D斯托克斯公式课件

一、斯托克斯公式

定理1.

设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,

的侧与

的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1.

与平行z

轴的直线只交于一点,

设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有简介一、斯托克斯公式定理1.设光滑曲面的边界是1则(利用格林公式)定理1则(利用格林公式)定理12因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理1因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理13情形2

曲面与平行z

轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线把

分成与z

轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:

如果是xOy

面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可4为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:5例1.

利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整解:记三角形域为,取上侧,则个边界,方向如图所示.利用对称性例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+6例2.

为柱面与平面y=z

的交线,从

z

轴正向看为顺时针,解:设为平面z=y

上被

所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式其他形式计算例2.为柱面与平面y=z的交线,从z轴7*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G

是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一8(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则定理2(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在9(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕定理2(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有同理10与路径无关,解:

令积分与路径无关,因此例3.

验证曲线积分定理2并求函数与路径无关,解:令积分与路径无关,因此例3.验证曲11*三、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为*三、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线12令,引进一个向量记作向量rotA

称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的13设某刚体绕定轴l

转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M

的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如14向量场A

产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!

向量场A沿

的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.向量场A产生的旋度场注意与的方向形成右手15的外法向量,计算解:

例5.设的外法向量,计算解:例5.设16内容小结1.斯托克斯公式也可写成:其中A

的旋度A在

的切向量上投影在

的法向量n

上投影内容小结1.斯托克斯公式也可写成:其中A的旋度A在17在内与路径无关在内处处有在内处处有2.空间曲线积分与路径无关的充要条件设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则在内与路径无关在内处处有在内处处有2.空间曲线183.场论中的三个度设

梯度:散度:旋度:则3.场论中的三个度设梯度:散度:旋度:则19思考与练习则提示:三式相加即得思考与练习则提示:三式相加即得20作业P243*2(1),(4);

*3(1),(3);*4(1);

*5(2);*7补充题:证明

习题课作业P243*2(1),(4);*3(21斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世22一、斯托克斯公式

定理1.

设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,

的侧与

的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1.

与平行z

轴的直线只交于一点,

设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有简介一、斯托克斯公式定理1.设光滑曲面的边界是23则(利用格林公式)定理1则(利用格林公式)定理124因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理1因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理125情形2

曲面与平行z

轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线把

分成与z

轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:

如果是xOy

面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可26为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:27例1.

利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整解:记三角形域为,取上侧,则个边界,方向如图所示.利用对称性例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+28例2.

为柱面与平面y=z

的交线,从

z

轴正向看为顺时针,解:设为平面z=y

上被

所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式其他形式计算例2.为柱面与平面y=z的交线,从z轴29*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G

是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一30(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则定理2(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在31(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕定理2(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有同理32与路径无关,解:

令积分与路径无关,因此例3.

验证曲线积分定理2并求函数与路径无关,解:令积分与路径无关,因此例3.验证曲33*三、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为*三、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线34令,引进一个向量记作向量rotA

称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的35设某刚体绕定轴l

转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M

的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如36向量场A

产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!

向量场A沿

的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.向量场A产生的旋度场注意与的方向形成右手37的外法向量,计算解:

例5.设的外法向量,计算解:例5.设38内容小结1.斯托克斯公式也可写成:其中A

的旋度A在

的切向量上投影在

的法向量n

上投影内容小结1.斯托克斯公式也可写成:其中A的旋度A在39在内与路径无关在内处处有在内处处有2.空间曲线积分与路径无关的充要条件设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则在内与路径无关在内处处有在内处处有2.空间曲线403.场论中的三个度设

梯度:散度:旋度:则3.场论中的三个度设梯度:散度:旋度:则41思考与练习则提示:三式相加即得思考与练习则提示:三式相加即得42作业P243*2(1),(4);

*3(1),(3);*4(1);

*5(2);*7补充题:证明

习