.k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式特别地，k=1,E[X-E(X)]=0.2022/12/1911随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第11页!协方差的简便计算方法：2022/12/1912随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第12页!定义.设随机变量X与Y的数学期望和方差都存在，为X与Y的相关系数，注：相关系数R(X,Y)仅表示X与Y之间的线性关系.则称记作2.相关系数2022/12/1913随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第13页!对于任意的正数设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,

有或切比雪夫不等式2022/12/1914随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第14页!注

(1)切比雪夫不等式的用途：它给出了在X的分布未知的情况下，估计概率的方法；(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度.由可知:D(X)越小(即X偏离E(X)程度越小),越大，(表明X取值越集中在E(X)的附近)；(3)它是大数定律的理论基础.2022/12/1915随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第15页!（由切比雪夫不等式）2022/12/1916随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第16页!方差都存在，切比雪夫定理解释：若独立序列X1,X2,…,Xn,…的数学期望和并且方差是一致有上界的,则n充分大时,算术平均紧密地集中在其数学期望的附近.2022/12/1917随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第17页!1.理解方差的定义：2.熟悉方差的性质:内容小结2022/12/1918随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第18页!3.熟悉一些常见分布的方差①若X～B(n,p),D(X)=npq;②若③若X～U(a,b),④若2022/12/1919随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第19页!注:(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.(3)如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.≥0;(1)由定义知，D(X)=E[X-E(X)]22022/12/1920随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第20页!PX

-1012

0.10.

10.50.3解：求例1.设随机变量X的分布列为=0.82022/12/1921随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第21页!PX

-1012

0.10.

10.50.3求例1(续).设随机变量X的分布列为PX21014

0.10.

10.50.3PX2104

0.60.

10.32022/12/1922随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第22页!解:例3.

若求D(X).已求得=E(X),其中X~P(lambda)2022/12/1923随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第23页!解:例5.

若求D(X).已求得=E(X),其中X~e(1)2022/12/1924随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第24页!U(a,

b)e(

)P(

)B(n,p)(0—1)

ppqnpnpq

常用随机变量的期望与方差分布分布列或密度函数期望方差2022/12/1925随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第25页!例.已知随机变量X的数学期望E(X)与设随机变量试证证：(标准化的随机变量)都存在,且2022/12/1926随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第26页!基本内容：一、原点矩与中心矩一、协方差与相关系数第三节原点矩与中心矩

第四节协方差与相关系数2022/12/1927随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第27页!1.协方差定义.随机变量X与Y的函数[X-E(X)][Y-E(Y)]的数学期望存在，则称其为X与Y的协方差,cov(X,Y),即记作二、协方差和相关系数

——反映两个变量X和Y相关性的数字特征2022/12/1928随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第28页!若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关;分析:由于X与Y相互独立,则协方差cov(X,Y)=0,

证明：由X与Y相互独立，有两个随机变量独立与不相关的关系：不一定成立.所以X与Y不相关.反之,X与Y不相关cov(X,Y)=0.2022/12/1929随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第29页!基本内容：一、切比雪夫不等式二、大数定律第五节

切比雪夫不等式与大数定律2022/12/1930随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第30页!证：仅选择连续随机变量的情形来证明.设随机变量X的密度函数为f(x),则有2022/12/1931随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第31页!例.已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在7300,标准差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在5200~9400之间的概率.(P94.19题)解：设随机变量设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得2022/12/1932随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第32页!则对于任意的正数1.切比雪夫定理定理：设独立随机变量序列X1,X2,…,Xn,…的数学期望E(X1),E(X2),…,E(Xn),…,D(X1),D(X2),…,D(Xn),…都存在，与方差并且方差是一致有上界的,即存在常数C,使得D(Xi)≤C,i=1,2,…,n,…有2022/12/1933随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第33页!2.伯努利定理定理：在独立试验序列中，设事件Ａ的概率P(A)=p,则对于任意的正数有伯努利定理解释：当试验独立重复进行多次时，随机事件A的频率fn(A)将稳定在事件A的概率的附近.2022/12/1934随机变量的数字特征之方差1概率论共36页，您现在浏览的是第34页!(5)若E(X)与D(X)